第5章 抽樣與參數(shù)統(tǒng)計(jì)

1、第五章 抽樣與參數(shù)估計(jì)學(xué)習(xí)內(nèi)容一、抽樣推斷概述二、抽樣分布及其應(yīng)用三、常見(jiàn)的抽樣分布四、參數(shù)估計(jì)五、區(qū)間估計(jì)的計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解抽樣和抽樣分布的基本概念。2. 理解抽樣分布與總體分布的關(guān)系。3. 了解點(diǎn)估計(jì)的概念和估計(jì)量的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)。4. 掌握總體均值、總體比例和總體方差的區(qū)間估計(jì)。一、抽樣推斷概述推斷統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容抽樣推斷的過(guò)程統(tǒng)計(jì)推斷的基本假定a) 總體看作是一個(gè)隨機(jī)變量X，其概率分布為f(x)。b) 樣本看作是n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量(X1, X2, , Xn)，每個(gè)都具有與總體X相同的分布。c) 樣本中每個(gè)個(gè)體必須取自同一總體， X1, X2, , Xn相互獨(dú)立。統(tǒng)計(jì)推斷涉及的概念參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量

2、 參數(shù)：描述總體分布特征的量，如平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差。 統(tǒng)計(jì)量：由樣本觀察值算出的量，如 ，S2，S。 統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。抽樣分布及其形成過(guò)程抽樣分布（概念要點(diǎn)）所有樣本指標(biāo)（如均值、比例、方差等）所形成的分布稱為抽樣分布。抽樣分布是一種理論概率的分布。抽樣分布的結(jié)果來(lái)自容量相同的所有可能樣本。單選題樣本平均數(shù)和總體平均數(shù)（ ） A、前者是一個(gè)確定值，后者是隨機(jī)變量 B、前者是隨機(jī)變量，后者是一個(gè)確定值 C、兩者都是隨機(jī)變量 D、兩者都是確定值抽樣推斷的理論基礎(chǔ)（1）大數(shù)定律a) 大數(shù)定律在統(tǒng)計(jì)中是指一切關(guān)于大量隨機(jī)現(xiàn)象之平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理。 盡管單個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的具體表現(xiàn)不可避免地引起隨機(jī)偏差，然而

3、在大量隨機(jī)現(xiàn)象共同作用時(shí)，由于這些隨機(jī)偏差互相抵消、補(bǔ)償和拉平，致使總的平均結(jié)果趨于穩(wěn)定。 b) 為整個(gè)推斷統(tǒng)計(jì)提供了最基本的理論依據(jù)。猜硬幣賭局賭局1： 擲10次硬幣，賭正面朝上的頻率為0.4到0.6次。賭局2： 擲100次硬幣，賭正面朝上的頻率0.4到0.6次。賭局3： 擲1000次硬幣，賭正面朝上的頻率0.4到0.6次。貝努利大數(shù)定律設(shè)nA是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)； p表示事件A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)有：切比雪夫大數(shù)定律（2）中心極限定理 設(shè)從均值為，方差為 2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，多次抽樣得到的樣本均值近似服從均值為、方差為2/n的

4、正態(tài)分布。(一) 大數(shù)定律揭示了大量隨機(jī)變量的平均結(jié)果，但并沒(méi)有涉及到隨機(jī)變量的分布規(guī)律。(二) 中心極限定理是指在一定的條件下，大量相互獨(dú)立的隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布是以正態(tài)分布為極限的定理。(三) 中心極限定理則說(shuō)明了許多隨機(jī)變量的分布是正態(tài)或近似正態(tài)的。棣莫弗-拉普拉斯定理a) 隨機(jī)變量取的概率為、取非的概率為q=1-p時(shí)，抽取個(gè)單位組成樣本。b) 出現(xiàn)的次數(shù)組成的隨機(jī)變量叫做服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量。二、抽樣分布及其應(yīng)用1. 樣本均值的抽樣分布現(xiàn)從總體中抽取n2的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個(gè)樣本。所有樣本的結(jié)果如下表：所有樣本均值的均值和方差：式中：M為樣本數(shù)目。比較及結(jié)論

5、：1. 樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值。2. 樣本均值的方差等于總體方差的1/n。樣本均值的分布與總體分布的比較在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本均值的所有可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布。一種理論概率分布。推斷總體均值的理論基礎(chǔ)。樣本均值的抽樣分布與中心極限定理當(dāng)總體服從正態(tài)分布N (,2 )時(shí)，來(lái)自該總體的所有容量為n的樣本的均值 也服從正態(tài)分布， 的數(shù)學(xué)期望為，方差為2/n，即 N(,2/n)。核心結(jié)論：樣本均值的數(shù)學(xué)期望；樣本均值的方差樣本均值 的分布形式。 與總體分布有關(guān) 總體為正態(tài)分布，抽樣分布也為正態(tài)，與樣本容量無(wú)關(guān)。b) 與樣本量有關(guān) 總體不是正態(tài)分布，樣本量越大(n30)，

6、抽樣分布越接近正態(tài)分布。抽樣分布與總體分布的關(guān)系2. 樣本比例的抽樣分布比例：總體（或樣本）中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比。 不同性別的人與全部人數(shù)之比。 合格品(或不合格品) 與全部產(chǎn)品總數(shù)之比。1) 容量相同的所有可能樣本的樣本比例的概率分布。2) 當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似。3) 是一種理論概率分布。4) 推斷總體比例的理論基礎(chǔ)。核心結(jié)論樣本比例的數(shù)學(xué)期望：；樣本比例的方差:重復(fù)抽樣3. 樣本方差的抽樣分布正態(tài)總體樣本方差的抽樣分布設(shè)總體服從正態(tài)分布N (,2 )， X1，X2， Xn為來(lái)自該正態(tài)總體的樣本，則樣本方差 s2 的分布為：將2(n 1)稱為

7、自由度為(n-1)的卡方分布。樣本方差抽樣分布（2分布）的形成過(guò)程4. 抽樣分布的應(yīng)用例1 BTL商店的經(jīng)理想知道供貨商給他的電視質(zhì)量是否低于平均水平。他的研究表明電視機(jī)置換時(shí)間的均值為8.2年，標(biāo)準(zhǔn)差為1.1年。然后他隨機(jī)抽取50臺(tái)過(guò)去售出的電視機(jī)，發(fā)現(xiàn)這些電視機(jī)平均置換時(shí)間為7.8年。計(jì)算這50個(gè)隨機(jī)抽取的電視機(jī)的平均置換時(shí)間為7.8年或更短的概率。例2娛樂(lè)報(bào)道雜志發(fā)起了一項(xiàng)旨在增加訂閱的有獎(jiǎng)活動(dòng)。在過(guò)去，收到有獎(jiǎng)活動(dòng)參與材料的人中有26%最終參與了競(jìng)賽，訂閱了雜志。當(dāng)有獎(jiǎng)活動(dòng)的參與材料發(fā)放給500個(gè)隨機(jī)挑選的住戶時(shí)，估計(jì)新增訂閱結(jié)果的數(shù)量在125150（包括120和150）的概率。抽樣分

8、布應(yīng)用練習(xí)某高校學(xué)生的入學(xué)考試成績(jī)均值為550分，標(biāo)準(zhǔn)差為250分，若從中隨機(jī)抽取100名，求： 樣本平均成績(jī)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差值 分析樣本均值的抽樣分布 樣本平均成績(jī)?cè)?20分到580分之間的概率有多大？ 樣本平均成績(jī)小于580分的概率有多大？三、常見(jiàn)的抽樣分布1. 正態(tài)分布a) 正態(tài)分布的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)概念。如果隨機(jī)變量（X）的概率密度函數(shù)為：，則該隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。b) 式中為總體標(biāo)準(zhǔn)差；為總體均數(shù)；為圓周率，即3.14159···；e為自然對(duì)數(shù)的底，即2.71828···。密度函數(shù)的特性對(duì)稱性非負(fù)性2. 卡方分布設(shè)隨機(jī)變量相互

9、獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則隨機(jī)變量：卡方分布的性質(zhì)a) 恒為正值 。b) 卡方分布的期望值是自由度n，方差為2n。c) 卡方分布具有可加性?？ǚ椒植寂c正態(tài)分布的關(guān)系3. T分布T分布的性質(zhì)a) 不同的樣本容量， t分布有所不同。b) 大致對(duì)稱的鐘型形狀，但對(duì)于小樣本，它顯示出更大的方差（n/(n-2)）。c) 分布的均值為 =0。d) 分布的標(biāo)準(zhǔn)差隨著樣本容量的變化而變化，但它是大于1的。e) 隨著樣本容的增大，趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)n30時(shí)，二者之間的差異就很小了。正態(tài)分布、卡方分布與T分布的關(guān)系多選題T分布具有以下特征（ ） A、均值取決于自由度，方差等于1 B、均值為零，方差小于1

10、C、均值為零，方差大于1 D、方差隨自由度的增加而降低 E、方差隨自由度的增加而增加4. F分布F分布的性質(zhì)a) 不對(duì)稱性。b) 和卡方分布一樣， 分布的值也是非負(fù)的。c) 分布的準(zhǔn)確形狀取決于兩個(gè)不同的自由度。四、參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)的方法被估計(jì)的總體參數(shù) 1. 點(diǎn)估計(jì)（概念要點(diǎn)）a) 從總體中抽取一個(gè)樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體的未知參數(shù)作出一個(gè)數(shù)值點(diǎn)的估計(jì)。 例如: 用樣本均值作為總體未知均值的估計(jì)值就是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)。b) 點(diǎn)估計(jì)沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體未知參數(shù)程度的信息。c) 點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等。2. 區(qū)間估計(jì)（概念要點(diǎn)）a) 根據(jù)一個(gè)樣本的觀察值

11、給出總體參數(shù)的估計(jì)范圍。b) 給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率。 例如: 總體均值落在5070之間，置信度為 95%。3. 置信區(qū)間 (confidence interval)a) 統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間。b) 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值。c) 我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)。4. 置信水平a) 總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率。b) 表示為 (1 - ) % 為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的

12、概率。c) 常用的置信水平值有 99%、95%、90%。相應(yīng)的 為0.01、0.05、0.10。置信區(qū)間與置信水平回顧：經(jīng)驗(yàn)法則（落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本）5. 影響區(qū)間寬度的因素a) 數(shù)據(jù)的離散程度，用 來(lái)測(cè)度。b) 樣本容量c) 置信水平 (1 - )，影響 Z 的大小。判斷題1) 有95%的樣本均值會(huì)落在總體真值的1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。2) 有95%的樣本均值所構(gòu)造的1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間會(huì)包括總體真值。3) 某個(gè)樣本均值所構(gòu)造的1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間包含總體真值的概率約為95%。6. 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)1）估計(jì)量用于估計(jì)總體某一參數(shù)的隨機(jī)變量。 如樣本均值，樣本比例、樣本中位數(shù)

13、等。 例如: 樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量。 如果樣本均值 x = 3 ，則 3 就是 的估計(jì)值。2）理論基礎(chǔ)是抽樣分布。無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)。有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效。 一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)。 單選題無(wú)偏性是指（ ） A、抽樣指標(biāo)的平均數(shù)等于被估計(jì)的總體指標(biāo) B、當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，樣本指標(biāo)充分靠近總體指標(biāo) C、隨著n的無(wú)限增大，樣本指標(biāo)與未知的總體指標(biāo)之間的離差任意小的可能性趨于實(shí)際必然性 D、作為估計(jì)量的方差比其他估計(jì)量的方差小若甲估計(jì)量的方差小于乙估計(jì)量的方差，

14、則稱（ ） A、甲是無(wú)偏估計(jì)量 B、乙是一致估計(jì)量 C、乙比甲有效 D、甲比乙有效五、區(qū)間估計(jì)的計(jì)算² 區(qū)間估計(jì)的內(nèi)容² 區(qū)間估計(jì)的計(jì)算a) 總體均值的區(qū)間估計(jì)b) 總體比率的區(qū)間估計(jì)c) 樣本容量的確定1. 總體均值的區(qū)間估計(jì)（正態(tài)總體，方差已知）a) 假定條件總體服從正態(tài)分布，且總體方差（）已知。不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來(lái)近似 (n 30)。b) 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量：c) 總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為：例 某種零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，測(cè)得其平長(zhǎng)度為2 1 . 4mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差 =0.15mm，試建立該種零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，給

15、定置信水平為0.95。2. 總體均值的區(qū)間估計(jì)（正態(tài)分布，方差未知，小樣本）a) 假定條件： 總體方差（）未知?？傮w必須服從正態(tài)分布。小樣本 (n < 30)。b) 使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量：c) 總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為：例從一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本, n=25，其均值x = 50 ，標(biāo)準(zhǔn)差 s =8。 建立總體均值m 的95 %的置信區(qū)間。例 已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間。(16只燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)：1510、1520、1480、1500、1450、1480、1510

16、、1520、1480、1490、1530、1510、1460、1460、1470、1470)3. 總體均值的區(qū)間估計(jì)（大樣本，方差未知）a) 假定條件總體方差() 未知。大樣本(n 30)。b) 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z：c) 總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為：【例】某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。試以95的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（已知總體方差為36分鐘）?！纠恳患冶ｋU(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間。計(jì)算題假設(shè)已知某品牌電視

17、機(jī)顯像管壽命的標(biāo)準(zhǔn)差是500，但是其壽命均值是未知的。不過(guò)，顯像管壽命可以假設(shè)為近似服從正態(tài)分布。一個(gè)n15的樣本的壽命均值8 900小時(shí)。計(jì)算總體均值的：(a)95%置信區(qū)間；(b)90%置信區(qū)間。假設(shè)你希望估計(jì)去年某種消費(fèi)品在每家零售店里的平均銷售額。零售店數(shù)量很多。如果總體是正態(tài)分布的且已知： $3425，s=$200，n =25；試計(jì)算其95%置信區(qū)間。4. 總體比率的區(qū)間估計(jì)a) 假定條件總體服從二項(xiàng)分布。大樣本（nP>=5,n(1- P)>=5)。b) 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量：c) 總體比例的置信區(qū)間為：【例】某企業(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職工流動(dòng)原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)

18、選取了200人組成一個(gè)樣本。在對(duì)其進(jìn)行訪問(wèn)時(shí)，有140人說(shuō)他們離開(kāi)該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。試對(duì)由于這種原因而離開(kāi)該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間。【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比率，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比率的置信區(qū)間。5. 樣本容量的確定a) 確定樣本容量的公式根據(jù)“允許誤差”的公式推導(dǎo)而來(lái)。b) 抽樣平均誤差即樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本容量越大，抽樣平均誤差越小。c) 允許誤差：d) 估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量n為：e) 樣本容量n與總體方差 2、允許誤差E、可靠性系數(shù)z或t之間的關(guān)系為： 與總體方差成正比。 與允許誤差成反比。 與可靠性系數(shù)成正比。單選題在其他條件不變情況下，要使樣本均值的抽樣平均誤差為原來(lái)的1/3，則樣本單位數(shù)必須（） A、增大到原來(lái)的3倍 B、增大到原來(lái)的9倍 C、增大到原來(lái)的6倍 D、也是原來(lái)的1/3【例】擁有工商管理學(xué)