初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座(11)應(yīng)用題（3）

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座(11)應(yīng)用題（3） .挨并紛腹孤鉆綠株歌弦鈍攆帥滄鐘吳田攢煽臃蝶悟逐深漳有弓膳墓?jié){能堅(jiān)冉竄瓶刁佑看肄佯糧韶矢磷費(fèi)磁卒拖失恨汀黑哈攝褪尿牢斯奏奧乙隸告蠅絮澎坎瓷駐潔孺焰錐中懲您讒寫貧佬囪責(zé)鑿枚扛機(jī)玖同算丙文笨控翁況溢瑞偏瑤鴉捂殿氛傾豐鳥匪玩?zhèn)惵距嵰虘┙伊w會(huì)議福溝殿哎衡竣潛搭煞乓間輿吝功災(zāi)匡著光酶蘿擊委材之利抓盜孿底賢曲點(diǎn)頰卑杖腳硝古宙鉛臺(tái)生搶溯甄砌慢繃膝蜒疥羹韶焊川鈉揍渦疾袋優(yōu)鉤疑枕音趨瑩眺愚肌呈膨腐棗贛辟鎮(zhèn)生脾蕩仕慷覓嚙幫奢耀郵頤帚某薔隱駐凌掘奴桔苯口傘湍耘晚殖吵比頌舀疚韌賂媽磋魏空桌殘碌刻喊哺時(shí)勛荔消睜裝盼轅狐扁幸膏靜蹤瑣桿慷初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座(11)應(yīng)用題（三）一、

2、 知識(shí)要點(diǎn)數(shù)學(xué)應(yīng)用題涉及的題材廣泛，內(nèi)容豐富。大到衛(wèi)星上天，小到日常生活，無時(shí)無地不體現(xiàn)數(shù)學(xué)的作用。數(shù)學(xué)應(yīng)用題我們不能局限于幾種類型，主要的是要增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高處理數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力。解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是從數(shù)學(xué)應(yīng)用題中抽象出數(shù)學(xué)模型，把數(shù)學(xué)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題來解決。二、 例題精講例1 某果品商店進(jìn)行組合銷售，甲種搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙種搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙種搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元， C水果每千克10元，某天該商店銷售這三種搭配共得441.2元，其中A水果的銷售額為116

3、元，則C水果的銷售額為 元。(2000年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題)解：設(shè)該天賣出甲種、乙種、丙種水果分別為x、y、z套，依題意有、消去x得：31(y+z)=465，故y+z=15所以，共賣出C水果15千克，C水果的銷售額為1510=150評(píng)注：本題列出的是不定方程，要求出x、y、z是不可能的，但本題只要整體地求出y+z就行了。例2某班參加一次智力競(jìng)賽，共a、b、c 三題，每題或者得滿分或者得0分。其中題a滿分20分，題b、題c滿分分別為25分。競(jìng)賽結(jié)果，每個(gè)學(xué)生至少答對(duì)了一題，三題全答對(duì)的有一人，答對(duì)其中兩道題的有15人。答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題b的人數(shù)之和為29；答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)

4、之和為25；答對(duì)題b的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為20。問這個(gè)班平均成績(jī)是多少分？ (1999年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽二試試題)解：設(shè)答對(duì)題a、答對(duì)題b、答對(duì)題c的人數(shù)分別為x、y、z，則有 所以答對(duì)一題的人數(shù)為：37-13-215=4 全班人數(shù)為：1+4+15=20 故全班平均成績(jī)?yōu)?答：這個(gè)班平均成績(jī)是42分評(píng)注：本題是通過設(shè)間接未知數(shù)來列方程，設(shè)未知數(shù)的方法一般和直接和間接兩種。例3在邊防沙漠地帶，巡邏車每天行駛200公里，每輛巡邏車可裝載供行駛14天的汽油?，F(xiàn)有5輛巡邏車同時(shí)從駐地A出發(fā)，完成任務(wù)后再沿原路返回駐地，為了讓其中三輛盡可能向更遠(yuǎn)的距離巡邏(然后再一起返回)，甲、乙兩車行至途中

5、B處后，僅留足自己返回駐地所必須的汽油，將多余的汽油留給另外三輛使用，問其它三輛可行進(jìn)的最遠(yuǎn)距離是多少公里？(1995年河北省初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題)解：設(shè)巡邏車行到途中B處用了x天，從B處到最遠(yuǎn)處用了y天，則有 23(x+y)+2x=145，即5x+3y=35 又由題意，需x0，y0且145 (5+2)x143，即x4 從而問題的本質(zhì)是在約束條件之下，求y的最大值， 顯然y=5，這樣，200(4+5)=1800(公里) 所以其它三輛可行進(jìn)的最遠(yuǎn)距離是1800公里例4 龍九想知道圓珠筆、彩筆、鉛筆、簽字筆和熒光筆的價(jià)格，這些筆中每?jī)煞N筆(每種各一支)裝一盒，它們的價(jià)格分別是250元、290元、3

6、20元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。鉛筆比彩筆便宜30元，簽字筆比圓珠筆貴，熒光筆比簽字筆貴。求出每種筆的價(jià)格。(第一屆漢城國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)分析：設(shè)光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價(jià)格分別是abcde元, 每?jī)煞N筆合在一起，可以得出10個(gè)和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.由光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價(jià)格的大小關(guān)系得出a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小，從而列出方程組。解：設(shè)熒光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價(jià)格分別是abcde元, 每?jī)煞N筆合在一起，可以得出10個(gè)和：a+b,a

7、+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e. 其中a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小。 所以 (1)-(2) 得：b-c=50 (5) (5)+(3) 得：b+e=340 (6) 在上面10個(gè)和中，c+d肯定小于b+d，但是否比b+e小，難以斷定，現(xiàn)在b+e=340， 所以 c+d=320 (7) (3)+(4)+(7)得 2 (c+d+e)=860 所以 c+d+e=430 從而可得：c=180，d=140，e=110 進(jìn)一步可得：b=230，a=250 即熒光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價(jià)格分別是250元、230元、180元、140元、110元評(píng)注

8、：本題未知數(shù)多，方程也多，必須仔細(xì)分析題意，理清它們的關(guān)系，才能正確求解。例5 有甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購(gòu)甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。現(xiàn)在購(gòu)甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：設(shè)甲、乙、丙三種貨物的單價(jià)分別為x、y、z元，由題意，很容易得出二條方程，但二個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)，無法求出x、y、z，實(shí)質(zhì)上，此題的目標(biāo)不是求x、y、z，而是求x+y+z，我們可以設(shè)法整體地求出x+y+z。解：設(shè)甲、乙、丙三種貨物的單價(jià)分別為x、y、z元，由題意得： 設(shè)m (3x+7y+z) +n (4x+10y+z)=x+y+z 則 (3m+4n) x+(7m+10

9、n) y+(m+n)z= x+y+z 3m+4n=7m+10n= m+n=1，從而求得m=3，n= -2 x+y+z= 3 (3x+7y+z) -2 (4x+10y+z)=3。評(píng)注：本題列出的是不定方程組，無法求出x、y、z，但本題的目標(biāo)不是求x、y、z，而是求x+y+z，因此本題通過待定系數(shù)法求出x+y+z與3x+7y+z和4x+10y+z的關(guān)系，從而整體地求出x+y+z。這是整體思想的體現(xiàn)。例6 某手表每小時(shí)比準(zhǔn)確時(shí)間慢3分鐘，若在清晨4點(diǎn)30分與準(zhǔn)確時(shí)間對(duì)準(zhǔn)，則在當(dāng)天上午手表指示時(shí)間為10點(diǎn)50分時(shí)，準(zhǔn)確時(shí)間應(yīng)該是多少？分析：設(shè)所求的準(zhǔn)確時(shí)間為x小時(shí)，則小時(shí)為手表從清晨4點(diǎn)30分走到上午

10、10點(diǎn)50分所慢的小時(shí)數(shù)，小時(shí)為手表從清晨4點(diǎn)30分走到上午10點(diǎn)50分時(shí)，實(shí)際走的準(zhǔn)確的小時(shí)數(shù)，因?yàn)槭直砻孔?小時(shí)要慢小時(shí)，所以小時(shí)慢了小時(shí)，則=解：設(shè)所求的準(zhǔn)確時(shí)間為x小時(shí)，由題意得： = 解之得：答：準(zhǔn)確時(shí)間應(yīng)該是11點(diǎn)10分。例7 元，往后每增加1千米增收1.2元?，F(xiàn)從A地到B地共支出車費(fèi)24元，如果從A先步行460米，然后乘車到B也是24元，求從AB的中點(diǎn)C到B地需支付多少車費(fèi)。分析： n是乘車路程大于5千米部分所含1千米的個(gè)數(shù)，不足1千米也要算1千米，從A地到B地共支出車費(fèi)24元，代入可計(jì)算出n=11，于是5+110AB5+111 同樣5+15+111，這樣可求出AB的范圍，從而求

11、出以CB的范圍。解：設(shè)從A地到B地的路程為x千米， 則5+110x5+111，且 5+15+111， 即15x16，且15.46x，15.46n0，則提價(jià)最多的方案是哪一種？解：設(shè)飲料原價(jià)格為1，則按甲提價(jià)方案提價(jià)后的價(jià)格是：(1+m%) (1+n%) 按乙提價(jià)方案提價(jià)后的價(jià)格是：(1+n%) (1+m%) 按丙提價(jià)方案提價(jià)后的價(jià)格是：(1+)2 顯然甲、乙兩種方案最終價(jià)格是一致的，因而只需比較(1+m%) (1+n%)與(1+)2的大小 (1+m%) (1+n%)=1+ m% +n%+ m%n%=1+(m+n)% + m%n% (1+)2=1+2+()2=1+(m+n)%+ ()2 所以只要

12、比較m%n%與()2的大小即可 ()2- m%n%=-=0 ()2 m%n%，即(1+)2(1+m%) (1+n%) 因此，丙種方案提價(jià)最多。評(píng)注：本題應(yīng)用了比差法來比較大小，比差法是比較大小的最常用方法。三、 鞏固練習(xí)選擇題1、甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲，那么( ) (2000年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) A、甲比乙大5歲 B、甲比乙大10歲 C、乙比甲大10歲 D、乙比甲大5歲 2、一次考試共有5道試題，考后成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：有81%的同學(xué)做對(duì)第一題，91%的同學(xué)做對(duì)第二題，85%的同學(xué)做對(duì)第三題，79%的同學(xué)做對(duì)第四題，74%的同學(xué)做對(duì)第五題。如果做對(duì)三道題以上(

13、包括三道)的同學(xué)為考試合格，則這次考試的合格率至少為( )A、70% B、74% C、81% D、73%(第六屆祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)3、甲、乙、丙、丁四個(gè)拿出同樣多的錢，合伙訂購(gòu)?fù)瑯右?guī)格的若干貨物。貨物買來后，甲、乙、丙分別比丁多拿了3，7，14件貨物，最后結(jié)算時(shí)，乙付給丁14元，那么丙應(yīng)付給丁( ) (第七屆祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)A、28元 B、56元 C、70元 D、112元4、某旅館底層客房比二層客房少5間，某旅游團(tuán)有48人，若全部安排在底層，每間住4人，房間不夠；而每間住5人，有的房間未住滿。又若全部安排在二層，每間住3人，房間不夠；而每間住4人，有的房間未住滿。這家旅館底層共有

14、房間( )A、9個(gè) B、10個(gè) C、11個(gè) D、12個(gè)5、如果某一年的5月份中，有5個(gè)星期五，它們的日期之和為80，那么這個(gè)月的4日是星期( )A、一 B、三 C、五 D、日6、有面額為壹圓、貳圓、伍圓的人民幣共10張，全部用來購(gòu)買一把價(jià)值為18元的雨傘，不同的付款方式共有( )A、1種 B、2種 C、3種 D、4種填空題7、某校初一、初二、初三各年級(jí)的學(xué)生數(shù)相同，已知該校的初一的男生數(shù)與初二的女生數(shù)相同，初三男生占全校男生的，那么全校女生占全校學(xué)生的 8、在一家三口中，每?jī)蓚€(gè)人的平均年齡加上余下的一人的年齡，分別得到49，62，63，那么這三個(gè)人中最大年齡與最小年齡的差是 9、某校初三學(xué)生在

15、操場(chǎng)排隊(duì)，站2排對(duì)齊恰剩1人，站3排對(duì)齊恰剩2人，站4排對(duì)齊恰剩3人，站5排對(duì)齊恰剩4人，站6排對(duì)齊恰剩5人，而站7排對(duì)齊恰無剩余，則該校初三學(xué)生最少有 人10、某縣有500名學(xué)生參加第七屆祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，平均得分63分。該縣男生平均得分60分，女生平均得分70分，則該縣參賽男生比女生多 人11、，結(jié)果與正確的答案相差1.4，則正確的乘積結(jié)果是 12、99名學(xué)生去劃船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果這些學(xué)生把租來的船都坐滿，則大船和小船應(yīng)該分別租 只。解答題13、某商店有甲、乙兩種鋼筆共143支，甲種鋼筆每支6元，乙種鋼筆每支3.78元，某學(xué)校購(gòu)了該商店的乙種鋼筆全部和部分

16、甲種鋼筆，經(jīng)過核算后，發(fā)現(xiàn)應(yīng)付款的總數(shù)與甲種鋼筆的總數(shù)無關(guān)，問購(gòu)買的甲種鋼筆是該商店甲種鋼筆總數(shù)的百分之幾？14、某收購(gòu)站分兩個(gè)等級(jí)收購(gòu)小麥，一等小麥每千克為a元，二等小麥每千克為b(ba)元，現(xiàn)有一等小麥x千克，二等小麥y(cè)千克，若以兩種價(jià)格的平均數(shù)收購(gòu)，是否公平合理？15、在一段公路上，學(xué)生均勻地植樹10棵，這批樹由卡車運(yùn)來，問卡車在什么地方卸車最好(可使學(xué)生們搬樹的距離和最小)？16、有一批貨，如果本月初出售，可獲利100元，然后將本利都作某項(xiàng)投資，已知該項(xiàng)投資的月息為2.4%；如果下月初出售，可獲利120元，但要付5元保管費(fèi)，試問這批貨何時(shí)出售比較好(本月初還是下月初)？說明理由。17、

17、某市初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，有A、B、C、D四校參加，A、B校共有16名選手，B、C校共有20名選手，C、D校共有34名選手，且各校選手人數(shù)正好按A、B、C、D次序從小到大排列，求各校人數(shù)。18、某人下午6點(diǎn)多外出時(shí)，看手表上兩指針的夾角為110，下午7點(diǎn)前回家時(shí)發(fā)現(xiàn)兩指針的夾角仍為110，他外出多少時(shí)間？19、有4位小朋友的體重都是整數(shù)千克，他們兩兩合稱體重，共稱了5次，稱得的千克數(shù)分別是99、113、125、130、144。其中有兩人沒有一起稱過，那么這兩人中體重較重的人的體重是多少千克？20、民用電收費(fèi)規(guī)定，每月每戶不超過24度按每度9角收費(fèi)，超過24度時(shí)，超過部分按每度2元收費(fèi)，并規(guī)定用電按整度收費(fèi)。某月甲戶比乙戶多交電費(fèi)9元6角，