彈性力學 用差分法和變分法解平面問題

1、彈性力學用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題第五章第五章合肥工業(yè)大學本科生教學合肥工業(yè)大學本科生教學彈性力學彈性力學主講教師：袁海平主講教師：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)彈性力學一、差分公式的推導一、差分公式的推導二、彈性體的形變勢能和外力勢能二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學用差分法和變分法解平面問題3 彈性力學的基本解法是，根據(jù)

2、靜力平衡條件，形變與位移彈性力學的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件，形變與位移之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件，建立微分方程之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。和邊界條件。 因此，因此，彈性力學問題屬于微分方程的邊值問題。彈性力學問題屬于微分方程的邊值問題。通過求解，通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。得出函數(shù)表示的精確解答。 對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以求出函對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討數(shù)式的解答。為此，人們探討彈性力學的各種近似解法，彈性力學的各種近似解法，主要主要有有差分法、變分法和有限單元法

3、。差分法、變分法和有限單元法。差分公式的推導差分公式的推導一一彈性力學用差分法和變分法解平面問題4fxo 21 ff3f 1x2x3x)(xf21, ff差分法差分法是微分方程的一種數(shù)值解法，是微分方程的一種數(shù)值解法， 它不是去求解函數(shù)它不是去求解函數(shù)f(x)，而是求函數(shù)在一些結(jié)點上的值而是求函數(shù)在一些結(jié)點上的值 。;dd1212xxffxfxf將將導數(shù)導數(shù)用有限用有限差商差商來代替來代替將將微分微分用有限差分來代替用有限差分來代替將將微分方程微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，求解微分方程問用差分方程（代數(shù)方程）代替，求解微分方程問題化為求解差分方程問題。題化為求解差分方程問題。差分公式的推

4、導差分公式的推導一一12xxxdx12fffdf彈性力學用差分法和變分法解平面問題5NoImage 在彈性體上，用相隔等間距h而平行于坐標軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格。 設f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個連續(xù)函數(shù)，該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在3-上，它只隨x坐標的改變而變化。在鄰近結(jié)點處，函數(shù)f可展為泰勒級數(shù)如下：.)(! 31)(! 21)(3003320022000 xxxfxxxfxxxfff差分公式的推導差分公式的推導一一(a)彈性力學用差分法和變分法解平面問題6 只考慮離開結(jié)點充分近的那些結(jié)點，即（x-x0）充分小。于是可不計（x-x0）的三次及更高次冪的各項，則上式簡寫為

5、：20022000)(! 21)(xxxfxxxfff在結(jié)點，x=x0-h；在結(jié)點1， x=x0+h。代入(b) 得：02220032xfhxfhff02220012xfhxfhff聯(lián)立（c）、（d），解得差分公式： 130(1)2fffxh21302202(2)ffffxh差分公式的推導差分公式的推導一一(b)(c)(d)彈性力學用差分法和變分法解平面問題7同理，在網(wǎng)線4-0-2上可得到差分公式：2402240220(3)22(4)fffyhffffyh 以上（）（）是基本差分公式，從而可導出其它的差分公式如下：22136857001() ()(5)24ffyyffffffx yxyhh 差

6、分公式的推導差分公式的推導一一彈性力學用差分法和變分法解平面問題8)()( 46 1) 6 ()()( 241)()( 46 112104204044876543210402241193104044fffffhyffffffffffhyxffffffhxf 差分公式()及()是以相隔2h的兩結(jié)點處的函數(shù)值來表示中間結(jié)點處的一階導數(shù)值，可稱為中點導數(shù)公式。 以相鄰三結(jié)點處的函數(shù)值來表示一個端點處的一階導數(shù)值，可稱為端點導數(shù)公式。 應當指出：中點導數(shù)公式與端點導數(shù)公式相比，精度較高。因為前者反映了結(jié)點兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應用前者，而只有在無法應用

7、前者時才不得不應用后者。差分公式的推導差分公式的推導一一彈性力學一、差分公式的推導一、差分公式的推導二、彈性體的形變勢能和外力勢能二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學用差分法和變分法解平面問題10彈性力學變分法彈性力學變分法，因其泛函就是彈性體的能量（如形變勢能、，因其泛函就是彈性體的能量（如形變勢能、外力勢能），又稱為外力勢能），又稱為能量法能量法。泛函泛函是

8、以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。 變分法，變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。是研究泛函及其極值的求解方法。 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二彈性力學變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨彈性力學變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法，分為：立解法，分為：位移變分法：位移變分法：取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導出變分方程。件導出變分方程。應力變分法：應力變分法：取應力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條取應力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導出變分方程。件導出變分方程。彈性力學用差分法和變分法解

9、平面問題11（2）因應力和應變均從）因應力和應變均從0增長到增長到 ，故，故單位體積上，單位體積上，應力所做的功是應力所做的功是 非線性非線性 關系關系 線線 性性 關系關系,d01U.211U（1）作用于微小單元上的應力，是鄰近部分物體對它的作用力，）作用于微小單元上的應力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的可看成是作用于微小單元上的“外力外力”。、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二彈性力學用差分法和變分法解平面問題12 線性的應力與應變關系非線性的應力與應變關系彈性體的形變勢能和外力勢

10、能彈性體的形變勢能和外力勢能二二、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） 彈性力學用差分法和變分法解平面問題13（3）對于平面應力問題平面應力問題 或平面應變問題平面應變問題 單位體積上應力所做的功單位體積上應力所做的功都是 )0(zyzxz),0(zyzxz(c) 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） zxzxyzyzxyxyzzyyxxU211xyxyyyxxU211彈性力學用差分法和變分法解平面問題14NoImageNoImage1U彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力

11、勢能二二、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） （4）假設沒有轉(zhuǎn)化為非機械能和動能，則應力所做的功全部）假設沒有轉(zhuǎn)化為非機械能和動能，則應力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的轉(zhuǎn)化為彈性體的內(nèi)力勢能內(nèi)力勢能，又稱為，又稱為形變勢能形變勢能，或，或應變能應變能， 存貯于物體內(nèi)部。存貯于物體內(nèi)部。 -單位體積的形變勢能（單位體積的形變勢能（形變勢能密度形變勢能密度）。）。（5）整個彈性體的形變勢能）整個彈性體的形變勢能.dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxyxUU(d)彈性力學用差分法和變分法解平面問題15（6）將物理方程代入，）將物理方程代入，平面應力問題的形變勢能密度平面

12、應力問題的形變勢能密度 ，可，可用用形變形變表示為表示為對于平面應變問題，對于平面應變問題， 將將222121(2).(e)2(1)2xyxyxyEU 21EE變?yōu)椋?1變?yōu)?U1U22121()()2() .(f)22 1EuvuvvuUxyxyxy再將幾何方程代入，再將幾何方程代入， 可用可用位移位移表示為表示為1UU d xd y整個彈性體的形變勢能為整個彈性體的形變勢能為彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）、應力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） (5-16)彈性力學用差分法和變分法解平面問題16（1 1）U U 是應變或位移的二次泛函，是應

13、變或位移的二次泛函，故不能應用疊加原理。故不能應用疊加原理。 （2 2）應變或位移發(fā)生時，）應變或位移發(fā)生時，U U 總是正的，即總是正的，即 （3 3）U U 的大小與受力次序無關。的大小與受力次序無關。 （4 4） 對應變的導數(shù)，等于對應的應力：對應變的導數(shù)，等于對應的應力： . 0U. , ,111xyxyyyxxUUU1U(5-15)彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二2 2、形變勢能、形變勢能的性質(zhì)的性質(zhì)彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率，等于相應的應力分量。改變率，等于相應的應力分量。彈性力學用差分

14、法和變分法解平面問題17外力勢能外力勢能外力做了功，必然消耗了相同 值的勢能。當取 時的外力功和能為零，則：()d d()d . (a)xyxyAsWf uf vxyf uf vs0 vuWV.d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功：外力功：彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二3 3、彈性體上的外力功和外力勢能彈性體上的外力功和外力勢能 彈性力學用差分法和變分法解平面問題18NoImage彈性體的總勢能彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力（形變）勢能之和，.pVUE(h)彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二4 4、彈性體的總勢能彈性體的

15、總勢能彈性力學用差分法和變分法解平面問題19彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二例題例題1 試證明，在同樣的應變分量試證明，在同樣的應變分量 下，平面應變情況下下，平面應變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應力情況下的形變勢能。單位厚度的形變勢能大于平面應力情況下的形變勢能。xyyx,對于平面應變情況，只需將上式中對于平面應變情況，只需將上式中 ， 變換為變換為22221(3).22 1xyxyxyAEUdxdy 2,.(b )1EE1E解：解：平面應力情況下，單位厚度的形變勢能：平面應力情況下，單位厚度的形變勢能：(a)彈性力學用差分法和變分法解平面問題20 代入，得 顯然

16、，方括號內(nèi) 將式(a)中的 ， 都作為式(b)的變換，整理后得平面應變情況下的形變勢能公式， 222222211()()(),111121EEE推出.12112AyxEU)(21)1 (12222.21)211(22dxdyxyyxE(c)彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二彈性力學用差分法和變分法解平面問題21 從式(c)可見，在平面應變情況下，形變勢能 中的第1，2，3項均大于平面應力情況下的值，而第4項 不變。因此，平面應變的形變勢能 大于平面應力的形變勢能U 。2xy21UU彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二彈性力學用差分法和變分法解平面問題2

17、2lCDEFAB彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二例題例題2圖示一板塊，在鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并圖示一板塊，在鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來，若在其中切開一小口使之兩端固定下來，若在其中切開一小口AB時，試說明板的形變時，試說明板的形變勢能將發(fā)生什么變化？勢能將發(fā)生什么變化？解：解： 當當AB線切開時，線切開時，AB線上的應線上的應力趨于力趨于0，而形變勢能是正定，而形變勢能是正定， ，當應力當應力 時，相應的形變勢時，相應的形變勢能也失去。因此，板的總的形變勢能能也失去。因此，板的總的形變勢能減少。減少。0U0趨近于彈性力學用差分

18、法和變分法解平面問題23彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能二二 當當AB線切開后，邊界線切開后，邊界CD和和EF仍是固定的，我們可以比較仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)：兩種狀態(tài)： AB切開后，切開后， AB線仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開，這是線仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開，這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。 AB線張開，出現(xiàn)裂紋，這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的線張開，出現(xiàn)裂紋，這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢能處于極小值，而穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢能處于極小值，而(a)，(b)兩種狀態(tài)的外力勢能不變，因此，兩種狀態(tài)的外力勢能不

19、變，因此，(b)的形變勢能的形變勢能小于小于(a)，即形變勢能將減少。，即形變勢能將減少。彈性力學一、差分公式的推導一、差分公式的推導二、彈性體的形變勢能和外力勢能二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學用差分法和變分法解平面問題251.1.實際平衡狀態(tài)的位移實際平衡狀態(tài)的位移 ， ，必須滿足，必須滿足 用位移表示的平衡微分方程（在A中）; 用位移表示的應力邊界條件

20、（在 上); 位移邊界條件（在上）。ussu v(a) 其中，屬于靜力平衡條件靜力平衡條件，屬于約束條件約束條件。 對于實際位移，可將看成是必要條件，而，是充分條件。 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學用差分法和變分法解平面問題26（在 上）。 2. 2.虛位移狀態(tài)虛位移狀態(tài) 虛位移（數(shù)學上稱為位移變分） ， 表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，虛位移應滿足 上的約束邊界條件，即 ,v, 0 vu(b)ususu位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學用差分法和變分法解平面問題27 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài) 就構(gòu)成實際平衡狀態(tài)附

21、近的一種鄰近狀態(tài)。,*vvvuuu(c)位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學用差分法和變分法解平面問題28.dddyyuxxuu(d) 變分與微分的比較變分與微分的比較位移變分方程位移變分方程 三三微分微分是在同一狀態(tài)下，研究由于位置是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標坐標)改變而引起函數(shù)改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標變量的改變。其中的自變量為坐標變量x,y，而因變量為函數(shù)，而因變量為函數(shù)，如位移，有如位移，有變分變分是在同一點位置上，是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。 其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)

22、，如位移；而因變量為泛函，如如 ， ， ，有，有U VpE. vvUuuUU(e)彈性力學用差分法和變分法解平面問題29由于微分和變分都是微量，所以 a.它們的運算方式相同運算方式相同，如式(d)，(e)； b.變分和微分可以交換次序變分和微分可以交換次序，如 ).()(uxxu( f ) 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學用差分法和變分法解平面問題30當發(fā)生虛位移虛位移（位移變分） 時，()d d()d . (g)yxyxAsWf uf vx yfufvs. (h)VW , , . (i)xyxyuvvuxyxyvu, 由于虛位移引起虛應變虛應變，外力勢能的變分外力勢能的變分：外力的虛功

23、外力的虛功（外力功的變分）：3.3.在虛位移上彈性體的功和能在虛位移上彈性體的功和能 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學用差分法和變分法解平面問題31 形變勢能的變分形變勢能的變分，即實際應力在虛應變上的虛功, 由于實際應力在虛應變之前已存在, 所以作為常力計算，故無 系數(shù)。.dd)(AxyxyyyxxyxU21( j )位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學用差分法和變分法解平面問題32NoImage（1）在封閉系統(tǒng)封閉系統(tǒng)中，假設沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加在虛位移過程中形變勢能的增加 應等于外力勢能的減少應等于外力勢能的減少（

24、即等于外力所做的虛功 ）。所以)( UW . (k)UW4.4.彈性力學中位移變分方程的導出彈性力學中位移變分方程的導出 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學用差分法和變分法解平面問題33（2）位移變分方程位移變分方程 將式(g)的 代入上 式，得它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變 分分 時，所引起的形變勢能的變時，所引起的形變勢能的變 分分 ，等于外力功的變分，等于外力功的變分 。 ()d d()d . (l)xyxyAsUfufvxyfufvsW),(vu)( U)( W位移變分方程位移變分方程 三三(5-22)彈性力學用差分法和變分法解平面問題34NoImag

25、eU()dd()dd()d . (m)xxyyxyxyAxyxyAs xyf uf vxyf uf vs（3）虛功方程虛功方程 將式(j)的 代入上 式，得位移變分方程位移變分方程 三三虛功方程表示：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體處于虛功方程表示：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體處于平衡狀態(tài)，則在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛平衡狀態(tài)，則在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應力在虛應變上所做的虛功。功等于應力在虛應變上所做的虛功。(5-24)彈性力學用差分法和變分法解平面問題35其中 形變勢能的變分，如式( j )所示， 外力功的變分, 如式( g )所示。 0 , (n)UW0 ,

26、(o)UWWU（4）最小勢能原理最小勢能原理式(k)可寫成其中U彈性體的形變勢能，如5-4式(d), W彈性體的外力功， 如5-4式(a)?？梢宰C明，式(n)可以寫成為 位移變分方程位移變分方程 三三彈性力學用差分法和變分法解平面問題36由于彈性體的總勢能為 故式(o)可以表示為 再將總勢能 對其變量（位移或應變）作二次變分運算，可得,pWUVUE.0pE.0p2E(p)(q)pE位移變分方程位移變分方程 三三極小勢能原理：在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條極小勢能原理：在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應于總勢能實際存在

27、的一組位移對應于總勢能為極小值。為極小值。彈性力學一、差分公式的推導一、差分公式的推導二、彈性體的形變勢能和外力勢能二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學用差分法和變分法解平面問題38 位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。的。 位移函數(shù)應預先滿足位移函數(shù)應預先滿足 上的位移邊界上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。條件，然后再滿

28、足位移變分方程。us位移變分法位移變分法 四四彈性力學用差分法和變分法解平面問題39mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a) （1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設定位移試函數(shù)的方法設定位移試函數(shù)的方法，令 位移變分法位移變分法 四四彈性力學用差分法和變分法解平面問題40其中 和 均為設定的x，y的函數(shù)，并在邊界 上，令 mmvuvu, ,00. 0)( , 0)(,)( ,)(00smsmssvuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b) ususus位移變分法位移變分法 四四彈性力學用差分法和變分法解平面問題41 所以 已滿足了 上的位移邊位移邊界

29、條件界條件。而 ， 用來反映位移狀態(tài)的變化，故位移的變分為位移的變分為mAmB.,mmmmmmBvvAuu(d)us, u v位移變分法位移變分法 四四彈性力學用差分法和變分法解平面問題42( )d d( )d . (e)xyxyAsUfufvx yfufvs() . (f)mmmmmUUUABABmAmB 位移的變分通過 ， 的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程.,mmmmmmBvvAuu(d)將式(d)，( f )代入(e)得 位移變分法位移變分法 四四彈性力學用差分法和變分法解平面問題43AsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmym

30、ymxmx0dddddd因虛位移（位移變分）中的 ， 是完全任意的，獨立的，為了滿足上式，必須:mAmB位移變分法位移變分法 四四彈性力學用差分法和變分法解平面問題44ddd ,(1,2) (g)ddd .mmmxxAsmymyAsmUf uxyf usAmUf vxyf vsBmAmBmAmB式(g)是瑞利瑞利- -里茨變分方程里茨變分方程。它是關于 ， 的線性代數(shù)方程組，由上式可解出 ， ,從而得到位移的解答。 位移變分法位移變分法 四四彈性力學一、差分公式的推導一、差分公式的推導二、彈性體的形變勢能和外力勢能二、彈性體的形變勢能和外力勢能三、位移變分方程三、位移變分方程四、位移變分法四、位移變分法五、位移變分法例題五、位移變分法例題第五章用差分法和變分法解平面問題第五章用差分法和變分法解平面問題內(nèi)容提要內(nèi)容提要彈性力學簡明教程(第三版)徐芝綸院士(1911-1999)彈性力學用差分法和變分法解平面問題46 例例1 1 圖示矩形板ab，在上邊及右邊受有均布壓力 及 ，而左邊和下邊受有法向連桿的約束。