材料數(shù)值模擬——溫度場(chǎng)模擬

1、材料加工過(guò)程的數(shù)值模擬第二章：溫度場(chǎng)數(shù)值模擬教學(xué)目的 掌握基本的傳熱知識(shí) 了解熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì) 了解傳熱問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法 掌握實(shí)際熱加工過(guò)程溫度場(chǎng)數(shù)值模擬的基本步驟先修課程 傳熱學(xué) 高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù) 數(shù)值分析 熱加工基本理論 材料基礎(chǔ)知識(shí)參考書(shū)目 鑄件凝固過(guò)程數(shù)值模擬，陳海清等，重慶大學(xué)出版社，1991（TG21-C4-2） 焊接熱過(guò)程數(shù)值分析，武傳松，哈工大出版社，1990（TG402-N74） 計(jì)算機(jī)在鑄造中的應(yīng)用，程軍，機(jī)械工業(yè)出版社，1993（TG248-C73） 計(jì)算傳熱學(xué)，郭寬良，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1988（TK124-43-G91） 焊接熱效應(yīng)，德D.

2、拉達(dá)伊，機(jī)械工業(yè)出版社，19972-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的意義 材料熱加工 鑄造：液態(tài)流動(dòng)充型、凝固結(jié)晶等； 鍛壓：固態(tài)流動(dòng)變形、相變、再結(jié)晶等； 焊接：熔池金屬熔化、凝固結(jié)晶；熱影響區(qū)金屬經(jīng)歷不同的熱處理過(guò)程； 熱處理：相變、再結(jié)晶等； 特點(diǎn)：復(fù)雜的物理、化學(xué)、冶金變化 熱加工過(guò)程目的 獲得一定的形狀、尺寸、成分和組織 成為零件、毛坯、結(jié)構(gòu)2-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的意義 熱加工過(guò)程的結(jié)果 成型和改性：使材料的成分、組織、性能最后處于最佳狀態(tài) 熱加工工藝設(shè)計(jì) 根據(jù)所要求的組織和性能，制定合理的熱加工工藝，指導(dǎo)材料的熱加工過(guò)程 熱加工工藝設(shè)計(jì)存在的問(wèn)題

3、 復(fù)雜的高溫、動(dòng)態(tài)、瞬時(shí)過(guò)程：難以直接觀察，間接測(cè)試也十分困難 建立在“經(jīng)驗(yàn)”、“技藝”基礎(chǔ)上2-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的意義 解決方法 熱加工工藝模擬技術(shù)：在材料熱加工理論指導(dǎo)下，通過(guò)數(shù)值模擬和物理模擬，在實(shí)驗(yàn)室動(dòng)態(tài)仿真材料的熱加工過(guò)程，預(yù)測(cè)實(shí)際工藝條件下的材料的最后組織、性能和質(zhì)量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)熱加工工藝的優(yōu)化設(shè)計(jì) 熱加工過(guò)程模擬的意義 認(rèn)識(shí)過(guò)程或工藝的本質(zhì)，預(yù)測(cè)并優(yōu)化過(guò)程和工藝的結(jié)果（組織和性能） 與制造過(guò)程結(jié)合，實(shí)現(xiàn)快速設(shè)計(jì)和制造2-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的發(fā)展歷程 60年代（起源于鑄造） 丹麥的Forsund首次采用有限差分計(jì)算了鑄件凝固過(guò)程的傳熱

4、。 美國(guó)隨后進(jìn)行了大型鑄鋼件溫度場(chǎng)的數(shù)值模擬 70年代（擴(kuò)展） 更多的國(guó)家加入 擴(kuò)展到鍛壓、焊接和熱處理 80年代以后（迅速發(fā)展） 1981年開(kāi)始，每?jī)赡昱e辦一次鑄造和焊接過(guò)程的數(shù)值模擬國(guó)際會(huì)議 1992年開(kāi)始，每?jī)赡昱e辦一次焊接過(guò)程數(shù)值模擬國(guó)際大會(huì) 目前（成為研究熱點(diǎn)） 國(guó)家攀登計(jì)劃 973基礎(chǔ)研究計(jì)劃2-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的發(fā)展趨勢(shì) 宏觀中觀微觀 宏觀：形狀、尺寸、輪廓 中觀：組織和性能 微觀：相變、結(jié)晶、再結(jié)晶、偏析、擴(kuò)散、氣體析出 單一、分散耦合集成 流場(chǎng)溫度場(chǎng) 溫度場(chǎng)應(yīng)力/應(yīng)變場(chǎng) 溫度場(chǎng)組織場(chǎng) 應(yīng)力/應(yīng)變場(chǎng)組織場(chǎng)2-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過(guò)程模擬的

5、發(fā)展趨勢(shì) 重視提高數(shù)值模擬的精度和速度 重視精確的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)獲得與積累 與生產(chǎn)技術(shù)其他技術(shù)環(huán)節(jié)集成，成為先進(jìn)制造技術(shù)的重要組成 與產(chǎn)品設(shè)計(jì)系統(tǒng)集成 與零件加工制造系統(tǒng)集成2-1 熱加工過(guò)程模擬的研究現(xiàn)狀部分商業(yè)軟件 鑄造 PROCAST, SIMULOR 鍛壓 DEFORM, AUTOFORGE, SUPERFORGE 通用 MARC, ABAQUS, ADINA, ANSYS2-2溫度場(chǎng)及傳熱的基本概念 溫度場(chǎng)定義 在 x、y、z直角坐標(biāo)系中，連續(xù)介質(zhì)各個(gè)地點(diǎn)在同一時(shí)刻的溫度分布，叫做溫度場(chǎng)。 T=f(x,y,z,t) 穩(wěn)定溫度場(chǎng) T= f(x,y,z) 不穩(wěn)定溫度場(chǎng) T=f(x,y,z,t)

6、 等溫面 等溫線熱量傳遞的三種基本形式/熱傳導(dǎo) 定義：物體各個(gè)部分之間不發(fā)生相對(duì)位移時(shí)，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的熱量傳遞。 表達(dá)式： 傅立葉定律： 矢量表示：xTFQxTFQnnTgradqkzjyigradnnTgradTTTxTT T 熱量傳遞的三種基本形式/熱對(duì)流 定義 運(yùn)動(dòng)的流體質(zhì)點(diǎn)發(fā)生相對(duì)位移而引起的熱轉(zhuǎn)移現(xiàn)象 遵循的定律 牛頓定律 公式：)FT(TQ0cca熱量傳遞的三種基本形式/熱輻射 定義 物質(zhì)受熱后，內(nèi)部原子震動(dòng)而出現(xiàn)的一種電磁波能量傳遞。 遵循定律 斯蒂芬-波爾茲曼定律 公式： T：熱力學(xué)溫度（k） C：輻射系數(shù)，C=C0, C0=5.67W/m2

7、.K4 兩物體之間熱輻射交換：QR= C0(T14- T24)4cTQ 導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述建立基礎(chǔ)：傅立葉定律和能量守恒定律在d 時(shí)間內(nèi)，沿X方向?qū)胛⒃w的熱量：Qx=qx dAd= qx dy dz d 在d 時(shí)間內(nèi)，沿X方向?qū)С鑫⒃w的熱量：Qx+ dX =qx+ dX dAd= qx +dX dy dz d 在d 時(shí)間內(nèi)，沿X方向在微元體內(nèi)積蓄的熱量：dQx = Qx - Qx+ dX =(qx - qx +dX ) dy dz d = d qx dy dz d 同理： dQy = d qy dx dz d dQz = d qz dx dy d 導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述微元體中總的積蓄熱量：dQ=

8、dQx + dQy + dQz = (d qx dy dz d +d qy dx dz d + d qz dx dy d )dzzqzdyyqydxxqxzyxdqdqdqzTqyTqxTqzyxdxdydzdzTyTxTdxdydzdzTzyTyxTxdxdydzdzqyqxqzyx)(222222)()()() 另： dTdxdydzcdTdxdydzcdQdTdTdxdydzdTcdQcTTcTTcdxdydzddTdxdydzczTyTxTzTyTxTzTyTxT,)()()(2222222222222222222導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述 一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱： 二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱： 三維穩(wěn)

9、定導(dǎo)熱： 一般表達(dá)式：)(22xTT)(2222yTxTT02222222222220)(zTyTxTzTyTxTT.)()()(QzTzyTyxTxTc導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述初始條件和邊界條件 初始條件：物體開(kāi)始導(dǎo)熱瞬時(shí)的溫度分布，T=f(x,y,z) （=0） 邊界條件：物體表面與周圍介質(zhì)交換的情況 第一類邊界條件：已知物體表面溫度Tw隨時(shí)間變化關(guān)系。 Tw=f() 第二類邊界條件：已知物體表面比熱流量qw隨時(shí)間變化關(guān)系。qw=f() 第三類邊界條件：已知物體周圍介質(zhì)溫度Tf物體表面溫度（ Tw ）以及物體表面與周圍介質(zhì)間的放熱系數(shù)。 qw= （ Tw - Tf ）2-3傳熱問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法 分

10、析解法 定義：以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，求解導(dǎo)熱微分方程的定解問(wèn)題。 特點(diǎn)：求得的結(jié)果為精確解 不足：只能求解比較簡(jiǎn)單的導(dǎo)熱問(wèn)題，而對(duì)于幾何形狀復(fù)雜、變物性及復(fù)雜的邊界條件的導(dǎo)熱問(wèn)題，難以計(jì)算。 數(shù)值解法 定義：是一種以離散數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為工具的求解方法。 特點(diǎn)：不能獲得未知量的連續(xù)函數(shù)，而只是某些代表性地點(diǎn)的近似值 步驟 種類：有限差分法、有限元法、邊界元法、有限容積法等2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟 分析和簡(jiǎn)化物理模型 判斷問(wèn)題屬于穩(wěn)態(tài)問(wèn)題還是非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題 有無(wú)內(nèi)熱源 適宜的坐標(biāo) 判斷邊界條件的類型 數(shù)學(xué)模型的建立一般模型：物性參數(shù)為常數(shù)：非穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源物性參數(shù)為常數(shù)：.)()()(Qz

11、TzyTyxTxTcQzTyTxTT)222222(12222221zTyTxTT2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源：采用圓柱坐標(biāo)時(shí)，若物性參數(shù)為常數(shù)，由于:0222222zTyTxTQzTTrrTrrTTzzryrx)11(1,sin,cos2222222有：2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟 區(qū)域和時(shí)域的離散 區(qū)域的離散：將幾何連續(xù)點(diǎn)的區(qū)域用一些列網(wǎng)格線分割開(kāi)，形成一系列單元。 節(jié)點(diǎn)：每個(gè)單元的中心稱為節(jié)點(diǎn)（內(nèi)節(jié)點(diǎn)、邊界節(jié)點(diǎn)） 步長(zhǎng)：節(jié)點(diǎn)之間的距離（等步長(zhǎng)、變步長(zhǎng)），表示為x, y, z 時(shí)域的離散：非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題將時(shí)間分割成時(shí)間段 時(shí)間步長(zhǎng)：每個(gè)計(jì)算時(shí)間間隔的長(zhǎng)短， 2-4不

12、穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟 內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)差分方程的建立 內(nèi)節(jié)點(diǎn)一般采用直接法：即由導(dǎo)熱微分方程直接用差商代替微商，導(dǎo)出遞推公式，也可采用熱平衡法； 邊界節(jié)點(diǎn)一般采用熱平衡法，視具體邊界建立相應(yīng)的能量方程 選擇求解差分方程組矩陣的計(jì)算方法 編寫(xiě)計(jì)算程序 計(jì)算 計(jì)算結(jié)果的處理和分析討論2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法一、有限差分的概念 微商和差商的定義若T(x)是連續(xù)函數(shù)，則它的導(dǎo)數(shù)為： 稱為微商， 稱為差商，兩者之差代表以差商代替微商帶來(lái)的誤差。xTxxTxxTdxdTxx00lim)()(limdxdTxT二、差商的形式1、向前差商 表示第5項(xiàng)以后各項(xiàng)的代數(shù)和，其值與（x）4的值屬同一個(gè)數(shù)量

13、級(jí)。xxTxxTdxdT)()()()(!3)()(!2)()()()(432xOxTxxTxxTxxTxxT )(4xO )()()(.)(! 3)()(! 2)()()(2xodxdTxxTxxTxTxxTxxTxxTxxT 二、差商的形式2、向后差商3、中心差商以上兩式相加除2，得到中心差商：)()()()()(xOdxdTxxxTxTxxxTxTdxdT)(2)()(2xodxdTxxxTxxT二、差商的形式4、二階差商xxxxTxTxxTxxTdxTd)()()()(222)()(2)()(xxTxxTxxT三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程/一維系統(tǒng)1、模型： 0，0 xL2、初始條件：T(x

14、,0)=(x)3、邊界條件：T(0, )=1()， T(L, )=2()4、區(qū)域離散距離步長(zhǎng)：x=xi-xi-1, xi =(i-1) x時(shí)間步長(zhǎng)： = n- n-1, n=n Tin=T(xi, n)TxT122niT三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程/一維系統(tǒng)5、有限差分方程建立1）顯示差分 點(diǎn)（i,n）的導(dǎo)熱方程為：01)(20)(1)(2)()()()(2)()(1)(121121211122112222nininininininininininininininininininiTTxTTTxoTTxTTToTTTxOxTTTxTTxT三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程nininininlninininini

15、TFTFTFTFxFnnTnnTlixiTlinTxTxTxT1112211012212100000)21 ()(.2 , 1 , 0),(.2 , 1 , 0),(1,.3 , 2,) 1(1,.,3 , 2,.,3 , 2 , 1)()(21 ()(稱為傅立葉數(shù)。，令：三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程/一維系統(tǒng)2)隱式差分格式溫度對(duì)距離的二階偏微商是對(duì)應(yīng)時(shí)刻n+1的，而溫度對(duì)時(shí)間的一階偏微商是對(duì)應(yīng)時(shí)刻n的。差分方程為：截?cái)嗾`差：O +（ x）2，整理后：nininininiTTxTTT12111111)(2niniTxT)(1)(122.210)(.210)(1.32) 1(1.32.210)21

16、(210001011111，nnTnnTlixiTlinTTFTFTFnlninininini三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程以l=5為例，推導(dǎo)求解隱式差分方程：n=1時(shí)刻：)3()14()2()13()()12()()1()()1()0(5)21(4)21(3)21(2)0()0(10403020403021511151105131415041213140311121302012211200000011xxTxxTxxTTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi為初始條件，方程為：，為邊界點(diǎn)，方程為：，這里，三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程n=2時(shí)刻：時(shí)求得。在，為邊界點(diǎn)，方程為：，這里，

17、0)2()2()2()2()()1(5)21(4)21(3)21(2)()1(114131225212521152324251422232413212223121122112200000011nTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程n+1時(shí)刻：時(shí)刻求得。在，為邊界點(diǎn)，方程為：，這里，nTTTnnTnnTTTnnTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTinTinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn4321511151151314154121314311121321)1()1()1()1()()(5)21(4)21(3)21(21111122

18、0000001三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程c)顯式和隱士差分格式的比較 計(jì)算格式的差別 顯式在n+1時(shí)刻的溫度由n時(shí)刻的3個(gè)已知溫度求出，不要求解方程組。 隱式格式中，由于一個(gè)方程中包含n+1時(shí)刻的3個(gè)未知溫度，只有把n+1時(shí)刻的所有節(jié)點(diǎn)方程列出后接聯(lián)立方程，才能求出n+1時(shí)刻所有節(jié)點(diǎn)的溫度。 穩(wěn)定性的差別 顯式差分的格式穩(wěn)定是有條件的，穩(wěn)定條件：F01/2 隱式差分格式的方程式無(wú)條件穩(wěn)定的 對(duì)計(jì)算步長(zhǎng)的要求 對(duì)于顯式差分格式，穩(wěn)定性條件制約時(shí)間步長(zhǎng)由距離步長(zhǎng)所決定：（ x）2/2 對(duì)于隱式差分格式，時(shí)間步長(zhǎng)和距離步長(zhǎng)都可以任意取三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程/二維系統(tǒng)假設(shè)熱物理性能參數(shù)為常數(shù)，且無(wú)內(nèi)熱源。

19、節(jié)點(diǎn)（i,j）處的溫度表示成Ti,j，對(duì)于0 xL1和0yL2的矩形區(qū)域內(nèi)，將二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱方程式應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)（i,j）可以寫(xiě)成：)()()()(2)()()(2)()(1)(,1,221,1,2222, 1, 1,22,2222oTTTyoyTTTyTxoxTTTxTTyTxTnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji三、建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程 若x= y，則：)41()(41 )(,1,1, 1, 1,21,1, 1, 121,00njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiTFTTTTFTxTTTTxT410F穩(wěn)定條件：四、邊界節(jié)點(diǎn)差分

20、方程/熱平衡法 基本思想：將能量守恒原則應(yīng)用到每個(gè)單元體，不再?gòu)奈⒎址匠倘胧?，而是將?dǎo)熱的基本定律直接近似。)(1(,1,njinjiTTyxcQji為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（njinjinjinjinjinjiTFTTTTFT,1,1, 1, 11,)41 (00 xTTyQjinjinjiji, 1, 1)1(,單元體的熱量分別為：）單元體流入（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在,)1()1()1(,1,1,1,1, 1, 1yxQQyTTxQyTTxQxTTyQnjinjijinjinjijinjinjiji若四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程 絕熱 給定熱流密度 對(duì)流邊界 給定溫度 輻射 混合四、

21、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程1、絕熱邊界相鄰單元體流入（i,j）單元體的熱量：)(12(,1,njinjiTTyxcQji為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（njinjinjinjinjiTFTTTFT,1,1, 11,)41 (200）單元體流入（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在ji,0, 1jiQxTTyQnjinjiji, 1, 1)1(yTTxQnjinjiji,1,1,)12(,)12(,1,1,yxQQyTTxQnjinjiji若四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程2、給定熱流密度qr的邊界相鄰單元體流入（i,j）單元體的熱量：)(12,1,njinjiTTxycQji為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（xcq

22、TFTTTFTrnjinjinjinjinji2)41 (2,1, 1, 11,00 xTTyQnjinjiji, 1, 1)12(xTTyQnjinjiji, 1, 1)12()1(1,xqQrji,yxQQ若四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程3、對(duì)流邊界已知對(duì)流放熱系數(shù)c及周圍介質(zhì)溫度Tf,)12()12()(1()1(,)(12(,1,1,1,1,1,1,1,1,yxQQyTTxQyTTxQTTyQxTTyQjiTTyxcQjinjinjijinjinjijinjijinjinjijinjinjifc若）單元體流入（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（fccTxcTxcFTT

23、TFTnjinjinjinjinji2)241 (2, 11,1,1,00四、邊界節(jié)點(diǎn)差分方程4、給定溫度邊界5、輻射邊界wTTnji,)(12(,1,njinjiTTyxcQji為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（)(2)41 (24,1, 1, 11,4000njinjinjinjinjinjiTTxccTFTTTFTf,)()1()1()12()12(,4,41,1,1, 1, 1, 1, 10yxQQTTxcQyTTxQxTTyQxTTyQjinjifjinjinjijinjinjijinjinjiji若）單元體流入（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在7、混合邊界,)12()12()12()1

24、2(,)(122(, 11,1,1, 1, 1,1,yxQQTTyQxqQyTTxQxTTyQjiTTyxcQjinjifjijinjinjijinjinjijinjinjicr若）單元體流入（時(shí)間內(nèi)從周圍四個(gè)相鄰在為：時(shí)間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對(duì)于（)(22)41 ()(2,1, 11,00njinjinjinjiTTxcxcqFTTFTfcr 差分法：以差分代替微分，對(duì)基本方程離散，建立以節(jié)點(diǎn)參數(shù)為未知量的線性方程組，而求得近似解。 優(yōu)點(diǎn)：線性方程組的計(jì)算格式比較簡(jiǎn)單 不足：差分格式大多采用正方形、矩形和正三角形 有限元法：對(duì)連續(xù)體本身進(jìn)行離散，根據(jù)變分原理求解問(wèn)題 優(yōu)點(diǎn)：適合于各種復(fù)

25、雜形狀和復(fù)雜邊界條件的數(shù)值計(jì)算 不足：計(jì)算過(guò)程復(fù)雜2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、變分方法 研究泛函的極大值和極小值的方法1）泛函定義給定兩點(diǎn)1和2，連接這兩點(diǎn)曲線的長(zhǎng)度:這樣就建立了一個(gè)函數(shù)關(guān)系：I=Iy(x)，稱I是y(x)的泛函。自變量是個(gè)函數(shù)，因變量是普通變量。dxdxdyxyIxx212)(1)(2）、泛函和函數(shù)2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)函數(shù)f(x)泛函Iy(x)變量f變量I自變量x函數(shù)y(x)x的增量 xy(x)的變分y函數(shù)的微分dfdf泛函的變分I2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3）、泛函和變分研究泛函極值的方

26、法就是變分法。函數(shù)f=f(x）泛函I=Iy(x)如果對(duì)于變量x的某一域中的每一個(gè)x, f 都有一值與之對(duì)應(yīng)，則變量f叫做x的函數(shù)，記為f(x）如果對(duì)于某一類函數(shù)y(x)中的每一個(gè)函數(shù)y(x), I 都有一值與之對(duì)應(yīng)，則變量I叫做依賴于函數(shù)y(x)的泛函，記為Iy(x)如果對(duì)于x的微小改變，有函數(shù)f(x)的微小改變與之對(duì)應(yīng)，則函數(shù)f(x)是連續(xù)的。如果對(duì)于y(x)的微小改變，有泛函的微小改變與之對(duì)應(yīng)，則泛函Iy(x)是連續(xù)的。如果可微函數(shù)f(x)的內(nèi)點(diǎn)x=x0處達(dá)到極大或極小值，則在這點(diǎn)df=0如果變分的泛函Iy(x)的內(nèi)點(diǎn)y=y0 (x)處達(dá)到極大或極小值，則在這點(diǎn)I=02-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限

27、元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、差值函數(shù)線性差值：求過(guò)曲線y(x)上已知點(diǎn)A(xi,yi)、B(xi+1,yi+1)的直線方程：iiiiiiiiiiiiiiyxxxxyxxxxxyxxxxyyyxy111111)()()(還可以寫(xiě)成：3、形函數(shù) 形函數(shù)只和單元的形狀、節(jié)點(diǎn)配置區(qū)間大小和差值方式有關(guān)，而和節(jié)點(diǎn)未知量無(wú)關(guān)，故統(tǒng)稱其為形函數(shù)。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1）一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱求解區(qū)間0，L劃分為有限個(gè)互補(bǔ)重疊的小區(qū)間。構(gòu)造的差值函數(shù)：形函數(shù)： 只和單元的形狀、節(jié)點(diǎn)配置區(qū)間大小和差值方式有關(guān)，而和節(jié)點(diǎn)未知量無(wú)關(guān)。故統(tǒng)稱其為形狀函數(shù)或形狀因子。)()(11iiiiiixxxxTTTxTii

28、iixxTT112-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)于三角形單元，通常假設(shè)單元e上的溫度是x,y的線性函數(shù)。mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根據(jù)矩陣求逆，是待定常數(shù)。，式中即：2）二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的行列式。稱為方陣階行列式：則設(shè)矩陣Aaaaaaaaaanaaaaaaaaannnnnnnnnn

29、2122211121121222111211.A.A*1212221212111*1.AAAaAAAAnnAAAAAAAAAijijnnnn且有：的代數(shù)余子式。中元素為行列式的伴隨矩陣。稱為矩陣mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根據(jù)矩陣求逆，是待定常數(shù)。，式中即：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/數(shù)學(xué)基礎(chǔ)ijmjimijjimmijimj

30、miimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxayaxaaT,321記：即：2111ijjimmjjiicbcbyxyxyx)(21)(21)(2121321321321321mmjjiimmjjiimmjjiimjimjimjimjiTcTcTcaTbTbTbaTaTaTaaTTTcccbbbaaaaaaaaayaxaaT是待定常數(shù)。，式中即：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) )(21)(21)(21,)()()(21ycxbaNycxbaNycxbaNTNTTTTNNNTTNTNTNTTycxbaTycxbaTycxbaTmmmmj

31、jjjiiiimjimjimmjjiimmmmjjjjiiiiT用有限元法求解二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱問(wèn)題時(shí)，采用三角形單元離散化并通過(guò)線性差值所求得的形函數(shù)(Ni, Nj, Nm)。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 形函數(shù)(Ni, Nj, Nm)的特點(diǎn)： Ni, Nj, Nm是x, y的線性函數(shù)，與插值函數(shù)具有同樣的類型 Ni（xi,yi）=1 , Ni（xj,yj）= Ni（xm,ym）=02121)()(21)(21),(ijimmjjijmmjijmimjjmmjiiiiiiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN1111mmjjiiyxyxyx2111ijjimmj

32、jiicbcbyxyxyx可以證明：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)021)()(21)(21),(mjmmmmjmjmmjmjmmmjjmmjiiimmiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟1、思想 從數(shù)學(xué)角度講，某一泛函取極值所需要的充要條件等價(jià)于求解相應(yīng)的微分方程式加邊界條件。從而可利用泛函取極值的變分計(jì)算來(lái)代替微分方程及邊界條件的求解。2、步驟1）找到導(dǎo)熱微分方程對(duì)應(yīng)的泛函22xTTdxTTxTTIL)(2)(20)(2222yTxTTI為T(mén)(x,y)的函數(shù)xTFQ2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有

33、限元法的解題思想和步驟2）單元?jiǎng)澐?將區(qū)域劃分成有限個(gè)三角形單元（例如，分成E個(gè)單元，n個(gè)節(jié)點(diǎn)） 溫度場(chǎng)T(x,y)離散成T1,T2Tn等n個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度，則泛函IT(x,y)實(shí)際上是一個(gè)多元函數(shù)：I(T1,T2,Tn)， IT(x,y)的變分問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)求極值問(wèn)題EeeII10iTI2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟 建立溫度的差值函數(shù)對(duì)于三角形單元：T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm 單元變分計(jì)算EeeII10iTI的值。單元變分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟

34、 總體合成得到線性方程組。 求解線性方程組niTITIEeiei,.2 , 1, 012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法三、內(nèi)單元計(jì)算格式的建立1、一維系統(tǒng)(略去課堂不講)1）模型：2）泛函：3)溫度差值函數(shù)22xTT0)(2)(20IdxTTxTTIL尋找溫度場(chǎng)，使111111) 1()()(iiiiiiiiiiiiThihxThxhixTnLhxxxTxxxxTxxxxxT若等步長(zhǎng)：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、內(nèi)單元計(jì)算格式的建立4）單元變分計(jì)算hxhiTThxTThTTxTdxTTTxTTxTTTIdxTTxTTIIIiiiiiiiiiiixxexxee)1(1)(,)()()(2)(11

35、124）單元變分計(jì)算TfThThdxhxhiTdxhTdxhTdxhxhiThTTdxhxhiThhTTdxTTTxTTxTTTIeieieixxxxxxxxxxxxxxeiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii111111111111222) 1() 1() 1()1()()(hdxhhhhhxxhdxhhiiiiiixxeixxei11121222)(4）單元變分計(jì)算2)222(21) 1(21) 1()(21) 1()(21)(1() 1() 1(111111122hhihiihhihhhixxxxhhixxhxxidxhxdxidxhxhifiiiiiiiiiiiiiixxx

36、xxxei5）總體合成,.2 , 1, 00iTITITIIIieiiehhhhhhTfThThTITfThThTIIIiIieieieieiieeieieiieiiii20111hhhhhhIIiIiei2111hhhfffIIiIiei22niniTTT15）總體合成nininininininininininieieieiThThTTTThThTThThThTfThThii122111221112)21 (0)(220)(22012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)1、數(shù)學(xué)模型無(wú)內(nèi)熱源、假定熱物理性能為常數(shù)。)(2222yTxTTdxdyTTyTxTTID)()(2)(222、泛函 對(duì)應(yīng)

37、的泛函：目標(biāo)：尋找溫度場(chǎng)T，使I=0，即：尋找是泛函達(dá) 到極值的函數(shù)。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)3、區(qū)域離散化 將一個(gè)矩形區(qū)域，劃分成多個(gè)直角三角形。設(shè)直角邊長(zhǎng)為h，(x =y=h)節(jié)點(diǎn)x=rh,y=sh (r, s為正整數(shù))此節(jié)點(diǎn)記為(r,s)，（相當(dāng)于（x,y）點(diǎn)）2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)4、溫度差值函數(shù)的建立對(duì)于三角形單元 T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm5、單元變分的計(jì)算將求解區(qū)域分成有限個(gè)單元后，泛函I(T)變成各個(gè)單元內(nèi)泛函的積分。eII的值。單元變分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限

38、元解法/二維熱傳導(dǎo)dxdyTTyTxTIee)()(222iiiiiimmjjiimmjjiiiiieieNTTyNyTTxNxTTTyNTyNTyNyTTxNTxNTxNxTdxdyTTTyTTyTxTTxTTI)()()()(5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)（5、單元變分）TfThThThdxdyNTyNTyNTyNTyNxNTxNTxNTxNTIeimeimjeijieiiiimmjjiiimmjjiieie）（）（代入得：eieimimieeimjijieeijiieeiidxdyNfdxdyyNyNxNxNhdxdyyNyNxNxNhdxdyyNxNh()()(22

39、2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo))(221)2()2()2()2()()(2222222222iieiieeiiiieiieeiicbhhhdxdydxdycbdxdycbdxdyyNxNh因?yàn)?(21ycxbaNiiii5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo))(2)44(222jijijijiejijieeijccbbhdxdyccbbdxdyyNyNxNxNh同理：)(21ycxbaNiiii)(21ycxbaNjjjj)(22mimieimccbbhh)(21ycxbaNmmmm5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)通過(guò)以下推導(dǎo)得出：eifhxxcyy

40、byxyxajmimjijmmji005、單元變分eieidxdyNf)(21ycxbaNiiii2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)eieieieiydxdycxdxdybdxdyaf21eieiieiydxdycxdxdybaf21hyyyydxdyhcbamjieiii3)(3,00，因?yàn)椋?3212hhhfei5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)在時(shí)間上采用向前差分：niniTTT16、總體合成01EeieiTITITfThThThTIeimeimjeijieiiieEeninieiEemeimEejeijEeieiiEeieTTfThThThTI1111110i= 1, 2, 3, n上式包含若干線性方程組。對(duì)于每一個(gè)方程來(lái)說(shuō)，都是對(duì)所有單元求和而成?，F(xiàn)以i(r,s)為例，進(jìn)行求解。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)i(r,s)點(diǎn)涉及六個(gè)單元、，所以01EeieTI其它單元中不含有節(jié)點(diǎn)i(r,s)，它們的泛函對(duì)Ti變分后都等于0。實(shí)際上只涉及上述六個(gè)單元