等時圓模型(最新最全)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上“等時圓”模型的規(guī)律及應(yīng)用一、 等時圓模型（如圖所示） 二、 等時圓規(guī)律：1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點的時間相等。（如圖a）2、小球從圓上的各個位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時間相等。（如圖b）3、沿不同的弦軌道運動的時間相等，都等于小球沿豎直直徑（）自由落體的時間，即 （式中R為圓的半徑。）三、等時性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運動，加速度為，位移為，所以運動時間為 即沿各條弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關(guān)。四、應(yīng)用等時圓模型解典型例題例1：

2、如圖1，通過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（ ）A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定【解析】：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應(yīng)在同一“等時圓”上，所以A正確。圖2 例2：如圖2，在斜坡上有一根旗桿長為L，現(xiàn)有一個小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從A滑到B的時間?！窘馕觥浚嚎梢砸設(shè)為圓心，以 L為半徑畫一個圓。根據(jù)“等時圓”的規(guī)律可知，從A滑到B的時間等于從A點沿直徑到底端D的時間，所以有例3：如圖5所示，在同一豎直線上有A、B兩點，相距為

3、h，B點離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋找一點P，使得從A、B兩點分別向點P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點的時間相等，求O、P兩點之間的距離。解析：由“等時圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時圓周上，且P點處于等時圓的最低點時，即能滿足題設(shè)要求。如圖6所示，此時等時圓的半徑為： 所以 O例4：如圖7， AB是一傾角為的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時間到達輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？P解析：借助“等時圓”，可以過P點的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C為切點，O

4、為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達C點處的時間與沿其他弦到達“等時圓”的圓周上所用時間相等。因而，要使原料從P處到達輸送帶上所用時間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于/ 2。三、“形似質(zhì)異”問題的區(qū)分1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達圓環(huán)底部的時間還等不等？解析：bd的長為2Rcos，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos-gsin，tbd=2?？梢妕與有關(guān)。2、如圖9，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圓心O，而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑

5、塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個小孩同時從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則 （ ） A、a處小孩最先到O點 B、b處小孩最先到O點C、c處小孩最先到O點 D、a、c處小孩同時到O點解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R，則=gsint2，t2=，當(dāng)=450時，t最小，當(dāng)=300和600時，sin2的值相等。例3：如圖3，在設(shè)計三角形的屋頂時，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動。試分析和解：在屋頂寬度（2L）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的

6、最短時間是多少？【解析】：=gsint2 ， t2=，當(dāng)=450時，t最小訓(xùn)練1、如圖所示,oa、ob、oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細桿,O、a、b、c、d位于同一圓周上,d點為圓周的最高點,c點為最低點.每根桿上都套著一個小滑環(huán)(圖中未畫出),三個滑環(huán)都從o點無初速釋放,用、依次表示滑環(huán)到達a、b、c所用的時間,則(  )A. B.  C.  D.答案詳解D解:以O(shè)點為最高點,取合適的豎直直徑oe作等時圓,交ob于b,如圖所示,顯然o到f、b、g、e才是等時的,比較圖示位移,故推得,選項ABC錯誤,D正確.2、身體素質(zhì)拓展訓(xùn)練中，人

7、從豎直墻壁的頂點A沿光滑桿自由下滑傾斜的木板上（人可看做質(zhì)點），若木板的傾斜角不同，人沿著三條不同路徑AB、AC、AD滑到木板上的時間分別為t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD與板的夾角分別為70°、90°和105°，則 （）A. t1>t2>t3 B. t1<t2<t3 C. t1=t2=t3D. 不能確定t1、t2、t3之間的關(guān)系解析：若以O(shè)A為直徑畫圓，如圖，則AB交圓周與E點，C點正好在圓周上，D點在圓周之內(nèi)，AD的延長線交圓周與F點，設(shè)AC與AO的夾角為，根據(jù)牛頓第二定律得人做初速為零的勻加速直線運動的加速度為：a=

8、gcos由圖中的直角三角形可知，人的位移為：S=AOcos則可知人從A到C得時間為：，可知與斜面的傾角無關(guān)，即人從A帶你滑到ECF的時間是相等的，則可知人從A點滑到BCD的時間關(guān)系t1>t2>t3，故A正確；故選：A3、豎直正方形框內(nèi)有三條光滑軌道OB、OC和OD，三軌道交于O點，且與水平方向的夾角分別為30o、45o和60o?，F(xiàn)將甲、乙、丙三個可視為質(zhì)點的小球同時從O點靜止釋放，分別沿OB、OC和OD運動到達斜面底端。則三小球到達斜面底端的先后次序是A. 甲、乙、丙 B. 丙、乙、甲 C. 甲、丙同時到達，乙后到達D. 不能確定三者到達的順序4、如圖所示,地面上有一固定的球面,球半徑為R,球面的斜上方P處有一質(zhì)點(P與球心O在同一豎直平面內(nèi)).已知P到球心O的距離為L,P到地面的垂直距離為H,現(xiàn)要使此質(zhì)點從靜止開始沿一光滑斜直軌道在最短時間內(nèi)滑到球面上,求所需的最短時間.解:(1)求證:如圖所示小球從豎直平面的半徑為R'的圓的頂點,沿光滑軌道運動到任何方向圓外邊緣,任取一條軌道PQ,PQ與水平面的夾角為,由三角關(guān)系得PQ的長度為:由牛頓第二定律得,沿光滑斜面下滑的加速度為:由位移時間公式得,運動時間:即運動時間與角度無關(guān),故對應(yīng)任何軌道的時間均相同.(2)作圖:以P為頂點作一半徑為r的球