材料數(shù)值模擬——溫度場模擬

1、材料加工過程的數(shù)值模擬第二章：溫度場數(shù)值模擬教學(xué)目的 掌握基本的傳熱知識 了解熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢 了解傳熱問題的數(shù)值計算方法 掌握實際熱加工過程溫度場數(shù)值模擬的基本步驟先修課程 傳熱學(xué) 高等數(shù)學(xué) 線性代數(shù) 數(shù)值分析 熱加工基本理論 材料基礎(chǔ)知識參考書目 鑄件凝固過程數(shù)值模擬，陳海清等，重慶大學(xué)出版社，1991（TG21-C4-2） 焊接熱過程數(shù)值分析，武傳松，哈工大出版社，1990（TG402-N74） 計算機(jī)在鑄造中的應(yīng)用，程軍，機(jī)械工業(yè)出版社，1993（TG248-C73） 計算傳熱學(xué)，郭寬良，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1988（TK124-43-G91） 焊接熱效應(yīng)，德D.

2、拉達(dá)伊，機(jī)械工業(yè)出版社，19972-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的意義 材料熱加工 鑄造：液態(tài)流動充型、凝固結(jié)晶等； 鍛壓：固態(tài)流動變形、相變、再結(jié)晶等； 焊接：熔池金屬熔化、凝固結(jié)晶；熱影響區(qū)金屬經(jīng)歷不同的熱處理過程； 熱處理：相變、再結(jié)晶等； 特點：復(fù)雜的物理、化學(xué)、冶金變化 熱加工過程目的 獲得一定的形狀、尺寸、成分和組織 成為零件、毛坯、結(jié)構(gòu)2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的意義 熱加工過程的結(jié)果 成型和改性：使材料的成分、組織、性能最后處于最佳狀態(tài) 熱加工工藝設(shè)計 根據(jù)所要求的組織和性能，制定合理的熱加工工藝，指導(dǎo)材料的熱加工過程 熱加工工藝設(shè)計存在的問題

3、 復(fù)雜的高溫、動態(tài)、瞬時過程：難以直接觀察，間接測試也十分困難 建立在“經(jīng)驗”、“技藝”基礎(chǔ)上2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的意義 解決方法 熱加工工藝模擬技術(shù)：在材料熱加工理論指導(dǎo)下，通過數(shù)值模擬和物理模擬，在實驗室動態(tài)仿真材料的熱加工過程，預(yù)測實際工藝條件下的材料的最后組織、性能和質(zhì)量，進(jìn)而實現(xiàn)熱加工工藝的優(yōu)化設(shè)計 熱加工過程模擬的意義 認(rèn)識過程或工藝的本質(zhì)，預(yù)測并優(yōu)化過程和工藝的結(jié)果（組織和性能） 與制造過程結(jié)合，實現(xiàn)快速設(shè)計和制造2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的發(fā)展歷程 60年代（起源于鑄造） 丹麥的Forsund首次采用有限差分計算了鑄件凝固過程的傳熱

4、。 美國隨后進(jìn)行了大型鑄鋼件溫度場的數(shù)值模擬 70年代（擴(kuò)展） 更多的國家加入 擴(kuò)展到鍛壓、焊接和熱處理 80年代以后（迅速發(fā)展） 1981年開始，每兩年舉辦一次鑄造和焊接過程的數(shù)值模擬國際會議 1992年開始，每兩年舉辦一次焊接過程數(shù)值模擬國際大會 目前（成為研究熱點） 國家攀登計劃 973基礎(chǔ)研究計劃2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的發(fā)展趨勢 宏觀中觀微觀 宏觀：形狀、尺寸、輪廓 中觀：組織和性能 微觀：相變、結(jié)晶、再結(jié)晶、偏析、擴(kuò)散、氣體析出 單一、分散耦合集成 流場溫度場 溫度場應(yīng)力/應(yīng)變場 溫度場組織場 應(yīng)力/應(yīng)變場組織場2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀熱加工過程模擬的

5、發(fā)展趨勢 重視提高數(shù)值模擬的精度和速度 重視精確的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)獲得與積累 與生產(chǎn)技術(shù)其他技術(shù)環(huán)節(jié)集成，成為先進(jìn)制造技術(shù)的重要組成 與產(chǎn)品設(shè)計系統(tǒng)集成 與零件加工制造系統(tǒng)集成2-1 熱加工過程模擬的研究現(xiàn)狀部分商業(yè)軟件 鑄造 PROCAST, SIMULOR 鍛壓 DEFORM, AUTOFORGE, SUPERFORGE 通用 MARC, ABAQUS, ADINA, ANSYS2-2溫度場及傳熱的基本概念 溫度場定義 在 x、y、z直角坐標(biāo)系中，連續(xù)介質(zhì)各個地點在同一時刻的溫度分布，叫做溫度場。 T=f(x,y,z,t) 穩(wěn)定溫度場 T= f(x,y,z) 不穩(wěn)定溫度場 T=f(x,y,z,t)

6、 等溫面 等溫線熱量傳遞的三種基本形式/熱傳導(dǎo) 定義：物體各個部分之間不發(fā)生相對位移時，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運動而產(chǎn)生的熱量傳遞。 表達(dá)式： 傅立葉定律： 矢量表示：xTFQxTFQnnTgradqkzjyigradnnTgradTTTxTT T 熱量傳遞的三種基本形式/熱對流 定義 運動的流體質(zhì)點發(fā)生相對位移而引起的熱轉(zhuǎn)移現(xiàn)象 遵循的定律 牛頓定律 公式：)FT(TQ0cca熱量傳遞的三種基本形式/熱輻射 定義 物質(zhì)受熱后，內(nèi)部原子震動而出現(xiàn)的一種電磁波能量傳遞。 遵循定律 斯蒂芬-波爾茲曼定律 公式： T：熱力學(xué)溫度（k） C：輻射系數(shù)，C=C0, C0=5.67W/m2

7、.K4 兩物體之間熱輻射交換：QR= C0(T14- T24)4cTQ 導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述建立基礎(chǔ)：傅立葉定律和能量守恒定律在d 時間內(nèi)，沿X方向?qū)胛⒃w的熱量：Qx=qx dAd= qx dy dz d 在d 時間內(nèi)，沿X方向?qū)С鑫⒃w的熱量：Qx+ dX =qx+ dX dAd= qx +dX dy dz d 在d 時間內(nèi)，沿X方向在微元體內(nèi)積蓄的熱量：dQx = Qx - Qx+ dX =(qx - qx +dX ) dy dz d = d qx dy dz d 同理： dQy = d qy dx dz d dQz = d qz dx dy d 導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述微元體中總的積蓄熱量：dQ=

8、dQx + dQy + dQz = (d qx dy dz d +d qy dx dz d + d qz dx dy d )dzzqzdyyqydxxqxzyxdqdqdqzTqyTqxTqzyxdxdydzdzTyTxTdxdydzdzTzyTyxTxdxdydzdzqyqxqzyx)(222222)()()() 另： dTdxdydzcdTdxdydzcdQdTdTdxdydzdTcdQcTTcTTcdxdydzddTdxdydzczTyTxTzTyTxTzTyTxT,)()()(2222222222222222222導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述 一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱： 二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱： 三維穩(wěn)

9、定導(dǎo)熱： 一般表達(dá)式：)(22xTT)(2222yTxTT02222222222220)(zTyTxTzTyTxTT.)()()(QzTzyTyxTxTc導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述初始條件和邊界條件 初始條件：物體開始導(dǎo)熱瞬時的溫度分布，T=f(x,y,z) （=0） 邊界條件：物體表面與周圍介質(zhì)交換的情況 第一類邊界條件：已知物體表面溫度Tw隨時間變化關(guān)系。 Tw=f() 第二類邊界條件：已知物體表面比熱流量qw隨時間變化關(guān)系。qw=f() 第三類邊界條件：已知物體周圍介質(zhì)溫度Tf物體表面溫度（ Tw ）以及物體表面與周圍介質(zhì)間的放熱系數(shù)。 qw= （ Tw - Tf ）2-3傳熱問題的數(shù)值計算方法 分

10、析解法 定義：以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，求解導(dǎo)熱微分方程的定解問題。 特點：求得的結(jié)果為精確解 不足：只能求解比較簡單的導(dǎo)熱問題，而對于幾何形狀復(fù)雜、變物性及復(fù)雜的邊界條件的導(dǎo)熱問題，難以計算。 數(shù)值解法 定義：是一種以離散數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，以計算機(jī)為工具的求解方法。 特點：不能獲得未知量的連續(xù)函數(shù)，而只是某些代表性地點的近似值 步驟 種類：有限差分法、有限元法、邊界元法、有限容積法等2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟 分析和簡化物理模型 判斷問題屬于穩(wěn)態(tài)問題還是非穩(wěn)態(tài)問題 有無內(nèi)熱源 適宜的坐標(biāo) 判斷邊界條件的類型 數(shù)學(xué)模型的建立一般模型：物性參數(shù)為常數(shù)：非穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源物性參數(shù)為常數(shù)：.)()()(Qz

11、TzyTyxTxTcQzTyTxTT)222222(12222221zTyTxTT2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源：采用圓柱坐標(biāo)時，若物性參數(shù)為常數(shù)，由于:0222222zTyTxTQzTTrrTrrTTzzryrx)11(1,sin,cos2222222有：2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟 區(qū)域和時域的離散 區(qū)域的離散：將幾何連續(xù)點的區(qū)域用一些列網(wǎng)格線分割開，形成一系列單元。 節(jié)點：每個單元的中心稱為節(jié)點（內(nèi)節(jié)點、邊界節(jié)點） 步長：節(jié)點之間的距離（等步長、變步長），表示為x, y, z 時域的離散：非穩(wěn)態(tài)問題將時間分割成時間段 時間步長：每個計算時間間隔的長短， 2-4不

12、穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法解題步驟 內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點差分方程的建立 內(nèi)節(jié)點一般采用直接法：即由導(dǎo)熱微分方程直接用差商代替微商，導(dǎo)出遞推公式，也可采用熱平衡法； 邊界節(jié)點一般采用熱平衡法，視具體邊界建立相應(yīng)的能量方程 選擇求解差分方程組矩陣的計算方法 編寫計算程序 計算 計算結(jié)果的處理和分析討論2-4不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限差分法一、有限差分的概念 微商和差商的定義若T(x)是連續(xù)函數(shù)，則它的導(dǎo)數(shù)為： 稱為微商， 稱為差商，兩者之差代表以差商代替微商帶來的誤差。xTxxTxxTdxdTxx00lim)()(limdxdTxT二、差商的形式1、向前差商 表示第5項以后各項的代數(shù)和，其值與（x）4的值屬同一個數(shù)量

13、級。xxTxxTdxdT)()()()(!3)()(!2)()()()(432xOxTxxTxxTxxTxxT )(4xO )()()(.)(! 3)()(! 2)()()(2xodxdTxxTxxTxTxxTxxTxxTxxT 二、差商的形式2、向后差商3、中心差商以上兩式相加除2，得到中心差商：)()()()()(xOdxdTxxxTxTxxxTxTdxdT)(2)()(2xodxdTxxxTxxT二、差商的形式4、二階差商xxxxTxTxxTxxTdxTd)()()()(222)()(2)()(xxTxxTxxT三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程/一維系統(tǒng)1、模型： 0，0 xL2、初始條件：T(x

14、,0)=(x)3、邊界條件：T(0, )=1()， T(L, )=2()4、區(qū)域離散距離步長：x=xi-xi-1, xi =(i-1) x時間步長： = n- n-1, n=n Tin=T(xi, n)TxT122niT三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程/一維系統(tǒng)5、有限差分方程建立1）顯示差分 點（i,n）的導(dǎo)熱方程為：01)(20)(1)(2)()()()(2)()(1)(121121211122112222nininininininininininininininininininiTTxTTTxoTTxTTToTTTxOxTTTxTTxT三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程nininininlninininini

15、TFTFTFTFxFnnTnnTlixiTlinTxTxTxT1112211012212100000)21 ()(.2 , 1 , 0),(.2 , 1 , 0),(1,.3 , 2,) 1(1,.,3 , 2,.,3 , 2 , 1)()(21 ()(稱為傅立葉數(shù)。，令：三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程/一維系統(tǒng)2)隱式差分格式溫度對距離的二階偏微商是對應(yīng)時刻n+1的，而溫度對時間的一階偏微商是對應(yīng)時刻n的。差分方程為：截斷誤差：O +（ x）2，整理后：nininininiTTxTTT12111111)(2niniTxT)(1)(122.210)(.210)(1.32) 1(1.32.210)21

16、(210001011111，nnTnnTlixiTlinTTFTFTFnlninininini三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程以l=5為例，推導(dǎo)求解隱式差分方程：n=1時刻：)3()14()2()13()()12()()1()()1()0(5)21(4)21(3)21(2)0()0(10403020403021511151105131415041213140311121302012211200000011xxTxxTxxTTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi為初始條件，方程為：，為邊界點，方程為：，這里，三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程n=2時刻：時求得。在，為邊界點，方程為：，這里，

17、0)2()2()2()2()()1(5)21(4)21(3)21(2)()1(114131225212521152324251422232413212223121122112200000011nTTTTTTTTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTiTi三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程n+1時刻：時刻求得。在，為邊界點，方程為：，這里，nTTTnnTnnTTTnnTiTTFTFTiTTFTFTiTTFTFTinTinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn4321511151151314154121314311121321)1()1()1()1()()(5)21(4)21(3)21(21111122

18、0000001三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程c)顯式和隱士差分格式的比較 計算格式的差別 顯式在n+1時刻的溫度由n時刻的3個已知溫度求出，不要求解方程組。 隱式格式中，由于一個方程中包含n+1時刻的3個未知溫度，只有把n+1時刻的所有節(jié)點方程列出后接聯(lián)立方程，才能求出n+1時刻所有節(jié)點的溫度。 穩(wěn)定性的差別 顯式差分的格式穩(wěn)定是有條件的，穩(wěn)定條件：F01/2 隱式差分格式的方程式無條件穩(wěn)定的 對計算步長的要求 對于顯式差分格式，穩(wěn)定性條件制約時間步長由距離步長所決定：（ x）2/2 對于隱式差分格式，時間步長和距離步長都可以任意取三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程/二維系統(tǒng)假設(shè)熱物理性能參數(shù)為常數(shù)，且無內(nèi)熱源。

19、節(jié)點（i,j）處的溫度表示成Ti,j，對于0 xL1和0yL2的矩形區(qū)域內(nèi)，將二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱方程式應(yīng)用于節(jié)點（i,j）可以寫成：)()()()(2)()()(2)()(1)(,1,221,1,2222, 1, 1,22,2222oTTTyoyTTTyTxoxTTTxTTyTxTnjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjinji三、建立內(nèi)節(jié)點差分方程 若x= y，則：)41()(41 )(,1,1, 1, 1,21,1, 1, 121,00njinjinjinjinjinjinjinjinjinjinjiTFTTTTFTxTTTTxT410F穩(wěn)定條件：四、邊界節(jié)點差分

20、方程/熱平衡法 基本思想：將能量守恒原則應(yīng)用到每個單元體，不再從微分方程入手，而是將導(dǎo)熱的基本定律直接近似。)(1(,1,njinjiTTyxcQji為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（njinjinjinjinjinjiTFTTTTFT,1,1, 1, 11,)41 (00 xTTyQjinjinjiji, 1, 1)1(,單元體的熱量分別為：）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在,)1()1()1(,1,1,1,1, 1, 1yxQQyTTxQyTTxQxTTyQnjinjijinjinjijinjinjiji若四、邊界節(jié)點差分方程 絕熱 給定熱流密度 對流邊界 給定溫度 輻射 混合四、

21、邊界節(jié)點差分方程1、絕熱邊界相鄰單元體流入（i,j）單元體的熱量：)(12(,1,njinjiTTyxcQji為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（njinjinjinjinjiTFTTTFT,1,1, 11,)41 (200）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在ji,0, 1jiQxTTyQnjinjiji, 1, 1)1(yTTxQnjinjiji,1,1,)12(,)12(,1,1,yxQQyTTxQnjinjiji若四、邊界節(jié)點差分方程2、給定熱流密度qr的邊界相鄰單元體流入（i,j）單元體的熱量：)(12,1,njinjiTTxycQji為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（xcq

22、TFTTTFTrnjinjinjinjinji2)41 (2,1, 1, 11,00 xTTyQnjinjiji, 1, 1)12(xTTyQnjinjiji, 1, 1)12()1(1,xqQrji,yxQQ若四、邊界節(jié)點差分方程3、對流邊界已知對流放熱系數(shù)c及周圍介質(zhì)溫度Tf,)12()12()(1()1(,)(12(,1,1,1,1,1,1,1,1,yxQQyTTxQyTTxQTTyQxTTyQjiTTyxcQjinjinjijinjinjijinjijinjinjijinjinjifc若）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（fccTxcTxcFTT

23、TFTnjinjinjinjinji2)241 (2, 11,1,1,00四、邊界節(jié)點差分方程4、給定溫度邊界5、輻射邊界wTTnji,)(12(,1,njinjiTTyxcQji為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（)(2)41 (24,1, 1, 11,4000njinjinjinjinjinjiTTxccTFTTTFTf,)()1()1()12()12(,4,41,1,1, 1, 1, 1, 10yxQQTTxcQyTTxQxTTyQxTTyQjinjifjinjinjijinjinjijinjinjiji若）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在7、混合邊界,)12()12()12()1

24、2(,)(122(, 11,1,1, 1, 1,1,yxQQTTyQxqQyTTxQxTTyQjiTTyxcQjinjifjijinjinjijinjinjijinjinjicr若）單元體流入（時間內(nèi)從周圍四個相鄰在為：時間間隔內(nèi)的內(nèi)能變化）單元體，對于（)(22)41 ()(2,1, 11,00njinjinjinjiTTxcxcqFTTFTfcr 差分法：以差分代替微分，對基本方程離散，建立以節(jié)點參數(shù)為未知量的線性方程組，而求得近似解。 優(yōu)點：線性方程組的計算格式比較簡單 不足：差分格式大多采用正方形、矩形和正三角形 有限元法：對連續(xù)體本身進(jìn)行離散，根據(jù)變分原理求解問題 優(yōu)點：適合于各種復(fù)

25、雜形狀和復(fù)雜邊界條件的數(shù)值計算 不足：計算過程復(fù)雜2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1、變分方法 研究泛函的極大值和極小值的方法1）泛函定義給定兩點1和2，連接這兩點曲線的長度:這樣就建立了一個函數(shù)關(guān)系：I=Iy(x)，稱I是y(x)的泛函。自變量是個函數(shù)，因變量是普通變量。dxdxdyxyIxx212)(1)(2）、泛函和函數(shù)2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)函數(shù)f(x)泛函Iy(x)變量f變量I自變量x函數(shù)y(x)x的增量 xy(x)的變分y函數(shù)的微分dfdf泛函的變分I2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3）、泛函和變分研究泛函極值的方

26、法就是變分法。函數(shù)f=f(x）泛函I=Iy(x)如果對于變量x的某一域中的每一個x, f 都有一值與之對應(yīng)，則變量f叫做x的函數(shù)，記為f(x）如果對于某一類函數(shù)y(x)中的每一個函數(shù)y(x), I 都有一值與之對應(yīng)，則變量I叫做依賴于函數(shù)y(x)的泛函，記為Iy(x)如果對于x的微小改變，有函數(shù)f(x)的微小改變與之對應(yīng)，則函數(shù)f(x)是連續(xù)的。如果對于y(x)的微小改變，有泛函的微小改變與之對應(yīng)，則泛函Iy(x)是連續(xù)的。如果可微函數(shù)f(x)的內(nèi)點x=x0處達(dá)到極大或極小值，則在這點df=0如果變分的泛函Iy(x)的內(nèi)點y=y0 (x)處達(dá)到極大或極小值，則在這點I=02-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限

27、元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、差值函數(shù)線性差值：求過曲線y(x)上已知點A(xi,yi)、B(xi+1,yi+1)的直線方程：iiiiiiiiiiiiiiyxxxxyxxxxxyxxxxyyyxy111111)()()(還可以寫成：3、形函數(shù) 形函數(shù)只和單元的形狀、節(jié)點配置區(qū)間大小和差值方式有關(guān)，而和節(jié)點未知量無關(guān)，故統(tǒng)稱其為形函數(shù)。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1）一維不穩(wěn)定導(dǎo)熱求解區(qū)間0，L劃分為有限個互補重疊的小區(qū)間。構(gòu)造的差值函數(shù)：形函數(shù)： 只和單元的形狀、節(jié)點配置區(qū)間大小和差值方式有關(guān)，而和節(jié)點未知量無關(guān)。故統(tǒng)稱其為形狀函數(shù)或形狀因子。)()(11iiiiiixxxxTTTxTii

28、iixxTT112-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對于三角形單元，通常假設(shè)單元e上的溫度是x,y的線性函數(shù)。mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根據(jù)矩陣求逆，是待定常數(shù)。，式中即：2）二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的行列式。稱為方陣階行列式：則設(shè)矩陣Aaaaaaaaaanaaaaaaaaannnnnnnnnn

29、2122211121121222111211.A.A*1212221212111*1.AAAaAAAAnnAAAAAAAAAijijnnnn且有：的代數(shù)余子式。中元素為行列式的伴隨矩陣。稱為矩陣mjiijmijmjiimmjijjimiimjmmjmmjjiimjimmjjiimmmjjjiiiTTTxxxxxxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxTTTyxyxyxaaayaxaaTyaxaaTyaxaaTaaayaxaaT11111111321321321321321321根據(jù)矩陣求逆，是待定常數(shù)。，式中即：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/數(shù)學(xué)基礎(chǔ)ijmjimijjimmijimj

30、miimjjmimjijmmjixxcyybyxyxaxxcyybyxyxaxxcyybyxyxayaxaaT,321記：即：2111ijjimmjjiicbcbyxyxyx)(21)(21)(2121321321321321mmjjiimmjjiimmjjiimjimjimjimjiTcTcTcaTbTbTbaTaTaTaaTTTcccbbbaaaaaaaaayaxaaT是待定常數(shù)。，式中即：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) )(21)(21)(21,)()()(21ycxbaNycxbaNycxbaNTNTTTTNNNTTNTNTNTTycxbaTycxbaTycxbaTmmmmj

31、jjjiiiimjimjimmjjiimmmmjjjjiiiiT用有限元法求解二維不穩(wěn)定導(dǎo)熱問題時，采用三角形單元離散化并通過線性差值所求得的形函數(shù)(Ni, Nj, Nm)。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 形函數(shù)(Ni, Nj, Nm)的特點： Ni, Nj, Nm是x, y的線性函數(shù)，與插值函數(shù)具有同樣的類型 Ni（xi,yi）=1 , Ni（xj,yj）= Ni（xm,ym）=02121)()(21)(21),(ijimmjjijmmjijmimjjmmjiiiiiiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN1111mmjjiiyxyxyx2111ijjimmj

32、jiicbcbyxyxyx可以證明：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法一、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)021)()(21)(21),(mjmmmmjmjmmjmjmmmjjmmjiiimmiyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxycxbayxN2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟1、思想 從數(shù)學(xué)角度講，某一泛函取極值所需要的充要條件等價于求解相應(yīng)的微分方程式加邊界條件。從而可利用泛函取極值的變分計算來代替微分方程及邊界條件的求解。2、步驟1）找到導(dǎo)熱微分方程對應(yīng)的泛函22xTTdxTTxTTIL)(2)(20)(2222yTxTTI為T(x,y)的函數(shù)xTFQ2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有

33、限元法的解題思想和步驟2）單元劃分 將區(qū)域劃分成有限個三角形單元（例如，分成E個單元，n個節(jié)點） 溫度場T(x,y)離散成T1,T2Tn等n個節(jié)點溫度，則泛函IT(x,y)實際上是一個多元函數(shù)：I(T1,T2,Tn)， IT(x,y)的變分問題則轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)求極值問題EeeII10iTI2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟 建立溫度的差值函數(shù)對于三角形單元：T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm 單元變分計算EeeII10iTI的值。單元變分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、有限元發(fā)的解題思想和步驟

34、 總體合成得到線性方程組。 求解線性方程組niTITIEeiei,.2 , 1, 012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法三、內(nèi)單元計算格式的建立1、一維系統(tǒng)(略去課堂不講)1）模型：2）泛函：3)溫度差值函數(shù)22xTT0)(2)(20IdxTTxTTIL尋找溫度場，使111111) 1()()(iiiiiiiiiiiiThihxThxhixTnLhxxxTxxxxTxxxxxT若等步長：2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二、內(nèi)單元計算格式的建立4）單元變分計算hxhiTThxTThTTxTdxTTTxTTxTTTIdxTTxTTIIIiiiiiiiiiiixxexxee)1(1)(,)()()(2)(11

35、124）單元變分計算TfThThdxhxhiTdxhTdxhTdxhxhiThTTdxhxhiThhTTdxTTTxTTxTTTIeieieixxxxxxxxxxxxxxeiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii111111111111222) 1() 1() 1()1()()(hdxhhhhhxxhdxhhiiiiiixxeixxei11121222)(4）單元變分計算2)222(21) 1(21) 1()(21) 1()(21)(1() 1() 1(111111122hhihiihhihhhixxxxhhixxhxxidxhxdxidxhxhifiiiiiiiiiiiiiixxx

36、xxxei5）總體合成,.2 , 1, 00iTITITIIIieiiehhhhhhTfThThTITfThThTIIIiIieieieieiieeieieiieiiii20111hhhhhhIIiIiei2111hhhfffIIiIiei22niniTTT15）總體合成nininininininininininieieieiThThTTTThThTThThThTfThThii122111221112)21 (0)(220)(22012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)1、數(shù)學(xué)模型無內(nèi)熱源、假定熱物理性能為常數(shù)。)(2222yTxTTdxdyTTyTxTTID)()(2)(222、泛函 對應(yīng)

37、的泛函：目標(biāo)：尋找溫度場T，使I=0，即：尋找是泛函達(dá) 到極值的函數(shù)。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)3、區(qū)域離散化 將一個矩形區(qū)域，劃分成多個直角三角形。設(shè)直角邊長為h，(x =y=h)節(jié)點x=rh,y=sh (r, s為正整數(shù))此節(jié)點記為(r,s)，（相當(dāng)于（x,y）點）2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)4、溫度差值函數(shù)的建立對于三角形單元 T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm5、單元變分的計算將求解區(qū)域分成有限個單元后，泛函I(T)變成各個單元內(nèi)泛函的積分。eII的值。單元變分：求ieEeieiTIniTITI,.2 , 1, 012-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限

38、元解法/二維熱傳導(dǎo)dxdyTTyTxTIee)()(222iiiiiimmjjiimmjjiiiiieieNTTyNyTTxNxTTTyNTyNTyNyTTxNTxNTxNxTdxdyTTTyTTyTxTTxTTI)()()()(5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法二維熱傳導(dǎo)（5、單元變分）TfThThThdxdyNTyNTyNTyNTyNxNTxNTxNTxNTIeimeimjeijieiiiimmjjiiimmjjiieie）（）（代入得：eieimimieeimjijieeijiieeiidxdyNfdxdyyNyNxNxNhdxdyyNyNxNxNhdxdyyNxNh()()(22

39、2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo))(221)2()2()2()2()()(2222222222iieiieeiiiieiieeiicbhhhdxdydxdycbdxdycbdxdyyNxNh因為)(21ycxbaNiiii5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo))(2)44(222jijijijiejijieeijccbbhdxdyccbbdxdyyNyNxNxNh同理：)(21ycxbaNiiii)(21ycxbaNjjjj)(22mimieimccbbhh)(21ycxbaNmmmm5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)通過以下推導(dǎo)得出：eifhxxcyy

40、byxyxajmimjijmmji005、單元變分eieidxdyNf)(21ycxbaNiiii2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)eieieieiydxdycxdxdybdxdyaf21eieiieiydxdycxdxdybaf21hyyyydxdyhcbamjieiii3)(3,00，因為：63212hhhfei5、單元變分2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)在時間上采用向前差分：niniTTT16、總體合成01EeieiTITITfThThThTIeimeimjeijieiiieEeninieiEemeimEejeijEeieiiEeieTTfThThThTI1111110i= 1, 2, 3, n上式包含若干線性方程組。對于每一個方程來說，都是對所有單元求和而成?，F(xiàn)以i(r,s)為例，進(jìn)行求解。2-5不穩(wěn)定導(dǎo)熱的有限元解法/二維熱傳導(dǎo)i(r,s)點涉及六個單元、，所以01EeieTI其它單元中不含有節(jié)點i(r,s)，它們的泛函對Ti變分后都等于0。實際上只涉及上述六個單元