第6章無限長單位脈沖響應IIR濾波器設計

1、1第第6 6章章 無限長單位脈沖響應無限長單位脈沖響應（IIRIIR）濾波器設計）濾波器設計 2濾波器的分類濾波器的分類n經(jīng)典濾波器（一般濾波器）：經(jīng)典濾波器（一般濾波器）：信號和干擾的頻帶互不重疊時采用信號和干擾的頻帶互不重疊時采用n現(xiàn)代濾波器：現(xiàn)代濾波器：信號和干擾的頻帶相互重疊時采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、信號和干擾的頻帶相互重疊時采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等）自適應濾波器等）n功能功能高通、低通、帶通、帶阻高通、低通、帶通、帶阻n結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)遞歸系統(tǒng)遞歸系統(tǒng) IIR非遞歸系統(tǒng)非遞歸系統(tǒng) FIR3濾波器的設計濾波器的設計n直接設計法直接設計法在時域或頻域直接

2、設計數(shù)字濾波器在時域或頻域直接設計數(shù)字濾波器n間接設計法間接設計法根據(jù)指標要求設計模擬濾波器根據(jù)指標要求設計模擬濾波器將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器46.1 模擬濾波器設計模擬濾波器設計n模擬濾波器的設計步驟模擬濾波器的設計步驟確定指標確定指標選擇濾波器的類型選擇濾波器的類型計算濾波器的階數(shù)計算濾波器的階數(shù)查表或計算濾波器的參數(shù)，確定系統(tǒng)函數(shù)查表或計算濾波器的參數(shù)，確定系統(tǒng)函數(shù)綜合實現(xiàn)及裝配調(diào)試綜合實現(xiàn)及裝配調(diào)試n模擬濾波器的傳輸函數(shù)：模擬濾波器的傳輸函數(shù)： 選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對相頻特性不作要求。幅頻特性體

3、現(xiàn)了各頻率成分幅度的衰減幅頻特性體現(xiàn)了各頻率成分幅度的衰減,而相頻特性體現(xiàn)的是不同成分在而相頻特性體現(xiàn)的是不同成分在的延時的延時.對輸出波形有要求時，則需考慮線性相位問題。對輸出波形有要求時，則需考慮線性相位問題。()() |()|jH jH je 56.1.1 模擬濾波器的設計指標模擬濾波器的設計指標n 通帶邊界頻率，通帶邊界頻率， 阻帶邊界頻率，阻帶邊界頻率， 3dB截止頻率截止頻率n系統(tǒng)通帶和阻帶的誤差要求系統(tǒng)通帶和阻帶的誤差要求通帶常數(shù)特性要求通帶常數(shù)特性要求通帶最大衰減，或通帶峰值波紋，或通帶波紋幅度，用分貝表示通帶最大衰減，或通帶峰值波紋，或通帶波紋幅度，用分貝表示 psc21()

4、11apHj 22120lg110lg(1)pdB /10101pH(j)16阻帶常數(shù)特性要求阻帶常數(shù)特性要求阻帶最小衰減，或阻帶峰值波紋，或阻帶波紋幅度，用分貝表示阻帶最小衰減，或阻帶峰值波紋，或阻帶波紋幅度，用分貝表示1()asHjA /2010sA120lg()20lgsAdBA 7n損耗函數(shù)：損耗函數(shù)：描述幅頻響應特性描述幅頻響應特性n3dB截止頻率截止頻率2( )20lg()10lg()aaHjHj ()3cdB損耗函數(shù)優(yōu)點損耗函數(shù)優(yōu)點: : 對幅頻響應對幅頻響應| |H Ha a( (jj)|)|的取值非線性壓縮的取值非線性壓縮, , 放大小的幅度放大小的幅度. .8wp=2*pi

5、*500;ws=2*pi*600;Rp=0.1;As=60;%設計切比雪夫II型N2,ws2=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,s);B2,A2=cheby2(N2,As,ws2,s);k=0:511;fk=0:1000/512:1000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B2,A2,wk);subplot(2,1,1);plot(fk,abs(Hk);grid onxlabel(頻率(Hz);ylabel(幅度)axis(0,1000,0,1.1)subplot(2,1,2);plot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onxlabel(頻率(Hz);ylabe

6、l(幅度(dB)axis(0,1000,-100,10)9兩個附加參數(shù)兩個附加參數(shù)n過渡比或選擇性參數(shù)過渡比或選擇性參數(shù)反映過渡帶的性能，過渡帶越窄，反映過渡帶的性能，過渡帶越窄，k值趨近于值趨近于1低通濾波器低通濾波器n偏離參數(shù)偏離參數(shù) 越小，通帶、阻帶的紋波越小越小，通帶、阻帶的紋波越小psk1k 121kA1k10技術(shù)指標技術(shù)指標: :n 通帶邊界頻率，通帶邊界頻率，psp阻帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，s片段常數(shù)片段常數(shù)11n模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇。的

7、模擬濾波器供選擇。這些濾波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員這些濾波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用。使用。 n典型濾波器典型濾波器巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）濾波）濾波切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）濾波器；）濾波器；貝塞爾（貝塞爾（Bessel）濾波器；）濾波器；橢圓（橢圓（Ellipse）濾波器。）濾波器。126.1.2巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）模擬低通濾波器設計）模擬低通濾波器設計n巴特沃斯低通濾波器巴特沃斯低通濾波器N階巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：階巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：N為濾波器的階次

8、，為濾波器的階次， 為為3dB截頻。截頻。221|()|1 ()aNcHjc13n巴特沃斯低通濾波器特點巴特沃斯低通濾波器特點n在在 點，具有最大幅度點，具有最大幅度: 1n濾波器幅頻響應隨濾波器幅頻響應隨 的增大而單調(diào)下降的增大而單調(diào)下降.n損耗函數(shù)損耗函數(shù)0 21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 12( )20lg()110lg()aaHjHj 210lg 1 ()Nc14n濾波器的特性由濾波器的特性由3dB截止頻率和階數(shù)截止頻率和階數(shù)N確定確定n濾波器的給定指標為濾波器的給定指標為通帶邊界頻率通帶邊界頻率阻帶邊界頻率阻帶邊界頻率通帶最小幅度通帶最小幅度阻帶最

9、大波紋阻帶最大波紋n截止頻率與階數(shù)如何確定？截止頻率與階數(shù)如何確定？2( )10lg 1 ()Nc 2()10lg 1()10lg23cccNdB21| )(|jHacN=8N=80 0N=4N=4N=2N=21 1ps2111A15截止頻率與階數(shù)如何確定？截止頻率與階數(shù)如何確定？n濾波器幅頻響應隨頻率的增大而單調(diào)下降濾波器幅頻響應隨頻率的增大而單調(diào)下降n于是于是22211()1(/)1ppaNcHj22211()1 (/)aNcssHjA2()1NspA21lg1lglglg()psAkNk1lglgkNk1pcN n滿足通帶指標，阻帶指標有富裕滿足通帶指標，阻帶指標有富裕n滿足阻帶指標，通

10、帶指標有富裕滿足阻帶指標，通帶指標有富裕122(1)scNA 16n濾波器的給定指標為濾波器的給定指標為通帶最大衰減通帶最大衰減阻帶最小衰減阻帶最小衰減n先求先求n確定截止頻率與階數(shù)確定截止頻率與階數(shù)2120lg1p/2010sA120lg()20lgsAdBA /10101p17巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)n 三種形式三種形式n歸一化歸一化( )( )NcaNHsDs10( )( )NNkNNkkDsBssb s21122()1( )()kNNjNckkkDssppe/22101( )( )( )NNkkkkkDsB sB ssb sb ( )NDs( )1/(

11、)NG pDpn去歸一化去歸一化/( )( )cap sHsG p18N-極點極點19N-分母多項式系數(shù)分母多項式系數(shù)20N-分母因式分母因式21 低通巴特沃斯濾波器設計步驟：低通巴特沃斯濾波器設計步驟：n由由 求濾波器階次求濾波器階次N N；n由由N N查表，求出歸一化極點查表，求出歸一化極點 和歸一化系統(tǒng)函數(shù)和歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)G(p)（P140 P140 ）n令令 代入代入G(p) G(p) ，得實際，得實際 濾波器傳輸函數(shù)濾波器傳輸函數(shù)Ha(s) Ha(s) 。（去歸一）。（去歸一）ppss、csp/kp22例：已知通帶邊界頻率例：已知通帶邊界頻率 ，通帶最大衰減，通帶最大衰減 ，

12、阻帶截止頻率阻帶截止頻率 ，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 ，設計，設計巴特沃斯低通濾波器。巴特沃斯低通濾波器。n解：解： 1）確定階次）確定階次N：n可得可得Nn按照以上技術(shù)指標設計巴特沃斯低通濾波器。按照以上技術(shù)指標設計巴特沃斯低通濾波器。 5sfkHz1pdB1pfkHz40sdB/2040/201010100sA/101/101011010.508847ppsk120.508850.00508999991kA1lg3.28114lgkNNk11/82229934.7/9999(1)sscNfrad sA 23n查表求分母因式：查表求分母因式：n系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)224( )(0.76541)

13、(1.84781)Dppppp422221( )( /)(0.7654)(1.8478)aNccccccHsDsssss246.1.3切比雪夫（切比雪夫（chebyshev）濾波器）濾波器 n切比雪夫切比雪夫1型型通帶內(nèi)等波紋，阻帶內(nèi)單調(diào)下降通帶內(nèi)等波紋，阻帶內(nèi)單調(diào)下降n切比雪夫切比雪夫2型型通帶內(nèi)單調(diào)下降，阻帶內(nèi)等波紋通帶內(nèi)單調(diào)下降，阻帶內(nèi)等波紋n巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多，或者說，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（或者說，為了使通帶

14、內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高，）很高，切比雪夫濾波器的紋波在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，同樣的通帶衰減，其階數(shù)切比雪夫濾波器的紋波在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。較巴特沃茲濾波器要小。25n切比雪夫切比雪夫1型的幅度平方函數(shù)：型的幅度平方函數(shù)：n通帶邊界頻率通帶邊界頻率n通帶波紋參數(shù)通帶波紋參數(shù)nN階切比雪夫多項式：階切比雪夫多項式：n多項式遞推公式：多項式遞推公式：2221()1()aNpHjCcos(arccos ),| 1( )cosh(arcosh ),| 1NNxxCxNxxp1201( )2( )( )2( )1( )NNNCxxCxCxN

15、C xC xx)(, 11)(,1xVxxxVxNN時26 切比雪夫濾波器的振幅平方特性 27阻帶邊界頻率阻帶邊界頻率nN大于等于上式的最小整數(shù)大于等于上式的最小整數(shù)2222221()1()111cosharcosh()assNpspHjCAN2111arcosharcosh()1arcosh()arcosh()spNAkk2arcosh( )ln(1xxx28濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)1( ),( )()NNppakkkNNkkHssjDsss (21)(21)sinsin22kpkpkkNN 1/222111122N29n切比雪夫切比雪夫型型通帶內(nèi)單調(diào)下降，阻帶內(nèi)等波紋通帶內(nèi)單調(diào)下降

16、，阻帶內(nèi)等波紋n幅度平方函數(shù)：幅度平方函數(shù)：n階數(shù)階數(shù)N的計算的計算 psA2111arcosharcosh()1arcosh()arcosh()spNAkk2221()()1()asNpsNHjCC30系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)11()( ),1,2,()NkkakkkNkkszHsCpjkNsp (21)(21)sincos22kpkpkkNN 221/211122NAA(21)cos2skzjkN2222skskkkkkkk 316.1.4橢圓濾波器（考爾濾波器）橢圓濾波器（考爾濾波器）n幅值響應在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的幅值響應在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的n對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波

17、器能獲得較其它濾波器對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。n通帶和阻帶內(nèi)波紋固定時，階數(shù)越高，過渡帶越窄；通帶和阻帶內(nèi)波紋固定時，階數(shù)越高，過渡帶越窄；n階數(shù)固定，通帶和阻帶紋波越小，過渡帶越寬；階數(shù)固定，通帶和阻帶紋波越小，過渡帶越寬；32102040pspspsdBdBdB=1dB=0.1dB=0.05dB336.1.5貝塞爾濾波器貝塞爾濾波器n在通帶內(nèi)逼近線性相位特性在通帶內(nèi)逼近線性相位特性 346.1.6 MATLAB設計模擬濾波器設計模擬濾波器1、巴特沃思濾波器、巴特

18、沃思濾波器N,wc=buttord(wp, ws, Rp, As)計算數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc.wp, ws為數(shù)字濾波器的邊界頻率歸一化值N,wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s)計算模擬濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc.wp, ws為實際角頻率35z, p, G=buttap(N)計算歸一化的模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零極點和增益因子B, A=zp2tf(z, p, G)(1)(2)()( )(1)(2)()szszszNHa sGspspspN11211121( )NNNNNNNNB sB sB sBHa sAsA sA sA36B, A=butter(N

19、, wc, ftype) 數(shù)字濾波器ftype- high stopB, A=butter(N, wc, ftype，s) 模擬濾波器37例：已知通帶邊界頻率例：已知通帶邊界頻率 ，通帶最大衰減，通帶最大衰減 ，阻帶截止，阻帶截止頻率頻率 ，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 ，設計巴特沃斯低通濾波，設計巴特沃斯低通濾波器。器。n解：解：nwp=2*pi*1000;ws=2*pi*5000;Rp=1;As=40; %設置濾波器參數(shù)設置濾波器參數(shù)nN,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s); %計算濾波器階數(shù)計算濾波器階數(shù)N和和3dB截止頻率截止頻率nB,A=butter(N,wc,s);

20、%計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)計算濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)nk=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;nHk=freqs(B,A,wk);nplot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onnxlabel(頻率頻率(Hz);ylabel(幅度幅度(dB)naxis(0,6000,-50,1.5)5sfkHz1pdB1pfkHz40sdB38z，p, k=cheb1ap(N, Rp)切比雪夫切比雪夫I型濾波器型濾波器B, A=cheby1(N, Rp, wpo, ftype)N, wpo=cheb1ord(wp, ws, Rp, A

21、s)N, wpo=cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s)B, A=cheby1(N, Rp, wpo, ftype，s)與巴特沃思設計函數(shù)的不同之處：與巴特沃思設計函數(shù)的不同之處：wpowpo為通帶截止頻率為通帶截止頻率39z，p, k=cheb2ap(N, Rs)切比雪夫切比雪夫II型濾波器型濾波器B, A=cheby2(N, Rp, wso, ftype)N, wso=cheb2ord(wp, ws, Rp, As)N, wso=cheb2ord(wp, ws, Rp, As, s)B, A=cheby2(N, Rp, wso, ftype，s)與巴特沃思設計函數(shù)的不同之處

22、：與巴特沃思設計函數(shù)的不同之處：wsowso為阻帶截止頻率為阻帶截止頻率40例：已知通帶邊界頻率例：已知通帶邊界頻率 ，通帶最大衰減，通帶最大衰減 ，阻帶截止頻率阻帶截止頻率 ，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 ，設計，設計切比雪夫低通濾波器。切比雪夫低通濾波器。n解：解：nwp=2*pi*1000;ws=2*pi*5000;Rp=1;As=40;%設計切比雪夫設計切比雪夫1型型nN1,wp1=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,s);nB1,A1=cheby1(N1,Rp,wp1,s);%設計切比雪夫設計切比雪夫1型型nN2,ws2=cheb2ord(wp,ws,Rp,As,s);nB2,A

23、2=cheby2(N2,As,ws2,s);nk=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;nHk=freqs(B1,A1,wk);5sfkHz1pdB1pfkHz40sdB41figure(1);plot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onxlabel(頻率(Hz);ylabel(幅度(dB)title(a) 切比雪夫1型濾波器);axis(0,6000,-70,5)Hk=freqs(B2,A2,wk);figure(2);plot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onxlabel(頻率(Hz);ylabel(幅度(dB)t

24、itle(b) 切比雪夫2型濾波器);axis(0,6000,-70,5)42z，p, k=ellipap(N, Rp, As)橢圓濾波器橢圓濾波器B, A=ellip(N, Rp, wpo, ftype)N, wpo=ellipord(wp, ws, Rp, As)N, wpo=ellipord (wp, ws, Rp, As, s)B, A=ellip(N, Rp, wpo, ftype，s)43% 橢圓濾波器設計程序wp=2*pi*1000;ws=2*pi*5000;Rp=1;As=40; %設置指標參數(shù)N,wpo=ellipord(wp,ws,Rp,As,s); %計算階數(shù)和通帶邊界頻

25、率B,A=ellip(N,Rp,As,wpo,s); %計算系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)k=0:511;fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk,20*log10(abs(Hk);grid onxlabel(頻率(Hz);ylabel(幅度(dB)axis(0,6000,-70,5)44z，p, k=besselap(N)貝塞爾濾波器貝塞爾濾波器B, A=besself(N, wc)B, A=besself(N, wc, ftype)%設計Bessel濾波器N=3;wc=2*pi*1000; %設置指標參數(shù)B,A=besself(N,wc);

26、 %計算低通模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)456.1.7模擬濾波器的比較模擬濾波器的比較n相同階數(shù)的頻率響應特性相同階數(shù)的頻率響應特性相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減，巴特沃思濾波器的過渡帶相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減，巴特沃思濾波器的過渡帶最寬；橢圓濾波器過渡帶最窄；最寬；橢圓濾波器過渡帶最窄；n相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高n巴特沃思濾波器單調(diào)下降巴特沃思濾波器單調(diào)下降n切比雪夫切比雪夫I濾波器通帶等波紋幅頻特性，過渡帶、阻帶單調(diào)下降濾波器通帶等波紋幅頻特性，過渡帶、阻帶單調(diào)下降n切比雪夫切比雪夫II濾波器阻帶等

27、波紋幅頻特性，通帶、過渡帶單調(diào)下降濾波器阻帶等波紋幅頻特性，通帶、過渡帶單調(diào)下降n橢圓濾波器通帶、阻帶等波紋幅頻特性，過渡帶單調(diào)下降橢圓濾波器通帶、阻帶等波紋幅頻特性，過渡帶單調(diào)下降 五種最常用的模擬低通濾波器的特性和設計方法，設計時按照指標要求，五種最常用的模擬低通濾波器的特性和設計方法，設計時按照指標要求，求合理選用。求合理選用。466.1.8頻率變換與高通、高通、帶通及帶阻濾波器的設計頻率變換與高通、高通、帶通及帶阻濾波器的設計n高通濾波器高通濾波器濾波器指標濾波器指標1()HPHj112shphn通帶邊界頻率：通帶邊界頻率：n阻帶邊界頻率：阻帶邊界頻率：n通帶紋波幅度：通帶紋波幅度：n

28、阻帶紋波幅度：阻帶紋波幅度：21phsh47n通帶邊界頻率：通帶邊界頻率：上邊界頻率上邊界頻率下邊界頻率下邊界頻率n阻帶邊界頻率：阻帶邊界頻率：上邊界頻率上邊界頻率下邊界頻率下邊界頻率n通帶紋波幅度：通帶紋波幅度：n阻帶紋波幅度：阻帶紋波幅度：帶通及帶阻濾波器帶通及帶阻濾波器1()BPHj112slplsupu21plpuslpusu48帶阻濾波器的性能指標帶阻濾波器的性能指標n通帶邊界頻率：通帶邊界頻率：上邊界頻率上邊界頻率下邊界頻率下邊界頻率n阻帶邊界頻率：阻帶邊界頻率：上邊界頻率上邊界頻率下邊界頻率下邊界頻率n通帶紋波幅度：通帶紋波幅度：n阻帶紋波幅度：阻帶紋波幅度：211()BSHj1

29、12slplsupuplpuslpu49高通、帶通及帶阻濾波器的設計高通、帶通及帶阻濾波器的設計n歸一化低通濾波器原型歸一化低通濾波器原型通帶邊界頻率為通帶邊界頻率為1的模擬濾波器的模擬濾波器n高通、帶通及帶阻濾波器的設計過程高通、帶通及帶阻濾波器的設計過程采用頻率變換公式，將濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成歸一化低通濾波采用頻率變換公式，將濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成歸一化低通濾波器指標器指標利用精典濾波器的設計公式、圖表，設計歸一化低通濾波器的系利用精典濾波器的設計公式、圖表，設計歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)通過頻率變換公式，由通過頻率變換公式，由 獲得希望濾波器的系統(tǒng)函數(shù)獲得希望濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(

30、)G p( )G p50符號規(guī)定符號規(guī)定n歸一化低通濾波器原型歸一化低通濾波器原型邊界頻率邊界頻率n希望模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)希望模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)n頻率變換公式頻率變換公式n于是于是( )G ppjp( )dHssj 1( )( )pF ssFp( )( )( )dp F sHsG p1()( )( )ds FpG pHs511 模擬高通濾波器的設計模擬高通濾波器的設計n低通原型到高通濾波器的頻率變換低通原型到高通濾波器的頻率變換在虛軸上在虛軸上高通濾波器通帶邊界頻率高通濾波器通帶邊界頻率映射關(guān)系映射關(guān)系 低通低通 高通高通pphpspph pjsj 0,0 ,ppsspp , 00,php

31、hshshph 1()HPHj112shph1( )G p112sppph52例例 設計巴特沃思模擬高通濾波器設計巴特沃思模擬高通濾波器,通帶邊界頻率為通帶邊界頻率為fp=4kHz，阻帶邊界頻，阻帶邊界頻率為率為fs=1kHz，通帶最大衰減為，通帶最大衰減為0.1dB（fp處），阻帶最小衰減處），阻帶最小衰減s=40dB。解：高通濾波器指標解：高通濾波器指標1）確定相應低通原型濾波器的指標）確定相應低通原型濾波器的指標( )( )pphHPpsHsG p410.140pspsfkHz fkHzdBdB24000421000pphss1p0.140psdBdB532)設計巴特沃斯低通濾波器。設計

32、巴特沃斯低通濾波器。n 確定階次確定階次N：n可得可得Nn按照以上技術(shù)指標設計巴特沃斯低通濾波器。按照以上技術(shù)指標設計巴特沃斯低通濾波器。 /2040/201010100sA/100.1/101011010.1526204p10.254psk120.15262040.0015262899991kA1lg4.75lgkNNk11/102241.599999(1)scNA 140.140pspsdBdB54n歸一化的歸一化的 5 階濾波器的系統(tǒng)函數(shù)階濾波器的系統(tǒng)函數(shù)n3）高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)）高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)54325( )3.23615.23615.23613.23611D qppppp55

33、423324554321( )(/)3.23615.23615.23613.236110.24055.153313.27821.144520.810110.2405NcccccccG pDppppppppppp54420( )( )15.1073 109.7921 10pphHPpsHsG pss55MATLABwp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40; %設置濾波器指標參數(shù)設置濾波器指標參數(shù)N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s); %濾波器濾波器G(p)階數(shù)階數(shù)N和和3dB截止頻率截止頻率B,A=butter(N,wc,s); %計算低通濾波器計算低通濾波器G(p)系統(tǒng)函

34、數(shù)分子分母多項式系數(shù)系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式系數(shù)wph=2*pi*4000; %高通模擬濾波器通帶邊界頻率高通模擬濾波器通帶邊界頻率BH,AH=lp2hp(B,A,wph) %低通到高通轉(zhuǎn)換低通到高通轉(zhuǎn)換562.低通到帶通的頻率變換低通到帶通的頻率變換:n低通原型到帶通濾波器的頻率變換低通原型到帶通濾波器的頻率變換在虛軸上在虛軸上n通帶邊界頻率：上邊界頻率通帶邊界頻率：上邊界頻率 下邊界頻率下邊界頻率n高通濾波器的帶寬高通濾波器的帶寬n帶通濾波器的中心頻率帶通濾波器的中心頻率220pWspB s220pWB pjsj plpuWpuplB 057映射關(guān)系映射關(guān)系0,ppss0,plpupupls

35、uslsusl58減少減少 ，或增加，或增加減少減少 ，或增加，或增加帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)n可以證明：可以證明：n如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數(shù)，提高指標如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數(shù)，提高指標 ， 220( )( )pWsBPpB sHsG p20plpuslsu plpuslsu plpuslsu plslsupu59例：設計巴特沃思模擬帶通濾波器，通帶上下邊界頻率分別為例：設計巴特沃思模擬帶通濾波器，通帶上下邊界頻率分別為4kHz和和7kHz，阻帶上、下邊界頻率分別為，阻帶上、下邊界頻率分別為2kHz和和9kHz， 通帶內(nèi)最大衰減通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，

36、阻帶最小衰減，阻帶最小衰減s=20dB。解：解：1）高通濾波器指標）高通濾波器指標 增大增大2）低通原型濾波器指標）低通原型濾波器指標4712920plpupslsusfkHz fkHzdBfkHz fkHzdBplpuslsufff f,3.1111plpuslslsuffffkHzf222205.53.11111.9633 3.1111slspWffffB f 120psdBdB603）設計低通原型濾波器）設計低通原型濾波器4）求模擬帶通）求模擬帶通H(s)： 220( )( )pWsBPpB sHsG p613.低通到帶阻的頻率變換低通到帶阻的頻率變換:n低通原型到帶阻濾波器的頻率變換低

37、通原型到帶阻濾波器的頻率變換在虛軸上在虛軸上n阻帶邊界頻率：上邊界頻率阻帶邊界頻率：上邊界頻率 下邊界頻率下邊界頻率n帶阻濾波器的帶寬帶阻濾波器的帶寬n帶阻濾波器的中心頻率帶阻濾波器的中心頻率220WpB sps220WpB pjsj slsuWsuslB 062映射關(guān)系映射關(guān)系0,ppss0,slsususlpuplpupl63減少減少 ，或增加，或增加減少減少 ，或增加，或增加帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)n可以證明：可以證明：n如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數(shù)，提高指標如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數(shù)，提高指標 ， 220( )( )WpB sBSpsHsG p20pl

38、puslsu plpuslsu plpuslsu pususlpl646.2 IIR數(shù)字濾波器設計數(shù)字濾波器設計n目標：滿足給定頻率響應指標、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)目標：滿足給定頻率響應指標、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)n間接法設計過程間接法設計過程確定數(shù)字濾波器的指標確定數(shù)字濾波器的指標轉(zhuǎn)換成過渡模擬濾波器的指標轉(zhuǎn)換成過渡模擬濾波器的指標設計過渡模擬濾波器設計過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器n指標轉(zhuǎn)換指標轉(zhuǎn)換( )H z( )aHs( )H z22pppsssssssfFFfFF0,0, 2 sF65過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字

39、濾波器的要求nHa(s)的特性：的特性： 因果穩(wěn)定性因果穩(wěn)定性: 全部極點位于全部極點位于s平面的左半平面。平面的左半平面。 與傅里葉變換的關(guān)系：與傅里葉變換的關(guān)系： 虛軸的上虛軸的上Ha(s)nH(z)的特性的特性: 因果穩(wěn)定性因果穩(wěn)定性: 全部極點位于全部極點位于z平面的單位圓內(nèi)。平面的單位圓內(nèi)。 與傅里葉變換的關(guān)系：與傅里葉變換的關(guān)系：單位圓上的單位圓上的H(z)()(zHsHa轉(zhuǎn)換成數(shù)字設計模擬666.2.1脈沖響應不變法脈沖響應不變法n基本思想基本思想使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性；使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性；從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數(shù)

40、字濾波器的h(n)正好等于模擬濾正好等于模擬濾波器的波器的ha(t)的采樣值，即的采樣值，即 )()()()(zHznThthsHaaa函數(shù)變換得數(shù)字濾波器傳遞取進行采樣得：取拉氏逆變換得：得：由模擬濾波器設計理論( )(),( ) ( )ah nh nTH zZT h n67n濾波器系統(tǒng)函數(shù)（部分分式）濾波器系統(tǒng)函數(shù)（部分分式）n模擬濾波器的單位沖激響應模擬濾波器的單位沖激響應n采樣采樣nZ變換變換n單極點、分母階次高于分子階次，可直接由單極點、分母階次高于分子階次，可直接由 獲得獲得( )( )aH sH z1( )NkakkAHsss1( )( )kNs takkhtA eu t11(

41、)()( )()( )kkNNs nTs Tnakkkkh nh nTA eu nA eu n11( )1kNks TkAH zez( )aH s( )H z68因果穩(wěn)定性分析：因果穩(wěn)定性分析： sTzeS平面與平面與Z平面之間的平面之間的極點極點映射關(guān)系映射關(guān)系進一步可證明：進一步可證明：S平面與平面與Z平面之間的映射關(guān)系平面之間的映射關(guān)系ks TkzesTzejsjzre 令()jjTTj Treeee 69Tre單位圓外部單位圓外部r1右半平面右半平面 0單位圓內(nèi)部單位圓內(nèi)部r1左半平面左半平面 0單位圓單位圓r=1虛軸虛軸 =0Z平面平面S平面平面s平面到平面到z平面的平面的映射是映射

42、是多值映射。T 輻射線輻射線=0 0T T平行直線平行直線 =0 0正實軸正實軸=0實軸實軸 =0Z平面平面S平面平面:/TT:3 /TT /3 /TT:71( )( )at nTh nh t()jH e()aHj12()()jakkH eHjTT數(shù)字濾波器的頻響并數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單的重現(xiàn)模擬不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周模擬濾波器頻響的周期延拓期延拓72n無混疊失真的條件：無混疊失真的條件：帶限、滿足采樣定理帶限、滿足采樣定理n混疊失真的影響混疊失真的影響相似性變差、無法滿足阻帶衰減指標相似性變差、無法滿足阻帶衰減指標n脈沖響應不變法的優(yōu)缺點

43、：脈沖響應不變法的優(yōu)缺點：（1）頻率坐標變換是線性的，數(shù)字濾波器在無頻率混疊時能較好地重現(xiàn)原模擬）頻率坐標變換是線性的，數(shù)字濾波器在無頻率混疊時能較好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性；濾波器的頻率特性；（2）由于數(shù)字域的沖激響應模仿模擬域的沖激響應，故時域特性逼近好；）由于數(shù)字域的沖激響應模仿模擬域的沖激響應，故時域特性逼近好；（3）模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用脈沖）模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。（4）產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，不適合高通、帶阻濾波器

44、的設計。）產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，不適合高通、帶阻濾波器的設計。20)(sajH73增益的補償增益的補償2()1()jakkH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez( )( )at nTh nTh t2()()jakkH eHjTT T很小時增益很大很小時增益很大, , 易造成數(shù)字濾波器溢出易造成數(shù)字濾波器溢出改進改進: :74共軛極點的合并共軛極點的合并n避免復數(shù)乘法避免復數(shù)乘法n其中其中11( )1kNks TkTAH zez101112112111kkkkkks Ts TkkTATAbb zeza zazezkkkkkksjsj 01122Re,2Re2cos(),2kkkkTT

45、kkkkTTkkkbTAbTeA eaeTae /210112112( )1Nkkkkkbb zH za zaz75例例 將一個具有如下傳遞函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化。 解：s1=-1, s2=-3 3111) 3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT11( )1kNks TkAH zez76數(shù)字濾波器的頻率響應為: 顯然 與采樣間隔T有關(guān),如圖b,T越小,衰減越大,混疊越小,當 fs=24Hz ,混疊可忽略不計.模擬濾波器的頻率響應為模擬濾波器的頻率響應為:4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs2433)(1

46、)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj)(jeH7778教材教材 例例6.2.179例例622 脈沖響應不變法設計，通帶和阻帶均為單調(diào)下降特性， p=0.2, s=0.35, p=1dB, s=10dB解題思路：解題思路：1、 /，數(shù)字指標轉(zhuǎn)模擬指標； 2、設計模擬濾波器； 3、轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器（脈沖響應不變法）結(jié)果如下圖所示：結(jié)果如下圖所示： 802sT=1sT=0.1s816.2.2 雙線性變換法設計雙線性變換法設計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器n克服脈沖響應不變法的頻譜混疊現(xiàn)象，采用非線性頻率壓縮方法?？朔}沖響應不變法的頻譜混疊現(xiàn)象，采用非線性頻率壓縮方法。n雙線性變

47、換法的基本設計思想雙線性變換法的基本設計思想脈沖響應不變法：波形逼近脈沖響應不變法：波形逼近雙線性變換法：算法逼近。雙線性變換法：算法逼近。用線性常系數(shù)差分方程用線性常系數(shù)差分方程逼近逼近線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程82n微分方程到差分方程的近似微分方程到差分方程的近似微分方程微分方程近似近似差分方程差分方程11( )( )NNkaakkkkAHsHsss( )kakkAHsss( )( )( )akakadyts ytA xtdt( ) ( )(1)/,( )()aadyty ny nTy nynTdt ( )(1)/ ( )(1)/ 2 ( )(1)/ 2kky ny nTsy n

48、y nAx nx n( ) ( )(1)/ 2ayty ny n( ) ( )(1)/ 2,( )()aaxtx nx nx nxnT83n系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)nS域到域到z域的映射為雙線性變換域的映射為雙線性變換112 1111( )( )2 11kzkaksTzkAHzHszsTz11211( )( )zasTzH zHs112 11zsTz( )kakkAHsss84雙線性變換的性能分析雙線性變換的性能分析n穩(wěn)定性穩(wěn)定性映射關(guān)系映射關(guān)系1122TTzSS1()1()22TTjj 222221/2(/2)1/2(/2)TTzTT 010101zzz因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定( )aHs因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定(

49、 )H z85非線性頻率壓縮非線性頻率壓縮/2/2/2/2/2/2/2/2/2/22 11222sin(/ 2cos(/ 2)2tan()2jjjjjjjjjjjjejTeeeeT eeeeeT eejTjT )0112 11zsTz2tan()2T 86頻率響應的畸變頻率響應的畸變n幅頻特性幅頻特性 相頻特性相頻特性0 0| )(|jeH| )(|jHa0 00 00 0)(jeH)( jHa0 00 02tan()2T 87頻率響應的畸變頻率響應的畸變n幅頻特性例幅頻特性例288問題問題: 雙線性變換使得數(shù)字濾波器幅頻響應曲線有較大的失真雙線性變換使得數(shù)字濾波器幅頻響應曲線有較大的失真辦法

50、辦法: 將數(shù)字濾波器指標將數(shù)字濾波器指標 模擬濾波器指標，模擬濾波器指標， 按非線性關(guān)系式計算模擬濾波器邊界頻率按非線性關(guān)系式計算模擬濾波器邊界頻率 則所得數(shù)字濾波器的幅頻響應特性必然滿足指標。則所得數(shù)字濾波器的幅頻響應特性必然滿足指標。 此為此為“預畸變校正預畸變校正”。 psps22tan, tan 22TT89雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器的步驟雙線性變換法設計數(shù)字低通濾波器的步驟1）確定數(shù)字低通技術(shù)指標： 通帶邊界頻率 、通帶衰減 阻帶邊界頻率 、阻帶衰減 ；2）將數(shù)字低通指標轉(zhuǎn)換成模擬低通指標： 不變, 邊界頻率預畸校正：3）設計模擬低通濾波器；4）轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器：psps)2tan(2Tps22tan()tan()22pspsTT112 11( )( )zasTzH zHs90T的選擇的選擇n給定數(shù)字濾波器給定數(shù)字濾波器 T可以任意選可以任意選n給定模擬濾波器給定模擬濾波器T如何選？如何選？91n用雙線性變換法設計低通濾波器，通帶阻帶單調(diào)下降，指標要求如下：用雙線性變換法設計低通濾波器，通帶阻帶單調(diào)下降，指標要求如下：n解：解：1）轉(zhuǎn)換成模擬低通指標）轉(zhuǎn)換成模擬低通指標2）設計過渡模擬濾