對稱性在微積分學(xué)中的應(yīng)用20150711

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對稱,則 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對稱,則 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf x yy關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)二重積分的對稱性二重積分的對稱性目錄 上頁

2、 下頁 返回 結(jié)束 120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（3）如果D關(guān)于原點對稱,則 有 ( , )x yD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論:若若 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 和和 y 軸都對稱軸都對稱 ,則則10,( , )( , )4( , ),( , ),DDf x yxyf x y dxdyf x y dxdyf x yx y關(guān)于 或 為奇函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)1( , )|0,0Dx yD xyD1Dxy目錄 上頁 下頁

3、返回 結(jié)束 積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線y=x對稱，即若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對稱性：二重積分的輪換對稱性：也就是表示D不等式x,y對調(diào)不等式不變,有(1)( , )d( , )dDDf x yf y x若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線 y=x 對稱的兩部分，則：.),(),(21dxdyxyfdxdyyxfDD簡述為“你對稱，我奇偶你對稱，我奇偶”.(2)( , )( , ) f x yf y x( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，d),(Dyxfd),(21Dyxf則D1Dxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.二重積分的對稱

4、性二重積分的對稱性（1）如果D關(guān)于y軸對稱,則 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D關(guān)于x軸對稱,則 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf x yy關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 120,(,)( , ),2( , )( ,

5、 )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（4）如果D關(guān)于直線 對稱，則yx( , )( , )DDf x y dxdyf y x dxdy（3）如果D關(guān)于原點對稱,則 有 ( , )x yD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1)( , )( , )DDf x y dxdyf y x dxdy稱為關(guān)于積分變量的輪換對稱性若 D 關(guān)于直線y = x對稱，則簡述為“你對稱，我奇偶你對稱，我奇偶”運用對稱性是要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，(2)( , )( , ) f x yf y

6、 xD 位于 y=x 軸右下方的部分為D1 , ( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，則d),(Dyxfd),(21Dyxf則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 補充：補充：利用對稱性化簡三重積分計算利用對稱性化簡三重積分計算12( , , ):( , , )0:f x y z dvfzf x y z dvfz的偶函數(shù)的奇函數(shù)yozxxozy1,(:)I若關(guān)于三坐標(biāo)面都對稱卦限 則：1212,xoy 若且、關(guān)于面對稱，則：18( , , ): , ,( , , )0:f x y z dVfx y zf x y z dVf的偶函數(shù)任一變量的奇函數(shù)關(guān)于z是偶函數(shù)( ,

7、 ,)( , , )f x yzf x y z( , , )f x y z關(guān)于z是奇函數(shù)( , ,)( , , )f x yzf x y z ( , , )f x y z目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三重積分的輪換對稱性三重積分的輪換對稱性: :(, )d d d(, )d d d .fx y zx y zfy x zx y z 1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x積分域積分域 不變不變,則則2.(三字母輪換三字母輪換) 如果將如果將x,y,z換為換為y,z,x積分域積分域 不變不變,則則(, )d d d(, ,)d d d .fx y zx y zfy z xx

8、y z 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注: :關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性若 L 關(guān)于 y 軸對稱( , )Lf x y ds對(1)(, )( , )( , )0Lfx yf x yf x y ds當(dāng)時1(2)(, )( , )( , )2( , )LLfx yf x yf x y dsf x y ds當(dāng)時其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL x若 L 關(guān)于直線 y = x 對稱(即x與y對調(diào)后L表達式不變)( , )( , )LLf x y dsf y x ds原理原理: 積分值與被積變量用什么字母表示無關(guān)積

9、分值與被積變量用什么字母表示無關(guān)xy01LL目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注 關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性若 L 關(guān)于xoy 平面對稱( , , )f x y z ds對(1)( , ,)( , , )( , , )0f x yzf x y zf x y z ds當(dāng)時1(2)( , ,)( , , )( , , )2( , , )f x yzf x y zf x y z dsf x y z ds當(dāng)時其中 是 的關(guān)于 xoy 平面平面對稱的部分弧段1( , , )|( , , ),0 x y zx y zL z 1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果以如果以y代代x,

10、以以z代代y,以以x代代z后后, ( , )d( , ,)d .f x y zsfy z xs 1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x, ( , , )d( , , )d .f x y zsf y z xs2.(三字母輪換三字母輪換) 表達式不變表達式不變,則則的表達式不變的表達式不變,則則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 補充：利用對稱性簡化對面積的曲面積分計算12( , , ):( , , )0:f x y z dSfzf x y z dSfz的偶函數(shù)的奇函數(shù)yozxxozy1,(:)I若 關(guān)于三坐標(biāo)面都對稱卦限 則：1212,xoy 若且、關(guān)于面對稱，則：18( ,

11、, ): , ,( , , )0:f x y z dSfx y zf x y z dSf的偶函數(shù)任一變量的奇函數(shù)關(guān)于z是偶函數(shù)( , ,)( , , )f x yzf x y z( , , )f x y z關(guān)于z是奇函數(shù)( , ,)( , , )f x yzf x y z ( , , )f x y z目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對面積的的曲面積分的輪換對稱性對面積的的曲面積分的輪換對稱性: :(, )(, ).fx y z dSfy x z dS 1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x積分域積分域不變不變,則則2.(三字母輪換三字母輪換) 如果將如果將x,y,z換為換

12、為y,z,x積分域積分域 不變不變,則則(, )(, ,).fx y z dSfy z x dS 完全類似于三重積分的對稱性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用對稱性化簡對坐標(biāo)的曲線積分利用對稱性化簡對坐標(biāo)的曲線積分若 分段光滑曲線L 關(guān)于 y 軸對稱,且L在y軸右半部分和在y軸左半部分的方向相反( , )Lf x y dx對(1)(, )( , )( , )0Lfx yf x yf x y dx當(dāng)時, 1(2)(, )( , ),( , )2( , )LLfx yf x yf x y dxf x y dx當(dāng)時其中L1 是L 的關(guān)于 y 軸對稱的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx y

13、L x,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dxf x y dxfx右若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸(y)對稱就關(guān)于誰對稱就關(guān)于誰(y軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用對稱性化簡對坐標(biāo)的曲線積分利用對稱性化簡對坐標(biāo)的曲線積分若 分段光滑曲線L 關(guān)于 x 軸對稱,且L在x軸上半部分和在x軸下半部分的方向相反( , )Lf x y dx對(1)( ,)( , )( , )0Lf xyf x yf x y dx當(dāng)時,

14、 1(2)( ,)( , ),( , )2( , )LLf xyf x yf x y dxf x y dx 當(dāng)時其中L1 是L 的關(guān)于 x 軸對稱的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL y,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dxf x y dxfy上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)xy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸(x)對稱就關(guān)于誰對稱就關(guān)于誰(x軸軸)的方向相反的方向相反目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲

15、線相向為同方則：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dxf x y dxfx右若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)( , )Lf x y dx對,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為同方則：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dxf x y dxfy上若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LLxy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxy

16、AO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxd2dLOBxy xxy xxyxy 解法解法2 從點xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A,x設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線方向曲線為相反,xyy被積函數(shù)是 的奇函數(shù).54d21023xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計算d ,Lx yx其中L 為沿拋物線xy 2解解:d0.Lx yxxyxy 從點的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱且對稱的兩個

17、子曲線方向曲線為相反,x yy被積函數(shù)是 的偶函數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dyf x y dyfx右若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù),Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為反方則：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dyf x y dyfy上若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)xy01LLxy01LL( , )Lf x y dy對目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,Ly設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為同方則：0,( ,)2( ,)LL

18、fxf x y dyf x y dyfx右若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)( , )Lf x y dy對,Lx設(shè)分段光滑的關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線相向為同方則：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dyf x y dyfy上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)xy01LLxy01LL注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個軸對稱就關(guān)于誰的方向相同目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （逆時針方向）（逆時針方向）. .其中其中C: : 求求22,Cdydxxy 1xy 解：解：oyx220,Cdyxy,Lx關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩曲線個

19、子曲線221xxy被積函數(shù)是的偶函數(shù).220,Cdxxy,Ly關(guān)于 軸對稱 且對稱的兩個子曲線曲線方向為相反,221yxy被積函數(shù)是的偶函數(shù).方向為相反,220Cdydxxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲面積分滿足輪換對稱性, 不滿足一般的對稱性如果積分區(qū)域滿足輪換對稱性，則被積函數(shù)進行輪換后積分值不變,不過要同時輪換 dxdy，dydz，dzdx( , , )( , , )f x y z dxdyf y z x dydz( , , )( , , )f x y z dydzf y z x dzdx( , , )( , , )f x y z dzdxf y z x dxdy,0,2xo

20、yRzRdxdyRdxdyRz上設(shè)分片光滑的閉曲面 關(guān)于面對稱 方向為外側(cè) 則：若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),xoy設(shè)分片光滑的關(guān)于面對稱 方向為外(面內(nèi)曲側(cè)閉則：補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算補充：利用對稱性簡化第二類曲面積分的計算,xoy設(shè)分片光滑的關(guān)于面對稱 且對稱的兩個子曲面曲面相向為同方則：0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的奇函數(shù)，若 是 的偶函數(shù)0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù),xoy設(shè)分片光滑的關(guān)于面對

21、稱 且對稱的兩個子曲面曲面相向為反方則：0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的偶函數(shù)，若 是 的奇函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 輪換對稱性在微分學(xué)中的應(yīng)用輪換對稱性在微分學(xué)中的應(yīng)用1.(兩字母輪換兩字母輪換) 如果將如果將x,y換為換為y,x函數(shù)的表達式不函數(shù)的表達式不變變,即即(, )ufx y z 函數(shù),如果滿足(, )xxufx y z 只需將上式中的將將x,y換為換為y,x,就得到就得到對變量y的偏導(dǎo)數(shù):(, )yyufx y z (, );yfy x z 則稱此函數(shù)關(guān)于自變量則稱此函數(shù)關(guān)于自變量 x,y具有輪換對稱性具有輪換對稱性(, )(, )fx y zfy x z

22、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 輪換對稱性在微分學(xué)中的應(yīng)用輪換對稱性在微分學(xué)中的應(yīng)用2.(三字母輪換三字母輪換) 如果將如果將x,y,z換為換為y,z,x函數(shù)的表達式不變函數(shù)的表達式不變(, )ufx y z 函數(shù),如果滿足則稱此函數(shù)關(guān)于自變量則稱此函數(shù)關(guān)于自變量 x,y,z具有輪換對稱性具有輪換對稱性只需將上式中的將將x,y,z換為換為y,z, x就得到就得到對變量y的偏導(dǎo)數(shù):(, )zzufx y z ( ,)zfz x y (, )yyufx y z (, ,);yfy z x 即即(,)(, ,)fx y zfy z x ( ,)fz x y ( , , )xxufx y z 只需將上式

23、中的將將y,z, x 換為換為z,x,y 就得到就得到對變量z的偏導(dǎo)數(shù):目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 . 求223yyxxz解法解法1xz)2, 1 (xz解法解法2) 2, 1(xz在點(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先代后求目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)在某點各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注

24、意：注意：但在該點不一定連續(xù)不一定連續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ) |,f x yxy 00|0|(0,0)limlimxxxxxfxx不存在00|0|(0,0)limlim.yyyyyfyy不 存 在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)P69，6（1）44224,

25、zxyx y zx3248,xxyyz3248,yx y22zx22128,xy22zy22128,yx2zx y 16.xy解解 :目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(例例4. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對稱性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x ,

26、 y , z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(例例4. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對稱性 , 1(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)4yzxfff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有輪換對稱性輪換對稱性 ( , , )( , , )( , , )f x y

27、zf y z xf z x y(0, ,0)( ,0,0),fyf y可得(0,0, )( ,0,0)fzf z目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三重積分的計算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點選擇：合適的坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系，柱面坐標(biāo)系，球面坐標(biāo)系；在各種坐標(biāo)系系下相應(yīng)的先一后二(穿針法)與先二后一(截面法)；恰當(dāng)?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限；二重積分的計算：根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點選擇：合適的坐標(biāo)系；恰當(dāng)?shù)姆e分次序，從而正確地確定積分限。*2在掌握基本運算的基礎(chǔ)上，還應(yīng)了解如何根據(jù)對稱性及輪換對稱性等方法來計算重積分. 此外,還要會用對稱性,交換積分次序,變量代換以及重積分性質(zhì)來解決一些較難

28、的問題(計算題及證明題).*1計算的難點：各種坐標(biāo)系下積分限的確定目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性計算各種積分計算各種積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5., ,)(aaCxf設(shè)證證:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時)()(xfxf時)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令利用對稱性計算定積分利用對稱

29、性計算定積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )()bbaaf x dxf abx dx,abxtdtdx ()( )baabf abx dxf t dt ,xatbxbta當(dāng)時，；當(dāng)時( )baf t dt練習(xí)練習(xí) P253 2. ( ) , ,f xC a b 設(shè)設(shè)( )baf x dx分析分析 (1) 積分區(qū)間相同積分區(qū)間相同；(2) 被積函數(shù)不同被積函數(shù)不同. .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x 軸(y=0) 對稱，(1) ( ,) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即( ,)( , ).f xyf x y(2) ( , ) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，即).,(),(yxf

30、yxf 利用對稱性計算二重積分利用對稱性計算二重積分xyO1DDD 位于 x 軸上方的部分為D1 , 則),(yxf在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù), 設(shè)區(qū)域D 關(guān)于1( , )|( , ),0Dx yx yD y 則d),(Dyxf0d),(Dyxfd),(21Dyxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: (1) 不妨假設(shè)積分區(qū)域是X-型的 ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱性:12( )( ).y xy x oxyab)(1xyy )(2xyy 1D21( )( ) ( , ) ( , )byxayxDf x y ddxf x y dy22( )( ) ( , )

31、byxayxf x y dy dx 2( )02 ( , )byxaf x y dy dx 1 2( , ) .Df x y d(1) ( ,) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即( ,)( , ).f xyf x y1 ( , ) 2( , ) .DDf x y df x y d則則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，即關(guān)于關(guān)于若被積函數(shù)若被積函數(shù) ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD則則證證 （2）積分區(qū)域 ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱性:).()(21xyxy )()(21),( ),(

32、xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy 于是， dyxfD ),( dxdyyxfbaxyxy )()(22),( dxba 0 20. . 0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0Dx yD x命題命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對稱,則 有 ( ,

33、)x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x其中其中D 位于 y 軸右方的部分為 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 不妨假定不妨假定D的右半部分的右半部分D1為為X型區(qū)域：型區(qū)域：1:,( )( )Daxbxyx由由D關(guān)于關(guān)于y軸的對稱性，軸的對稱性，D的左半部分的左半部分D2為：為：2:, ()()Dbxaxyx 2()()( )( )( )( )( )( )( , )( , )(, )()(, )=(, )=axbxDxtatbtb

34、tbxataxf x y dxdyf x y dy dxft y dydtft y dy dtfx y dy dx 換元交換變量則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( ,)( , )f xyf x y 若21( )( )( , )( , )( , )bxaxDDf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdy 12( , )( , )( , )0DDDf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy則則所以( ,)( , )f xyf x y若21( )( )( , )( , )( , )bxaxDDf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdy 則則1(

35、 , )2( , )DDf x y dxdyf x y dxdy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 命題命題:（1）如果D關(guān)于y軸(x=0)對稱,則 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D關(guān)于x軸(y=0)對稱,則 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf

36、x yy關(guān)于為奇函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（3）如果D關(guān)于原點對稱,則 有 ( , )x yD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論:若若 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 和和 y 軸都對稱軸都對稱 ,則則10,( , )( , )4( , ),( , ),DDf x yxyf x y dxdyf x y dxdyf x yx y關(guān)于 或 為奇函數(shù)關(guān)于均為偶函數(shù)1( , )|0,0D

37、x yD xyD1D目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 積分區(qū)域 D 關(guān)于 直線y=x對稱，即若(x,y)D,則(y, x)D.二重積分的輪換對稱性：二重積分的輪換對稱性：也就是表示D不等式x,y對調(diào)不等式不變,有(1)( , )d( , )dDDf x yf y x若D1 , D2分別是 D 中關(guān)于 直線 y=x 對稱的兩部分，則：.),(),(21dxdyxyfdxdyyxfDD簡述為“你對稱，我奇偶你對稱，我奇偶”.(2)( , )( , ) f x yf y x( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，d),(Dyxfd),(21Dyxf則D1D目錄 上頁 下

38、頁 返回 結(jié)束 D2D3D4D4. 則yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示提示: 如圖 ,4321DDDDD由對稱性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是關(guān)于 y 的奇函數(shù)在21DD 上是關(guān)于 x 的偶函數(shù)A,),(ayxaxayxD),(1yxD ,0ayxaxxyaaaOP182 1(2) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 關(guān)于關(guān)于 軸解解: 積分區(qū)域如圖所示，將區(qū)域分成 設(shè)設(shè) 是以是以 為頂點的三角形區(qū)為頂點的三角形區(qū)D(1,1),( 1,1),( 1, 1) 域

39、，域， 是區(qū)域是區(qū)域 在第一象限部分在第一象限部分.D1D1ddsincos2dd)sincos(DDyxyxyxyxxy四個小區(qū)域，由于區(qū)域21DD y軸對稱，區(qū)域43DD x，0dddddd4321DDDDDyxxyyxxyyxxy4. 證明證明軸對稱，故D2D3D4D1Dxya11O0809B 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 而0ddsincos43DDyxyx故Dyxyxxydd)sincos(1ddsincos2DyxyxDyxyxddsincos21ddsincosDDyxyxD2D3D4D1DxyaaaO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo解：解： 利用對稱性簡化計算 因為D關(guān)于

40、x 軸對稱，( ,)( , ),f xyf x y 且且0.I 所所以以cos()sin(),xyDIxexy dxdy 11cos()11xydxde 1coscos10 xxeedx Ccos()sin(),xyDIxexy dxdy3. 設(shè)設(shè)其中其中:1,1,D xy().I 則則1.;.;.0;.AeBeCD 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 A解：解：2 2xyoD 利用對稱性簡化計算,因為D關(guān)于 y 軸對稱，(, )( , )fx yf x y且0.I 所以272222020.3xxIdxxy dydx2,DIxy dxdy3. 設(shè)設(shè)其中其中2:0,2,Dyxx().I 則則3264.

41、0;.;.;.256.33ABCD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo解解1=4DDxy dxdyxy dxdy32004cos sinadd 32004cos sinadd 42201sin2a 41.2a 222:,0,0,xyxyD由由于于被被積積函函數(shù)數(shù)是是 和和 的的偶偶函函數(shù)數(shù), ,積積分分域域關(guān)關(guān)于于 軸軸和和 軸軸都都對對稱稱, ,記記則則有有xyaxy1D目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計算二重積分221()d d ,Dyxf xyxy2yx所圍成的閉區(qū)域.例例5.1y 和1y 2yx解解:D211,:1,xxy （畫出積分區(qū)域草圖）.其中D 為 利用對稱性簡化計算利用對稱性簡

42、化計算, 因為因為D關(guān)于關(guān)于 y 軸對稱，軸對稱， 且且22() ()yx fxy22()yxf xy 22()d d0.Dyxf xyxy221()d dDyxf xyxyd dDyxy11dx21dxy y11 dx1411221dxx4.521221yx1011B目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxD

43、dd)1ln(224目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z dv當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù)012( , , )f x y z dv( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 4 若空間區(qū)域若空間區(qū)域關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則 目錄 上頁 下頁

44、 返回 結(jié)束 證證 不妨假定不妨假定的上半部分的上半部分1為為XY型區(qū)域：型區(qū)域：1( , , )|( , ),( , )( , )x y zx yDx yzx y 由由關(guān)于關(guān)于xOy坐標(biāo)面的對稱性，坐標(biāo)面的對稱性，的下半部分的下半部分2為：為：2( , , )|( , ),( , )( , )x y zx yDx yzx y 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , , )( , , )( , ,)()( , ,)=( , ,)=x yx yDztx yx yDx yx yDx yx yDf x y z dvdf

45、x y z dzdf x ytdtdf x yt dtdf x yz dz換元改變變量則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若2112( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )0 x yx yDf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv 則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , ,

46、)( , , )( , , )2( , , )x yx yDf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積分曲線的對稱性利用積分曲線的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算對計算對弧長的曲線積分弧長的曲線積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )Lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線 L 關(guān)于關(guān)于 y 軸軸 (x = 0) 對稱，則對稱，則當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)為偶函數(shù)

47、012( , )Lf x y ds(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0Lx yL xL1Lxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 設(shè)設(shè) L 的右半部分的右半部分 L1 由以下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),Lxtytatb 由由 L 關(guān)于關(guān)于 y 軸的對稱性，軸的對稱性，L 的左半部分的左半部分 L2 的參的參數(shù)方程為：數(shù)方程為：22222( , )=( ),( ) ( )( )=( ),( ) ( )( )Lbabaf

48、 x y dsfttttdtfttttdt于是2:( ),( ),Lxtytatb 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y 若211222( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )0LbaLLLLf x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (, )( , )fx yf x y若2112122( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )2( , )LbaLLLLLf x y dsfttttdtf x y

49、dsf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )Lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線L關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 (y = 0) 對稱，則對稱，則當(dāng)當(dāng) f(x,y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )Lf x y ds( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0Lx yL yL1Lxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( ,

50、, )f x y z ds當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z ds( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 6 若空間曲線若空間曲線 關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分 1 由以

51、下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 由由 關(guān)于關(guān)于xOy面的對稱性，面的對稱性， 的左半部分的左半部分 2 的的參數(shù)方程為：參數(shù)方程為：2222222( , , )=( ( ), ( ),( ) ( )( )( )=( ( ), ( ),( ) ( )( ) ( )babaf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x ty tz tx ty tz tdt 于是2:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z 若211

52、2222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0baf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=2( , , )baf x y z dsf x ty tz tx ty tz td

53、tf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積分曲面的對稱性利用積分曲面的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算對計算對面積的曲面積分面積的曲面積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )f x y z dS當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當(dāng)當(dāng) f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z dS( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z

54、) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 7 若曲面若曲面 關(guān)于關(guān)于 xOy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分1由以方程給出：由以方程給出：1:( , ),( , )zz x yx yD由由 關(guān)于關(guān)于xOy面的對稱性，面的對稱性， 的下半部分的下半部分2的方的方程為：程為：22222( , , )( , ,( , ) 1 ( , )( , )( , ,( , ) 1 ( , )( , )xyDxyDf x y z dSf x yz

55、 x yzx yzx ydxdyf x yz x yzx yzx ydxdy 于是1:( , ),( , )zz x yx yD 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 211222( , , )( , , ( , ) 1 ( , )( , )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0 xyDf x y z dSf x y z x yzx yzx ydxdyf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dS 則所以( , ,)( , , )f x yzf x y z若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2112122( , , )( , , ( , ) 1

56、( , )( , )( , , )( , , )=( , , )+( , , )2( , , )xyDf x y z dSf x y z x yzx yzx ydxdyf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dS則所以( , ,)( , , )f x yzf x y z若目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用對稱性計算三重積分利用對稱性計算三重積分1.1.關(guān)于積分區(qū)域關(guān)于積分區(qū)域 的對稱性的對稱性: :2.關(guān)于函數(shù)關(guān)于函數(shù)f(x,y,z)的奇偶性的奇偶性( , , )( , ,),( , , ),( , ,)f x y zf x yzx y

57、zx yz若若則稱則稱f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù)* *類似地可定義類似地可定義f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù).若若(x,y,z)(x,y,z), ,有有(x,y,z)(x,y,z), ,則則 關(guān)于關(guān)于xoyxoy坐標(biāo)面對稱。坐標(biāo)面對稱。* *類似地可定義類似地可定義 關(guān)于關(guān)于yoz,zoxyoz,zox坐標(biāo)面的對稱性。坐標(biāo)面的對稱性。( , , )( ,),( , , ),( ,)f x y zf xyzx y zxyz若若則稱則稱f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于y,z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù).* *類似地可定義其他

58、類似地可定義其他. .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , , )(,),( , , ),(,)f x y zfxyzx y zxyz 若若則稱則稱f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于x,y,z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù)4. 利用對稱性計算三重積分的有關(guān)結(jié)論利用對稱性計算三重積分的有關(guān)結(jié)論:若若 關(guān)于關(guān)于xoyxoy坐標(biāo)面對稱坐標(biāo)面對稱, , f(x,y,z)在在 上是關(guān)于上是關(guān)于z的奇或偶函數(shù)的奇或偶函數(shù), 10( , , )2( , , )fzf x y z dvf x y z dvfz為的奇函數(shù)為的偶函數(shù).* *類似地可表示其他一些結(jié)果類似地可表示其他一些結(jié)果. .3.3.積分區(qū)域積分區(qū)域 , ,被積函數(shù)被積函數(shù)f(x,y,z) 的輪換對稱性的輪換對稱性: :將積分區(qū)域積分區(qū)域 的邊界曲面方程的邊界曲面方程( (或或被積函數(shù)被積函數(shù)f(x,y,z) )中中, ,變變量量x,y,zx,y,z依此輪換依此輪換, ,方程方程( (或或函數(shù)函數(shù)f(x,y,z)的形式不變的形式不變目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若若 關(guān)于三