吳贛昌 第五版 經(jīng)管類(lèi)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題 完整版

1、隨機(jī)事件及其概率1.1 隨機(jī)事件習(xí)題1試說(shuō)明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn)習(xí)題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫(xiě)出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點(diǎn).現(xiàn)習(xí)題91.2 隨機(jī)事件的概率1.3 古典概型現(xiàn)習(xí)題3現(xiàn)習(xí)題4現(xiàn)習(xí)題5現(xiàn)習(xí)題6現(xiàn)習(xí)題7現(xiàn)習(xí)題8現(xiàn)習(xí)題9現(xiàn)習(xí)題101.4 條件概率習(xí)題3 空現(xiàn)習(xí)題41.5 事件的獨(dú)立性現(xiàn)習(xí)題6現(xiàn)習(xí)題7現(xiàn)習(xí)題8總習(xí)題1習(xí)題3. 證明下列等式：習(xí)題4.現(xiàn)習(xí)題5習(xí)題6.習(xí)題7習(xí)題8習(xí)題9習(xí)題10習(xí)題11現(xiàn)習(xí)題12習(xí)題13習(xí)題14習(xí)題15習(xí)題16習(xí)題17習(xí)題18習(xí)題19習(xí)題20 習(xí)題21習(xí)題22現(xiàn)

2、習(xí)題23現(xiàn)習(xí)題24第二章 隨機(jī)變量及其分布2.1 隨機(jī)變量習(xí)題1隨機(jī)變量的特征是什么？解答：隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù).隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值.隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的.習(xí)題2試述隨機(jī)變量的分類(lèi).解答：若隨機(jī)變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來(lái)，則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量；否則稱(chēng)為非離散型隨機(jī)變量.若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量.習(xí)題3盒中裝有大小相同的球10個(gè)，編號(hào)為0,1,2,9, 從中任取1個(gè)，觀察號(hào)碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，

3、并寫(xiě)出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率.2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且PX=1=PX=2,求.習(xí)題2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P12<X<52;   (2)P1X3;   (3)PX>3.習(xí)題3一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5.在袋中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律.習(xí)題4 (空)習(xí)題5某加油站替出租車(chē)公司代營(yíng)出租汽車(chē)業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車(chē)，可從出租公司得到3元.因代營(yíng)業(yè)務(wù)，每天加

4、油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，設(shè)每天出租汽車(chē)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率.習(xí)題6設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1, 當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布； (2)PX5;(3)在兩次調(diào)整之間能以0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少?習(xí)題7設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率為0.6,求他一次投籃時(shí)，投籃命中的概率分布.習(xí)題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布

5、.習(xí)題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.習(xí)題10 紡織廠女工照顧800個(gè)紡綻，每一紡錠在某一段時(shí)間內(nèi)斷頭的概率為0.005,在這段時(shí)間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.習(xí)題11設(shè)書(shū)籍上每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書(shū)上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁(yè)，每頁(yè)上都沒(méi)有印刷錯(cuò)誤的概率.2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題1.解答：離散.由于F(x)是一個(gè)階梯函數(shù)，故知X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.習(xí)題2習(xí)題3已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為PX=1=0.3,PX=3=0.5,

6、PX=5=0.2,試寫(xiě)出X的分布函數(shù)F(x)，并畫(huà)出圖形.習(xí)題4習(xí)題5習(xí)題6在區(qū)間0,a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在0,a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度習(xí)題1習(xí)題2習(xí)題3習(xí)題4習(xí)題5設(shè)一個(gè)汽車(chē)站上，某路公共汽車(chē)每5分鐘有一輛車(chē)到達(dá)，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能的，試計(jì)算在車(chē)站候車(chē)的10位乘客中只有1位等待時(shí)間超過(guò)4分鐘的概率.習(xí)題6習(xí)題7 (空)習(xí)題8習(xí)題9習(xí)題10習(xí)題112.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1習(xí)題2習(xí)題3習(xí)題4習(xí)題5習(xí)題6總習(xí)題二1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、

7、 9、 10、 11、 12、13、 14、15、 16、 17、 18、 19、 20、 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布3.1 二維隨機(jī)變量及其分布1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 3.2 條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 3.3 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1、 2、 7、 4、復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、（空）15、16、17、 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 數(shù)學(xué)期望 1、 2、 3、 4 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、4.2 方差1、 2、

8、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 4.4 大數(shù)定理與中心極限定理1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 總習(xí)題四解答1、 2、 3、 4、 5、 6、X表示每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，則X取-2,10, 求每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，即X的數(shù)學(xué)期望.E(X)=-2×0.1+10×0.9=8.8.7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 故cov(X,Y)=0.16、 17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)

9、5.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 習(xí)題1 已知總體X服從0,上的均勻分布(未知), X1,X2,Xn為X的樣本，則(). (A)1/ni=1nXi-2是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量； (B)1/ni=1nXi-E(X)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量； (C)X1+X2是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量； (D)1/ni=1nXi2-D(X)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量. 解答： 應(yīng)選(C). 由統(tǒng)計(jì)量的定義：樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)稱(chēng)為該樣本的統(tǒng)計(jì)量.(A)(B)(D)中均含未知參數(shù). 習(xí)題2 觀察一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，抽到100株“豫農(nóng)一號(hào)”玉米的穗位(單位：cm), 得到如下表中所列的數(shù)據(jù). 按區(qū)間70,80),80,90),150,160), 將100個(gè)數(shù)

10、據(jù)分成9個(gè)組，列出分組數(shù)據(jù)計(jì)表(包括頻率和累積頻率), 并畫(huà)出頻率累積的直方圖. 解答： 分組數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表 組序號(hào)123456789組限組中值組頻率組頻率%累計(jì)頻率%7080 75 3 3 38090 85991290100 95 13 13 25100110 105 16 16 41110120 115 26 26 67120130 125 20 20 87130140 1357794140150 1454498150160 15522100頻率直方圖見(jiàn)圖(a),累積頻率直方圖見(jiàn)圖(b). 習(xí)題3 測(cè)得20個(gè)毛坯重量(單位：g),列成如下簡(jiǎn)表：毛坯重量 185 187 192 195 200

11、202 205 206 頻數(shù) 1 1 1 1 1 2 1 1 毛坯重量 207 208 210 214 215 216 218 227 頻數(shù) 2 1 1 1 2 1 2 1將其按區(qū)間183.5,192.5),219.5,228.5)組，列出分組統(tǒng)計(jì)表，并畫(huà)出頻率直方圖. 解答： 分組統(tǒng)計(jì)表見(jiàn)表組序號(hào) 1 2 3 4 5 組限 183.5,192.5 192.5,201.5 201.5,210.5 210.5,219.5 219.5,228.5組中值 188 197 206 215 224組頻數(shù) 3 2 8 6 1組頻率/% 15 10 40 30 5 頻率直方圖見(jiàn)下圖 習(xí)題4 某地區(qū)抽樣調(diào)查2

12、00個(gè)居民戶(hù)的月人均收入，得如下統(tǒng)計(jì)資料： 月人均收入(百元) 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 合計(jì) 戶(hù)數(shù) 18 35 76 24 19 14 14 200 求樣本容量n,樣本均值X¯，樣本方差S2. 解答： 對(duì)于抽到的每個(gè)居民戶(hù)調(diào)查均收入，可見(jiàn)n=200. 這里，沒(méi)有給出原始數(shù)據(jù)，而是給出了整理過(guò)的資料(頻率分布), 我們首先計(jì)算各組的“組中值”，然后計(jì)算X¯和S2的近似值： 月人均收入(百元) 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11 11-12 合計(jì) 組中值ak 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5

13、- 戶(hù)數(shù)fk 18 35 76 24 19 14 14 200 X¯=1nkakfk=1200(5.5×18+11.5×14)=7.945, S21n-1k(ak-X¯)2fk=1n-1kak2fk-X¯2 =1199(5.52×18+11.52×14)-7.94566.0402-63.123025=2.917175. 習(xí)題5設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布B(10,3100),X1,X2,Xn為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， X¯=1ni=1nXi與Sn2=1ni=1n(Xi-X¯)2 分別表示樣本均值和樣本二階中心矩，

14、試求E(X¯),E(S2). 解答： 由XB(10,3100), 得 E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000, 所以 E(X¯)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n. 習(xí)題6 設(shè)某商店100天銷(xiāo)售電視機(jī)的情況有如下統(tǒng)計(jì)資料 日售出臺(tái)數(shù)k 2 3 4 5 6 合計(jì) 天數(shù)fk 20 30 10 25 15 100 求樣本容量n,經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x). 解答： (1)樣本容量n=100; (2)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) Fn(x)=0,x<20.20,2x<30

15、.50,3x<40.60,4x<50.85,5x<61,x6. 習(xí)題7 設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x), 概率密度為f(x),X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，記 X(1)=min1in(Xi),X(n)=max1in(Xi), 試求X(1)和X(n) 各自的分布函數(shù)和概率密度. 解答： 設(shè)X(1)的分布函數(shù)和概率密度分別為F1(x)和f1(x), X(n)的分布函數(shù)和概率密度分別為Fn(x)和fn(x), 則 Fn(X)=PX(n)x=PX1x,X(n)x =PX1xPX2xPXnx=F(x)n, fn(x)=Fn(x)=nF(x)n-1f(x), F1(x)=PX(1

16、)x=1-PX(1)>x=1-PX1>x,X2>x,Xn>x =1-PX1>xPX2>xPXn>x =1-1-PX1x1-PX2x1-PXnx =1-1-F(x)n, F1(x)=f1(x)=n1-F(x)n-1f(x). 習(xí)題8 設(shè)總體X服從指數(shù)分布e(),X1,X2是容量為2的樣本，求X(1)，X(2)的概率密度. 解答： f(x)=e-x,x>00,其它, F(x)=1-e-x,x>00,x0, X(2)的概率密度為 f(2)(x)=2F(x)f(x)=2e-x(1-e-x),x>00,其它, 又X(1)的概率密度為 f(1)(

17、x)=21-F(x)f(x)=2e-2x,x>00,其它. 習(xí)題9 設(shè)電子元件的壽命時(shí)間X(單位：h)服從參數(shù)=0.0015的指數(shù)分布，今獨(dú)立測(cè)試n=6元件，記錄它們的失效時(shí)間，求： (1)沒(méi)有元件在800h之前失效的概率； (2)沒(méi)有元件最后超過(guò)3000h的概率. 解答： (1)總體X的概率密度f(wàn)(x)=(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它, 分布函數(shù)F(x)=1-e-0.0015x,x>00,其它, 沒(méi)有元件在800h前失效=最小順序統(tǒng)計(jì)量X(1)>800, 有 PX(1)>800=PX>8006=1-F(800)6 =exp(-0.001

18、5×800×6)=exp(-7.2)0.000747. (2)沒(méi)有元件最后超過(guò)3000h=最大順序統(tǒng)計(jì)量X(6)<3000 PX(6)<3000=PX<30006=F(3000)6 =1-exp-0.0015×30006=1-exp-4.56 0.93517. 習(xí)題10 設(shè)總體X任意，期望為,方差為2, 若至少要以95%的概率保證X¯-<0.1, 問(wèn)樣本容量n應(yīng)取多大？ 解答： 因當(dāng)n很大時(shí)，X¯-N(,2n), 于是 PX¯-<0.1=P-0.1<X¯<+0.1 (0.1/n)-(

19、-0.1/n)=2(0.1n)-10.95, 則(0.1n)0.975, 查表得(1.96)=0.975, 因(x)非減，故0.1n1.96,n384.16, 故樣本容量至少取385才能滿(mǎn)足要求. 5.2 常用統(tǒng)計(jì)分布 習(xí)題1 對(duì)于給定的正數(shù)a(0<a<1), 設(shè)za,a2(n),ta(n),Fa(n1,n2)分別是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，2(n),t(n), F(n1,n2)分布的上a分位點(diǎn)，則下面的結(jié)論中不正確的是(). (A)z1-a(n)=-za(n); (B)1-a2(n)=-a2(n); (C)t1-a(n)=-ta(n); (D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).解

20、答： 應(yīng)選(B). 因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和t分布的密度函數(shù)圖形都有是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的，而2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是對(duì)的.(B)是錯(cuò)的. 對(duì)于F分布，若FF(n1,n2), 則 1-a=PF>F1-a(n1,n2)=P1F<1F1-a(n1,n2)=1-P1F>1F1-a(n1,n2) 由于1FF(n2,n1), 所以 P1F>1F1-a(n1,n2)=P1F>Fa(n2,n1)=a, 即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是對(duì)的. 習(xí)題2(1) 2.設(shè)總體XN(0,1),X1,X2,Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，問(wèn)下列各統(tǒng)計(jì)量服從什么分布?

21、 (1)X1-X2X32+X42; 解答： 因?yàn)閄iN(0,1),i=1,2,n, 所以： X1-X2N(0,2), X1-X22N(0,1), X32+X422(2), 故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422t(2). 習(xí)題2(2) 2.設(shè)總體XN(0,1),X1,X2,Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，問(wèn)下列各統(tǒng)計(jì)量服從什么分布? (2)n-1X1X22+X32+Xn2; 解答： 因?yàn)閄iN(0,1),i=2nXi22(n-1), 所以 n-1X1X22+X32+Xn2=X1i=2nXi2/(n-1)t(n-1). 習(xí)題2(3) 2.設(shè)總體XN(0,1),X1,X2,Xn為簡(jiǎn)單隨

22、機(jī)樣本，問(wèn)下列各統(tǒng)計(jì)量服從什么分布? (3)(n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2. 解答： 因?yàn)閕=13Xi22(3),i=4nXi22(n-3), 所以： (n3-1)i=13Xi2/i=4nXi2=i=13Xi2/3i=4nXi2/(n-3)F(3,n-3). 習(xí)題3 設(shè)X1,X2,X3,X4是取自正態(tài)總體XN(0,22)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2, 則a=?,b=?時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Y服從2分布，其自由度是多少？ 解答： 解法一 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2, 令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 則 Y=Y

23、12+Y22, 為使Y2(2), 必有Y1N(0,1),Y2N(0,1), 因而 E(Y1)=0,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1, 注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4, 由 D(Y1)=Da(X1-2X2)=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2) =a(4+4×4)=20a=1, D(Y2)=Db(3X3-4X4)=bD(3X3-4X4) =b(9D(X3)+16D(X4)=b(4×9+16×4)=100b=1, 分別得a=120,b=1100. 這時(shí)Y2(2), 自由度為n=2. 解法二 因XiN(0,22)且

24、相互獨(dú)立，知 X1-2X2=X1+(-2)X2N(0,20), 3X3-4X4=3X3+(-4)X4N(0,100), 故X1-2X220N(0,1),3X3-4X4100N(0,1), 為使 Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)22(2), 必有X1-2X21/aN(0,1),3X3-4X41/bN(0,1), 與上面兩個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量比較即是 1a=20,1b=100, 即a=120,b=1100. 習(xí)題4 設(shè)隨機(jī)變量X和Y 相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(0,32). X1,X2,X9和Y1,Y2,Y9是分別取自總體X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試證統(tǒng)計(jì)量 T=X1+X

25、2+X9Y12+Y22+Y92 服從自由度為9的t分布. 解答： 首先將Xi,Yi分別除以3, 使之化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài). 令Xi=Xi3,Yi=Yi3,i=1,2,9, 則 XiN(0,1),YiN(0,1); 再令X=X1+X2+X9, 則XN(0,9),X3N(0,1), Y2=Y12+Y22+Y92, Y22(9). 因此 T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=XY2=X/3Y2/9t(9), 注意到X,Y2相互獨(dú)立. 習(xí)題5 設(shè)總體XN(0,4), 而X1,X2,X15為取自該總體的樣本，問(wèn)隨機(jī)變量 Y=X12+X22+X1022(X112+X1

26、22+X152) 服從什么分布？參數(shù)為多少？ 解答： 因?yàn)閄i2N(0,1), 故Xi242(1),i=1,2,15, 而X1,X2,X15獨(dú)立，故 X12+X22+X10242(10),X112+X122+X15242(5), 所以 X12+X22+X1024/10X112+X122+X1524/5=X12+X22+X1022(X112+X122+X152)=Y 習(xí)題6 證明：若隨機(jī)變量X服從F(n1,n2)的分布，則 (1)Y=1X服從F(n2,n1)分布；(2)并由此證明F1-(n1,n2)=1F(n2,n1). 解答： (1)因隨機(jī)變量X服從F(n1,n2), 故可設(shè)X=U/n1V/n

27、2, 其中U服從2(n1),V服從2(n2), 且U與V相互獨(dú)立，設(shè)1X=V/n2U/n1, 由F分布之定義知 Y=1x=V/n2U/n1, 服從F(n2,n1). (2)由上側(cè)分位數(shù)和定義知 PXF1-(n1,n2)=1-,P1X1F1-(n1,n2)=1-, 即PY1F1-(n1,n2)=1-,1-PY>1F1-(n1,n2)=1-, 故 PY>1F1-(n1,n2)=, 而PYF(n2,n1)=. 又Y為連續(xù)型隨機(jī)變量，故PY1F1-(n1,n2)=, 從而 F(n2,n1)=1F1-(n1,n2), 即F1-(n1,n2)=1F(n2,n1). 習(xí)題7 查表求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

28、上側(cè)分位數(shù)：u0.4,u0.2,u0.1與u0.05. 解答： u0.4=0.253, u0.2=0.8416, u0.1=1.28,u0.05=1.65.習(xí)題8 查表求2分布的上側(cè)分位數(shù)：0.952(5), 0.052(5), 0.992(10)與0.012(10). 解答： 1.145, 11.071, 2.558, 23.209. 習(xí)題9 查表求F分布的上側(cè)分位數(shù)：F0.95(4,6),F0.975(3,7)與F0.99(5,5). 解答： 0.1623,0.0684,0.0912. 習(xí)題10 查表求t分布的下側(cè)分位數(shù)：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)與t0.005(

29、10). 解答： 2.353,3.365,1.415,3.169. 5.3 抽樣分布 習(xí)題1 已知離散型均勻總體X,其分布律為 X 2 4 6 Pi 1/3 1/3 1/3 取大小為n=54的樣本，求： (1)樣本平均數(shù)X¯落于4.1到4.4之間的概率； (2)樣本均值X¯超過(guò)4.5的概率. 解答： =E(X)=13×(2+4+6)=4, 2=E(X2)-E(X)2=13×(22+42+66)-42=83, 所以 X¯=4, X¯2=2n=8/354=481, X¯=29. 令Z=X¯-42/9, 則n充分大時(shí)，Z

30、近似N(0,1). (1)P4.1<X¯<4.4=P4.1-42/9<Z<4.4-42/9 (1.8)-(0.45)=0.9641-0.6736=0.2905. (2)PX¯>4.5=PZ>4.5-42/9=1-PZ2.25 1-(2.25)=1-0.9878=0.0122. 習(xí)題2 設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(10,32),X1,X2,X6是它的一組樣本，設(shè) X¯=16i=16Xi. (1)寫(xiě)出X¯所服從的分布；(2)求X¯>11的概率. 解答： (1)X¯N(10,326), 即X¯

31、N(10,32). (2)PX¯>11=1-PX¯11=1-(11-1032) 1-(0,8165)1-(0.82)=0.2061. 習(xí)題3 設(shè)X1,X2,Xn是總體X的樣本，X¯=1ni=1nXi, 分別按總體服從下列指定分布求E(X¯),D(X¯). (1)X服從0-1分布b(1,p); (2)*X服從二項(xiàng)分布b(m,p); (3)X服從泊松分布P(); (4)X服從均勻分布Ua,b; (5)X服從指數(shù)分布e(). 解答： (1)由題意，X的分布律為： PX=k=Pk(1-P)1-k(k=0,1). E(X)=p,D(X)=p(1-p

32、). 所以 E(X¯)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=1nnp=p, D(X¯)=D(1ni=1nXi)=1n2i=1nD(X1)=1n2np(1-p)=1np(1-p). (2)由題意，X的分布律為： PX=k=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,m). 同(1)可得 E(X¯)=mp,D(X¯)=1nmp(1-p). (3)由題意，X的分布律為： PX=k=kk!e-(>0,k=0,1,2,). E(X)=,D(X)=. 同(1)可得 E(X¯)=,D(X¯)=1n. (4)由E(X)=a+b2,D

33、(X)=(b-a)212, 同(1)可得 E(X¯)=a+b2,D(X¯)=(b-a)212n. (5)由E(X)=1,D(X)=12, 同(1)可得 D(X¯)=1,D(X¯)=1n2. 習(xí)題4 某廠生產(chǎn)的攪拌機(jī)平均壽命為5年，標(biāo)準(zhǔn)差為1年，假設(shè)這些攪拌機(jī)的壽命近似服從正態(tài)分布，求： （1）容量為9的隨機(jī)樣本平均壽命落在4.4年和5.2年之間的概率； （2）容量為9的隨機(jī)樣本平均壽命小于6年的概率。 解答： （1）由題意知X¯N(5,1n),n=9，則標(biāo)準(zhǔn)化變量 Z=X¯-51/9=X¯-51/3N(0,1). 而 P4.

34、4<X¯<5.2=P4.4-51/3<X¯-51/3<5.2-51/3 =P-1.8<Z<0.6(0.6)-(-1.8) =0.7257-0.0359=0.6898 （2）PX¯<6=PX¯-51/3<6-51/3=PZ<3(3)=0.9987. 習(xí)題5 設(shè)X1,X2,X16及Y1,Y2,Y25分別是兩個(gè)獨(dú)立總體N(0,16)和N(1,9)的樣本，以X¯和Y¯分別表示兩個(gè)樣本均值，求PX¯-Y¯>1. 解答： X¯N(0,1616)，Y¯

35、;N(1,925)，X¯-Y¯N(-1,1+925)，即 X¯-Y¯N(-1,3425) 標(biāo)準(zhǔn)化變量X¯-Y¯，令Z=X¯-Y¯34/5N(0,1)，所以 PX¯-Y¯>1=1-PX¯-Y¯1=1-P-1X¯-Y¯1 =1-P0X¯-Y¯+134/5234/5 1-(1.715)+(0) =1-0.9569+0.5=0.5431 習(xí)題6 假設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(20,32), 樣本X1,X25來(lái)自總體X, 計(jì)算 Pi=116Xi

36、-i=1725Xi182. 解答： 令Y1=i=116Xi,Y2=i=1725Xi, 由于X1,X25相互獨(dú)立同正態(tài)分布N(20,32), 因此有Y1與Y2相互獨(dú)立，且Y1N(320,122), Y2N(180,92), Y1-Y2N(140,152), i=116Xi-i=1725Xi182=PY1-Y2182, =PY1-Y2-140152.8(2.8)=0.997. 習(xí)題7 從一正態(tài)總體中抽取容量為n=16的樣本，假定樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于2的概率為0.01, 試求總體的標(biāo)準(zhǔn)差. 解答： 設(shè)總體XN(,2), 樣本均值為X¯,則有 X¯-/n=X¯

37、;-/4N(0,1). 因?yàn)?PX¯->2=PX¯-/4>8=2PZ>8=21-(8)=0.01, 所以(8)=0.995. 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得8=2.575, 從而=82.575=3.11. 習(xí)題8 設(shè)在總體N(,2)中抽取一容量為16的樣本，這里,2均為未知. (1)求PS2/22.041, 其中S2為樣本方差； (2)求D(S2). 解答： (1)因?yàn)槭钦龖B(tài)總體，根據(jù)正態(tài)總體下的統(tǒng)計(jì)量分布可知 (n-1)S222(n-1). 這里n=16, 于是 PS2/22.041=P(15S2215×2.041) =1-P15S22>30.61

38、5(查2分布表可得) =1-0.01=0.99. (2)因?yàn)?n-1)S222(n-1), 又知 D(n-1)S22)=2(n-1), 所以 D(S2)=4(n-1)2D(n-1)S22)=4(n-1)22(n-1)=2n-14=2154 (因?yàn)閚=16). 習(xí)題9 設(shè)總體XN(,16),X1,X2,X10為取自該總體的樣本，已知PS2>a=0.1, 求常數(shù)a. 解答： 因?yàn)?n-1)S222(n-1),n=10,=4, 所以PS2>a=P9S216>916a=0.1. 查自由度為9的2分布表得，916a=14.684, 所以a26.105. 習(xí)題10 設(shè)X1,X2,Xn和Y

39、1,Y2,Yn分別取自正態(tài)總體 XN(1,2)和YN(2,2) 且相互獨(dú)立，問(wèn)以下統(tǒng)計(jì)量服從什么分布？ (1)(n-1)(S12+S22)2; (2)n(X¯-Y¯)-(2-2)2S12+S22. 解答： (1)由(n-1)S1222(n-1), (n-1)S2222(n-1), 由2(n)的可加性 (n-1)(S12+S22)2(2(n-1). (2)X¯-Y¯N(1-2,22n), 標(biāo)準(zhǔn)化后(X¯-Y¯)-(1-2)2nN(0,1), 故有 (X¯-Y¯)-(1-2)222n2(1), 又由(n-1)(S12+

40、S22)22(2n-2), 注意F分布定義 (X¯-Y¯)-(1-2)21n22/1(n-1)(S12+S22)2/2(n-1)=n(X¯-Y¯)-(1-2)2S1 習(xí)題11 分別從方差為20和35的正態(tài)總體中抽取容量為8和10的兩個(gè)樣本，求第一個(gè)樣本方差不小于第二個(gè)樣本方差的兩倍的概率. 解答： 用S12和S22分別表示兩個(gè)樣本方差，由定理知 F=S12/12S22/22=S12/20S22/35=1.75S12S22F(8-1,10-1)=F(7,9). 又設(shè)事件A=S122S22, 下面求PS122S22, 因 PS122S22=PS12S222=

41、PS12/20S22/352×3520=PF3.5. 查F分布表得到自由度為n1=7,n2=9的F分布上分布點(diǎn)F(n1=7,n2=9)有如下數(shù)值： F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20, 因而F0.05(7,9)=3.29<3.5<F0.025(7,9)=4.20, 即事件A的概率介于0.025和0.05之間，故 0.025PS122S220.05. 總習(xí)題解答 習(xí)題1 設(shè)總體X服從泊松分布.一個(gè)容量為10的樣本值為1,2,4,3,3,4,5,6,4,8, 計(jì)算樣本均值，樣本方差和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).解答： 樣本的頻率分布為x¯=4,s2=

42、3.6. 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為 F10(x)=0,x<11/10,1x<22/10,2x<34/10,3x<47/10,4x<58/10,5x<69/10,6x<71,x8. 習(xí)題2 A廠生產(chǎn)的某產(chǎn)種電器的使用壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)未知. 為此，抽查了n件電器，測(cè)量其使用壽命，試確定本問(wèn)題的總體、樣本及樣本的分布. 解答： 總體是這種電器的使用壽命，其概率密度為 f(x)=e-x,x>00,x0(未知), 樣本X1,X2,Xn是n件某種電器的使用壽命，抽到的n件電器的使用壽命是樣本的一組觀察值.樣本X1,X2,Xn相互獨(dú)立，來(lái)自同一總體X, 所以樣本的

43、聯(lián)合密度為 f(x1,x2,xn)=ne-(x1+x2+xn),x1,x2,xn>00,其它. 習(xí)題3 設(shè)總體X在區(qū)間a,b上服從均勻分布，求： (1)來(lái)自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1,X2,Xn的密度f(wàn)(x1,x2,xn); (2)Y=maxX1,X2,Xn的密度f(wàn)Y(x); Z=minX1,X2,Xn的密度f(wàn)Z(x). 解答： (1)X的密度為f(x)=1b-a,x(a,b)0,其它, 由于X1,X2,Xn獨(dú)立且與X同分布，所以有 f(x1,x2,xn)=i=1nf(xi)=1(b-a)n,ax1xnb0,其它. (2)由題設(shè)X在a,b上服從均勻分布，其分布函數(shù)為 F(x)=0,x<a

44、x-ab-a,xa,b1,x>b, 由Y=maxX1,X2,Xn及Z=minX1,X2,Xn分布函數(shù)的定義 FY(x)=F(x)n, FZ(x)=1-1-F(x)n, 于是有 fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,xa,b, fZ(x)=n1-Fn-1(x)n-1f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,xa,b. 習(xí)題4 在天平上重復(fù)稱(chēng)一重量為a的物品，假設(shè)各次稱(chēng)量的結(jié)果相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N(a,0.2). 若以X¯表示n次稱(chēng)量結(jié)果的算術(shù)平均值，求使PX¯-a<0.10.95成立的稱(chēng)量次數(shù)n的最小值. 解答： 因?yàn)閄

45、75;=1ni=1nXiN(a,(0.2)2n), 所以 X¯-a0.2/nN(0,1), 故 PX¯-a<0.1=PX¯-a0.2/n(n2)-10.95, 即(n2)0.975, 查正態(tài)分布表得n21.96, 所以n15.37, 即n=16.習(xí)題5 設(shè)總體XN(20,3), 從X中抽取兩個(gè)樣本X1,X2,X10和Y1,Y2,X15, 求概率PX¯-Y¯>0.3. 解答： 因?yàn)閄1,X2,X10和Y1,Y2,Y15獨(dú)立同分布，所以 X¯N(20,310), Y¯N(20,0.2), 于是X¯-Y

46、75;N(0,0.5). PX¯-Y¯>0.3=PX¯-Y¯/0.5>0.3/0.5 =1-PX¯-Y¯/0.50.3/0.5 =21-(0.3/0.5)=21-0.6628 =0.6744(查正態(tài)分布表). 習(xí)題6 設(shè)總體XN(,2), 假如要以0.9606的概率保證偏差X¯-<0.1, 試問(wèn)：當(dāng)2=0.25時(shí)，樣本容量n應(yīng)取多大？ 解答： PX¯-<0.1=0.9606, 即 PX¯-<0.1=PX¯-0.25/n(0.1n0.25)-1=0.9606, (0.

47、1n0.25)=0.9803n5=2.06n106. PX¯-<0.1=0.9606, 即 PX¯-<0.1=PX¯-0.25/n習(xí)題7 設(shè)X1¯和X2¯分別為來(lái)自正態(tài)總體N(,2)的容量為n的兩個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X11,X12,X1n和X21,X22,X2n的均值，試確定n,使兩個(gè)子樣的均值之差超過(guò)的概率小于0.05. 解答： Xi¯N(,2n)(i=1,2), 且X1¯和X2¯相互獨(dú)立，故有 X1¯-X2¯N(0,22n), 從而X1¯-X2¯/2/nN(0,1)

48、, P(X1¯-X2¯>)=PX1¯-X2¯2/n>n2=2(-n2) =21-(n2)<0.05, 故(n2)>0.975, 查正態(tài)分布表n21.96, 所以n>7.68, 即取n=8. 習(xí)題8 設(shè)總體Xf(x)=x,x<10,其它，X1,X2,X50為取自X的一個(gè)樣本，試求： (1) X¯的數(shù)學(xué)期望與方差； (2) S2的數(shù)學(xué)期望； (3) PX¯>0.02. 解答： =E(X)=-11xxdx=0, 2=D(X)=E(X2)-E(X)2=E(X2)=-11x2xdx=12. (1) X&

49、#175;=1ni=1nXi(n=50) E(X¯)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=0,D(X¯)=2n=12n=1100; (2) E(S2)=1n-1i=1n(Xi-X¯)2=1n-1Ei=1n(Xi-X¯)2 =1n-1E(i=1nXi2-nX¯2)=1n-1(i=1nD(X1)-nD(X¯) =1n-1(n12-n12n)=12; (3) PX¯>0.02=1-PX¯0.02 =1-PX¯-D(X¯)0.02-D(X¯) =1-PX1/100.2=21-(0.2)=0.8414. 習(xí)題9 從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，設(shè)樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值在4以上的概率為0.02, 求總體的標(biāo)準(zhǔn)差. 解答： 由于X¯N(,2n), 故有 0.02=PX¯-4=PX¯-/n4/n 2(1-(4/n)2(1-(12.65), (12.65)=0.99, 即有12.65=u0.01=2.33, 解得5.43. 習(xí)題10 設(shè)X1,Xn是取自總體X的樣本，X¯,S2分別為樣本均值與