24章圓總復習（共3個課時）

1、一、圓的概念一、圓的概念n1.1.平面上到定點的離等于定長的所平面上到定點的離等于定長的所有點組成的圖形叫做有點組成的圖形叫做圓圓. .其中其中, ,定點定點稱為稱為圓心圓心, ,定長稱為定長稱為半徑半徑的長的長( (通常通常也稱為半徑也稱為半徑).).以點以點O O為圓心的圓記作為圓心的圓記作OO, ,讀作讀作“圓圓O”.O”.n2 2. .圓心確定圓的圓心確定圓的位置位置, ,半徑確定圓半徑確定圓面積的面積的大小大小. . 3.圓是圓是軸對稱軸對稱圖形圖形,圓的對稱軸圓的對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心的直線是任意一條經(jīng)過圓心的直線,它它有無數(shù)條對稱軸有無數(shù)條對稱軸. 4.圓也是圓也是中心對稱中心

2、對稱圖形圖形,它的對它的對稱中心就是圓心稱中心就是圓心. 5.圓的圓的旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性.6.圓上任意兩點間的線段叫做圓上任意兩點間的線段叫做弦弦,經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心的弦稱為的弦稱為直徑直徑,圓心到弦的距離稱為圓心到弦的距離稱為弦心弦心距距.7.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱簡稱弧弧.直徑分圓為兩條相等的弧直徑分圓為兩條相等的弧,稱為稱為半圓半圓.大于大于半圓的弧稱為半圓的弧稱為優(yōu)弧優(yōu)弧,小于半圓的弧稱為小于半圓的弧稱為劣劣弧弧.8. 圓心相同圓心相同,半徑不同圓稱為半徑不同圓稱為同心圓同心圓.9. 半徑相同半徑相同,圓心不同的圓稱為圓心不同的圓稱為等圓等圓.n

3、10.10.在同圓或等圓中，能夠重合的弧稱為在同圓或等圓中，能夠重合的弧稱為 等弧等弧. .n11.11.頂點在圓心的角稱為頂點在圓心的角稱為圓心角圓心角. .n12.12.頂點在圓上頂點在圓上, ,它的兩邊分別它的兩邊分別 與圓還有與圓還有 另一個交點另一個交點, ,像這樣的角像這樣的角, ,叫做叫做圓周角圓周角. .一、一、垂徑定理垂徑定理OABCDMAM=BM,重視：重視：模型模型“垂徑定理直角三角形垂徑定理直角三角形” 若若 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.1.1.定理定理 垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑平分弦平分弦, ,并且平分并且平分弦所對的兩條弧弦所

4、對的兩條弧. .2. 2.垂徑定理的逆定理垂徑定理的逆定理CDAB,n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（平分弦（不是直徑不是直徑）的直徑垂直于弦）的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦分弦所對的兩條弧所對的兩條弧.(1)直徑直徑 (過圓心的線過圓心的線) (2)垂直弦垂直弦 (3) 平分弦平分弦 (4)平分弧平分弧知二得二知二得二注意注意: “ 直徑平分弦則垂直弦直徑平分弦則垂直弦.” 這句話對嗎這句話對嗎?錯錯!OABCDMOABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)例例1 1、O

5、O的半徑為的半徑為10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16AB=16，CD=12CD=12，則，則ABAB、CDCD間的間的 距離是距離是_._.2.如圖，有兩個同心圓，大圓的如圖，有兩個同心圓，大圓的弦弦AB為小圓的切線，切點為為小圓的切線，切點為C.若若AB=4cm，求圓環(huán)的面積，求圓環(huán)的面積.ACBOABCP3. 如圖，如圖，AB是是 O的任意一條弦，的任意一條弦，OCAB，垂足，垂足為為P，若，若 CP=7米，米，AB=28米米 ，你能求出這個廣場的半，你能求出這個廣場的半徑嗎？徑嗎？O4.4.工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的直工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的直徑。假設鋼

6、珠的直徑是徑。假設鋼珠的直徑是1212毫米，測得鋼珠毫米，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為頂端離零件表面的距離為9 9毫米，如圖所毫米，如圖所示，則這個小孔的直徑示，則這個小孔的直徑ABAB長是長是 毫米毫米9 mm36OABCD5.某地有一座圓弧形的拱橋，橋下的水面寬某地有一座圓弧形的拱橋，橋下的水面寬為為7.2m，拱頂高出水面，拱頂高出水面2.4m，ABO7.2m2.4m 現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面船艙頂部為方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過的貨船要經(jīng)過這里。問：此貨船能順利通過這座橋嗎？這里。問：此貨船能順利通過這座橋嗎？r=3.9 m 在在同圓同圓或或等圓等圓中中,

7、,如果如果兩個圓心兩個圓心角角, ,兩條弧兩條弧, ,兩條弦兩條弦, ,兩條弦心兩條弦心距距中中, ,有一組量相等有一組量相等, ,那么它們所對那么它們所對應的其余各組量都分別相等應的其余各組量都分別相等. .OABDABD如由條件如由條件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB二、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系二、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系三、圓周三、圓周角定理及推論角定理及推論 9090的圓周角所對的弦是的圓周角所對的弦是 . .OABCOBACDEOABC定理定理: : 在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,同弧或等弧同弧或等弧所對的圓周角相等所對的圓周角相等, ,都等都等于這

8、弧所對的于這弧所對的圓心角的一半圓心角的一半. . 推論推論: :直徑所對的圓周角是直徑所對的圓周角是 . .直角直角直徑直徑判斷判斷: (1) 相等的圓心角所對的弧相等相等的圓心角所對的弧相等. (2)相等的圓周角所對的弧相等相等的圓周角所對的弧相等. (3) 等弧所對的圓周角相等等弧所對的圓周角相等. 1.如圖：圓如圖：圓O中弦中弦AB等于半徑等于半徑R，則這條弦所對的圓心角是則這條弦所對的圓心角是,圓周角是圓周角是.OBA60度度30度度CAOB2.已知已知ABC三點在圓三點在圓O上，連接上，連接ABCO，如果，如果 AOC等于等于140度時，度時，求求 B的度數(shù)。的度數(shù)。110度度 3

9、.如圖：如圖：AB是圓是圓O的直徑，的直徑，BD是圓是圓O的弦，的弦，延長延長BD到到C，AC=AB，BD與與CD的大小有什的大小有什么關(guān)系？么關(guān)系？ 為什么？為什么？BDCAO若若B=70度度,則則DOE=。E例例1:求下列各圖中的角求下列各圖中的角ACO.EBD80ADCOB40.=100=160=25=138圓周角圓周角弧弧圓心角圓心角圓周角圓周角弧弧圓心角圓心角圓的內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角圓的內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角圓周角圓周角弧弧圓周角圓周角直徑所對的圓周角為直角直徑所對的圓周角為直角圓心角圓心角弧弧圓周角圓周角圓的內(nèi)接四邊形對角互補圓的內(nèi)接四邊形對角互補EBACDO.25=42CD

10、.OBAE42由弧到角由弧到角,由角看弧由角看弧例例2: (1)已知已知 o的內(nèi)接的內(nèi)接ABC中中,A=30,BC=2, 求求 o 的半徑。的半徑。 ABCOA2A1A330 (2)已知已知 o的內(nèi)接的內(nèi)接ABC 中中,BC=2，R=2， 點點A是圓上任意一點，求是圓上任意一點，求A。. 想 一 想R=2A=30, A=150例例3、已知：如圖，、已知：如圖，AB是半圓的直是半圓的直 徑徑，AC是一條弦，是一條弦，D是弧是弧AC 的中點的中點，DEAB于于E交交AC于于F， DB交交AC于于G， 求證：求證：AF=FGADEBFGCO.5123467A+BCD=180A+BCD=180同理同理

11、,ABC+ADC=180,ABC+ADC=180 與與 所對的所對的圓心角的和是圓心角的和是360AADCEDCE那么那么,BCD+DCE=180,BCD+DCE=180延長延長BCBC到到E E，E定理定理 圓的內(nèi)接四邊圓的內(nèi)接四邊形的形的對角對角互補，并且任互補，并且任何何一個外角一個外角都等于它的都等于它的內(nèi)對角內(nèi)對角。如圖如圖,四邊形四邊形ABDC為為OO的內(nèi)的內(nèi)接四邊形接四邊形, ,已知已知BOCBOC為為100100, ,求求BAC及及BDCBDC的度數(shù)。的度數(shù)。 解：解：BAC=50BAC=50, , BDC=130 BDC=130如圖如圖,BC是直徑，則是直徑，則DBCDBCB

12、AE等于：等于：( ) (A)60 (B)90(C)120 (D)180 B 如圖，如圖，O1與與O2都經(jīng)過都經(jīng)過A A、B B兩點，經(jīng)過點兩點，經(jīng)過點A A的直線的直線CDCD與與O1交交于點于點C C，與，與O2交于點交于點D D經(jīng)過點經(jīng)過點B B的直線的直線EFEF與與O1交于點交于點E E，與，與O2交于點交于點F F求證：求證：CE CE DF DF.p.or.o.p.o.p四、點和圓的位置關(guān)系四、點和圓的位置關(guān)系Opr 點點p在在 o內(nèi)內(nèi)Op=r 點點p在在 o上上Opr 點點p在在 o外外練練1：有兩個同心圓，半徑分別為和：有兩個同心圓，半徑分別為和r，是圓環(huán)內(nèi)一點，則的取值是圓

13、環(huán)內(nèi)一點，則的取值范圍是范圍是.OPrOPR2.平面上一點平面上一點P到圓到圓O上一點的距離最長為上一點的距離最長為6cm,最短為最短為2cm,則圓則圓O的半徑為的半徑為_.2cm3.3.怎樣要將一個如圖所示的怎樣要將一個如圖所示的破鏡重圓破鏡重圓？ 直線和圓相交直線和圓相交nd d r;r;nd d r;r;n 直線和圓相切直線和圓相切n 直線和圓相離直線和圓相離nd d r;r;五五. .直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系OO相交相交O相切相切相離相離rrrddd切線的判定定理切線的判定定理 定理定理 經(jīng)過半徑的外端經(jīng)過半徑的外端, ,并且垂直于這條半徑的并且垂直于這條半徑的直線是圓的切

14、線直線是圓的切線. .CDOAn如圖如圖nOAOA是是OO的的半徑半徑, , 且且CDOACDOA, ,n CDCD是是OO的切線的切線. .（）定義（）定義（）圓心到直線的距離（）圓心到直線的距離d圓的半徑圓的半徑r（）（）經(jīng)過半徑的外端經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線半徑的直線是圓的切線. 如圖如圖,AB是圓是圓O的直徑的直徑,圓圓O過過AC的中點的中點D,DEBC于于E,試說明試說明:DE是圓是圓O的切線的切線.ABCDEO.切線的性質(zhì)定理切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于圓的切線垂直于過切點的半徑過切點的半徑. .nCDCD切切OO于于, OA, OA是是O

15、O的半徑的半徑CDOACDOA.n從圓外一點向圓所引的兩條切線長從圓外一點向圓所引的兩條切線長相等相等; ;并且這一點和圓心的連線平分并且這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角兩條切線的夾角. .ABPO12ABCODEFABCOODEF.21cbarS.2cbar切線長定理及其推論切線長定理及其推論:n直角三角形的內(nèi)切圓直角三角形的內(nèi)切圓半徑與三邊關(guān)系半徑與三邊關(guān)系.n三角形的內(nèi)切圓半徑與圓面積三角形的內(nèi)切圓半徑與圓面積.PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1=2實質(zhì)實質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)三角形的外三角形的外心心三角形的內(nèi)三角形的內(nèi)心心三角形三邊垂直平分線的交點三角形三邊垂直平分線的交點三角形三內(nèi)角角平分線的交點三角形三內(nèi)角角平分線的交點到三角形各邊的到三角形各邊的距離相等距離相等到三角形各頂點到三角形各頂點的距離相等的距離相等銳角三角形的外心位于三角形銳角三角形的外心位于三角形內(nèi)內(nèi), ,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜邊中點斜邊中點, ,鈍角三角形的外心位于三角形鈍角三角形的外心位于三角形外外. .ABCOABCCABOO三角形的外心三