關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題

1、 山東大學(xué)博士學(xué)位論文關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題姓名:楊連中申請學(xué)位級別:博士專業(yè):基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師:儀洪勛關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題要摘引進(jìn)了亞純函數(shù)的特征函數(shù),二十世紀(jì)二十年代,芬蘭數(shù)學(xué)家并建立了兩個(gè)基本定理,被稱為理論值分布論;他所創(chuàng)建的這一理理論研論也是二十世紀(jì)最重大的數(shù)學(xué)成就之一。半個(gè)多世紀(jì)以來,究在不斷發(fā)展,而且在復(fù)微分方程振蕩理論、亞純函數(shù)的唯一性理論研究等方面有著廣泛的應(yīng)用。亞純函數(shù)的唯一性理論,是近幾十年國際上較為活躍的研究課題,有著極為豐富的研究內(nèi)容。涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性問題理論研究起源于.,的一些研究工作,他不僅為唯一性問題研究奠定了理論基礎(chǔ),并為亞

2、純函數(shù)唯一性理論方面的研究與發(fā)展注入了新的活力。他所建立的公共值定理、公共值定理等都是這一研究領(lǐng)域的經(jīng)典結(jié)果。后來我國著名數(shù)學(xué)家熊慶來?、楊樂【等都得到了內(nèi)容深刻的結(jié)果。隨著亞純函數(shù)唯一性理論的不斷發(fā)展與完善,一些問題得到了解決,新的研究問題又不斷出現(xiàn),如本文提到的問題,都是許多數(shù)學(xué)問題,猜想,一問題及家所關(guān)注的研究對象。 ,. .等數(shù)學(xué)家都獲得不少研究成果。近二十年來,儀洪勛教授在亞純函數(shù)唯一生理論方面作出了重要貢獻(xiàn).取得了一系列令人注目的結(jié)果。本文主要介紹了作者在儀洪勛教授的精心指導(dǎo)下所完成的一些研究工作見文獻(xiàn)】¨¨】【】【,全文共分五章。第一章主要介紹了基礎(chǔ)理論中的常

3、用記號,并敘述亞純函數(shù)唯一性理論中的一些基本概念、結(jié)果及與本文研究相關(guān)的幾個(gè)問題。第二章,我們研究了整函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)僅有一個(gè)有窮公共值時(shí)的唯一性問題。年,.提出了如下猜想。猜想:設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),其超級曠?盟寄幽為有窮且不為正整數(shù)。如果與以有窮復(fù)數(shù)。為公共值,則一。二。?一其中為非零常數(shù)。設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),%是正整數(shù),為非零常數(shù)如果與,以為公共值,則由園子分解定理可知衛(wèi)竺:。,?其中是整函數(shù)記/一,則滿足下列線性微分方程:一:.上述論證說明,函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù),芝具有一個(gè)有窮非零公共值與一類線性微分方程的解有著密切關(guān)系。我們通過研究一類復(fù)微分方程解的增長性質(zhì),對有窮級整函數(shù)證明了 猜想成立。主

4、要定理有定理設(shè)是非常數(shù)多項(xiàng)武為正整數(shù)則微分方程一毋:的任何解。必為無窮級整函數(shù)。定理設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮。如果與,以有窮復(fù)數(shù)為公共值,則,女一丁副,其中為非零常數(shù),是正整數(shù)。在第三章中,我們進(jìn)一步研究了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有一個(gè)公共值時(shí)的唯一性問題,回答了?問題及鐘華梁提出的一個(gè)問題,并推廣了.,.和的結(jié)果。主要定理有定理設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),是有窮非零復(fù)數(shù),為正整數(shù)。如果,以及,以為公共值,則,三關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題定理設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),是有窮非零復(fù)數(shù),禮為正整數(shù)。如果和,“以為公共值,并且當(dāng)時(shí),“,則三礦,其中是非零常數(shù)。第四章我們考慮兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)與,研究了當(dāng),和,

5、?一,具有公共值時(shí)的唯一性問題。對超級小于的亞純函數(shù)解決了的一個(gè)問題,例子表明其結(jié)果是精確的。具體結(jié)果有定理設(shè)與是超級小于 的非常數(shù)亞純函數(shù).如果,與口,以和為公共值 則和下列情況之一:,為常數(shù)釅”,。,為常數(shù)一“,一一,為常數(shù)/一。,/?一.為常數(shù),是非常數(shù)整函數(shù)。第五章主要研究了具有公共值集的亞純函數(shù)唯一性問題。函數(shù)的公共值集概念首先是有首先給出的,并在年提出了一個(gè)關(guān)于亞純函數(shù)唯一性此問題引起了許,和,當(dāng),為和的公共值集時(shí),必有三多數(shù)學(xué)家研究興趣,這方面的研究也越來越多。下面的幾個(gè)結(jié)果是我們關(guān)于問題研究的有關(guān)工作,其中定理回答了問題。定理設(shè)與是非常數(shù)亞純函數(shù),是有窮復(fù)數(shù),是正整數(shù)。如果,凡

6、與“以,。為公共值,則,“蘭或者三,從而存在常數(shù)和滿足“,。使得,三或者,三定理設(shè),與是非常數(shù)整函數(shù),”“是有窮復(fù)數(shù),是正整數(shù)。記“,島 “如果,則蘭?壁墾壘旦旦星墾墮旦墨旦墮旦堡型堡望望鯊設(shè),?一,?！?曼。,及,其中/,/,則我們有下面的定理成立。定理設(shè)與是非常數(shù)亞純函數(shù)。如果,和以,為公共值集,并且,則,蘭,“;或者,?蘭,“定理設(shè)與是非常數(shù)亞純函數(shù)。如果,和以為公共值集,以&為公共值集,并且禮,則,三,護(hù);或者,三,“.定理設(shè)與是非常數(shù)亞純函數(shù)。如果,和以為公共值集,以島為公共值集,并且,則,三,”;或者,.三,“關(guān)鍵詞亞純函數(shù)整函數(shù) 公共值公共值集 唯一性關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理

7、論中的幾個(gè)問題 ?. ? . ,?,., ?, ,.?, . 】【】【】【】【】?.【, , ?,.: ,?一蛐籌幽, ,/。 ,一乇一三?,%, ,刖 , 塑一。:。?. /一:一:, , .?？凇耙?沁酶.。 ,四女 一萬孔 半, , ?關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題 ., .,. 丘, 扎拈, .,?,“,三. ,?,。.,”口,?？?三。,。 /, , ,.?口. 四一,”,。“,一“,一“一,。,. “,/一。./一。一,。 ,: ,島島與 , , .、旦坫扣, ,盯“十。 “十&,“蘭“,”“三。,。,。,“ ,.】 “,島”, 三:,.,“,。,/,、, 三 “:,“

8、,一三,. , ,.:.關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題序 言數(shù),并建立了兩個(gè)基本定理,被稱為理論值分布論;他所創(chuàng)建的這一理論也是二十世紀(jì)最重大的數(shù)學(xué)成就之一。半個(gè)多世紀(jì)以來, 理論研究在不斷發(fā)展,而且在復(fù)微分方程振蕩理論、亞純函數(shù)的唯一性理論研究等方面有著廣泛的應(yīng)用。亞純函數(shù)的唯一性理論,是近幾十年國際上較為活躍的研究課題,有著極為豐富的研究內(nèi)容。涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性問題理論研究起源于的一些研究工作,他不僅為唯一性蚓題研究奠定了理論基礎(chǔ),并為亞純函數(shù)唯一性理論方面的研究與發(fā)展注入新的活力。他所建立的公共值定理、公共值定理等都是這一研究領(lǐng)域的經(jīng)典結(jié)果。后來我國著名數(shù)學(xué)家熊慶來【?、楊樂

9、陽:等都得到了內(nèi)容深刻的結(jié)果。隨著亞純函數(shù)唯一性理論的不斷發(fā)展與完善,一些問題得到了解決,新的研究問題又不斷出現(xiàn),如本文提到的問題,猜想,?問題及.問題,都是許多數(shù)學(xué)家所關(guān)注的研究對象。.,., , 等數(shù)學(xué)家都獲得不少研究成果。近二十年來,儀洪勛教授在亞純函數(shù)唯一性理論方面作出了重要貢獻(xiàn),取得了一系列令人注目的結(jié)果。本文主要分紹了作者在儀洪勛教授的精心指導(dǎo)下所完成的一些研究工作見文獻(xiàn)】了】【¨】【】【。關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題第一章理論概要值分布理論的發(fā)展中, 有著巨大的貢獻(xiàn)。年他引進(jìn)了亞純函數(shù)的特征函數(shù),并且建立了兩個(gè)基本定理,被稱為理論。半個(gè)多世紀(jì)以來,理論不斷發(fā)展與完

10、善,而且在復(fù)微分方程振蕩理論、亞純函數(shù)的唯一性理論等方面有著廣泛的應(yīng)用。本章我們將給出基礎(chǔ)理論中的常用記號,并敘述亞純函數(shù)唯一性理論中的一些基本概念、結(jié)果及相關(guān)問題見文獻(xiàn)【¨【等。理論簡介§.在本文中,如無特別聲明,我們所提及的亞純函數(shù)均是指開平面 。中的亞純函數(shù),用。表示擴(kuò)充復(fù)平面。正對予 定義 的 對數(shù)一礦泉定義.設(shè)為亞純函數(shù).對。.規(guī)定,;”。,徊目,二掣。,【。, ,”型學(xué),其中,表示在?上的極點(diǎn)之個(gè)數(shù),且重級極點(diǎn)按重?cái)?shù)計(jì)算;,表示在川上的不同極點(diǎn)之個(gè)數(shù);,表示在原點(diǎn)處極點(diǎn)的童數(shù)當(dāng)/。時(shí),.,;當(dāng)。時(shí),瓦,理論概要,和一,分別稱為的極點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù)與精簡計(jì)數(shù)函數(shù);丁,

11、稱為,的特征函數(shù),簡稱的特征函教定理.第一基本定理設(shè)于內(nèi)亞純?nèi)魹槿我挥懈F復(fù)數(shù),而且則對于有.丁,。,。,其中為/一在原點(diǎn)的展開式按井冪排列中第一個(gè)非零系數(shù),而且有., 通常我們將 簡寫為丁一擊丁,定義.設(shè),為亞純函數(shù),則忙,翌掣警唑警?。兒曠?。型籌叢稱為,的超級。為 上連續(xù)、非減函數(shù)定理.引理設(shè).則至多除去的一個(gè)集合后恒有赤,且的線性測度不超過.關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題定理.對數(shù)導(dǎo)數(shù)引理設(shè)為非常數(shù)亞純函數(shù),且及。則對于有, ,了。礦,。擊。,廁注:當(dāng)或時(shí),適當(dāng)變更一下 .右端的最后兩個(gè)常數(shù)項(xiàng)及其余各項(xiàng)系數(shù)后結(jié)論仍成立.定理.第二基本定理設(shè),。為非常數(shù)亞純函數(shù),? ,為口芝個(gè)己中的判

12、別元素,則沁弦,善去卜十酬門,由.,一,擊,手萋,南。和定理. ,關(guān)于第二基本定理中的余項(xiàng),根據(jù)定理我們有如下估計(jì)。確定理.設(shè)為非常數(shù)亞純函數(shù),有定理.中的.定,則當(dāng)為有窮級時(shí)有,當(dāng)?shù)募墳闊o窮時(shí)有,÷,掣其中是一線性測度為有窮的集合“,理論概要確定中的推論.設(shè)為非常數(shù)亞純函數(shù),有定理則當(dāng)為有窮級時(shí)有,當(dāng)?shù)募墳闊o窮時(shí)有,÷,仁, .其中是一線性測度為有窮的集合.對于非常數(shù)亞純函數(shù),一般我們用,表示滿足,丁,÷,彰的量,是一線性測度為有窮的集合,但每一次出現(xiàn)不一定完全相同。通過對定理中項(xiàng)估計(jì),我們有第二基本定理如下常用形式。定理.設(shè),為非常數(shù)亞純函數(shù),?一,為個(gè)中的判

13、別元素,則, ,四丁,喜礬,擊一,“其中,/表示對應(yīng),的零點(diǎn)但不是,一嗎, ,的零點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù)。定義.設(shè)為非常數(shù)亞純函數(shù),為亞純函數(shù)當(dāng)。時(shí).在該定義中約定,若,。,則稱。為,的小函數(shù)或慢增長函數(shù).四曾提出能否將第二基本定理定理.中的常數(shù)。 .,。,換為的小函數(shù),?一,的問題對于這一問題在僅考慮三個(gè)小函數(shù)的情況下,證明了如下定理。定理.三密度不等式設(shè)為非常數(shù)亞純函數(shù),關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題其中有一個(gè)可恒等于為的三個(gè)判別小函數(shù),則¨,丁小善磯,麗與,對于上述提出的一般問題,圻泰教授曾進(jìn)行了研究,并在整函數(shù)的情況下給出了涉及小函數(shù)的第二基本定理,問題已獲解決。直到年,對亞純函數(shù)

14、的研究才有本質(zhì)進(jìn)展,與,及等人都發(fā)表了相關(guān)的研究論文,其中的結(jié)果是二十世紀(jì)年最重大的成果之一,他證明了如下結(jié)果。定理.【】定理設(shè),為非常數(shù)亞純函數(shù),嗎,一,為,的叮個(gè)判別的小函數(shù),為任意給定的正數(shù),則丁,、擊,丁,宴呻、擊?小,其中曼,。十。.,與及,有關(guān)且,李玉華【】去掉了定理,中的,從而涉及帶非精簡密指量的問題己完全解決了,對于帶精簡密指量的第二基本定理能否推廣到小函數(shù)情形仍是尚未解決的問題。定義.設(shè),。為非常數(shù)亞純函數(shù),定義,粵翼黼,七肛粵磐鬻顯然我們有,.如果,我們稱。為,的虧值,而,稱為。關(guān)于,的虧量。定理.虧量關(guān)系設(shè),為非常數(shù)亞純函數(shù),則,的虧值至多有可理論概要數(shù)個(gè),且相應(yīng)這些虧值

15、的虧量總和滿足 ,。,§.亞純函數(shù)唯一性理論中的基本概念和定理理論在亞純函數(shù)的唯一性理論方面有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將給出亞純函數(shù)唯一性理論中的常用記號,并敘述一些基本概念、結(jié)果及相關(guān)問題。定義.設(shè)與均為非常數(shù)亞純,可等于為任意復(fù)數(shù),如果一與一有相同的零點(diǎn)不計(jì)重?cái)?shù),則稱與。以為公共值;如果,與。的零點(diǎn)相同,且零點(diǎn)的重?cái)?shù)亦相同,則稱,。與以為公共值當(dāng)時(shí),一與一的零點(diǎn)理解為,與的極點(diǎn)。定義.設(shè)與為非常數(shù)亞純函數(shù),為四個(gè)有窮復(fù)數(shù)若,竺型。一,。一。?”?！?則稱是的分式線性變換亦稱變換應(yīng)用他所建立的兩個(gè)基本定理,得到了涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性方面的如下四個(gè)著名定理:定理.公共值定理設(shè)與為

16、非常數(shù)亞純函數(shù),為五個(gè)判別的復(fù)數(shù)其中之一可為無窮大。如果,與以,為公共值,則 。定理.公共值定理如果兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)與以四個(gè)判別的復(fù)數(shù),為公共值,則,是的分式線性變換。關(guān)于¨一純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題定理.?公共值定理 設(shè)與為非常數(shù)亞純函數(shù),為四個(gè)判別的復(fù)數(shù)其中之一可為無窮大。如,與以,.,為公共值,則有如下結(jié)論成立:,一,/一,十,對任意復(fù)數(shù)%,/?丁,定理.不存在個(gè)判別的非常數(shù)亞純函數(shù)具有個(gè)公共值§.關(guān)于亞純函數(shù)的幾個(gè)唯一性問題一性的幾個(gè)經(jīng)典結(jié)果,這些理論結(jié)果標(biāo)志著涉及公共值的亞純函數(shù)唯一性理論研究的開始,但在隨后二十多年里,這方面的研究處于相對停滯狀態(tài),直到二十

17、世紀(jì)五十年代末才有一些研究結(jié)果出現(xiàn),中國著名數(shù)學(xué)家熊慶來“、楊樂口都得到了內(nèi)容深刻的結(jié)果。后來,又引進(jìn)了函數(shù)公共值集的概念,為亞純函數(shù)唯一性理論方面的研究與發(fā)展注入了新的活力。從此以后,涉及函數(shù)公共值與公共值集的亞純函數(shù)唯一性理的研究日趨活躍,并提出了許多研究問題。本節(jié)主要介紹幾個(gè)與本文研究有關(guān)的幾個(gè)問題。定義.設(shè)為非常數(shù)亞純函數(shù),為一中的一非空子集。定義,重級零點(diǎn)按重?cái)?shù)計(jì)算,重級零點(diǎn)僅計(jì)一次西定義.設(shè)與為非常數(shù)亞純函數(shù),為中的一非空子集。如果,島,則稱與以為公共值集;如果百,:,則稱與以為公共值集。理論概要公共值;如果雷,一,則,與必以為公共值。問題一問題是否存在兩個(gè)非空集合,和,使得對任何

18、兩個(gè)整函數(shù),和,使得如果巧馬島馬,必有,三。,.嚀題二問題“剛設(shè),為非常數(shù)亞純函數(shù),和幾為兩不同時(shí)為奇數(shù)或偶數(shù)的正整數(shù),如果,和,以】為叁共值。囊否必硐,三,。, ,問,三猜想吲設(shè).廠為非常數(shù)整函數(shù),其超級為有限且不為正整數(shù),如果,與,以為公共值,則必有,?了其中為非零常數(shù)。問題四問題【是否存在一個(gè)正整教啊使得對任何兩個(gè)亞純與,?,見以和為公共值,則,和,為常數(shù)、,“”,?！?。,口為常數(shù).,。一。,為常數(shù),”,。/?。,/一。一,為常數(shù),是非常數(shù)整函數(shù)。關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題本章我們將研究函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù),五具有一個(gè)非零公共值時(shí)的唯一性問題,給出了一類線性微分方程解的增長性質(zhì),對有限

19、級整函數(shù)證明了.】猜想及其推廣形式。§.線性微分方程解的增長性質(zhì)設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),%是正整數(shù),為非零常數(shù)如果與,以為公共值,則有因子分解定理可知掣型;。咐?其中是整函數(shù)記/一,則滿足下列線性微分方程:一口:上述論證說明,研究函數(shù),與其導(dǎo)函數(shù),%具有一個(gè)有窮非零公共值時(shí)的唯一性問題與研究一類線性微分方程的解有著密切關(guān)系。關(guān)于復(fù)微分方程振蕩理論及解的增長性質(zhì),是國際上較為活躍的研究課題,國內(nèi)外有許多數(shù)學(xué)家如何育贊【】,高仕安,.,. 等都曾從事該理論的作,其結(jié)果本身也有一定意義。引理.【“】設(shè)是非常數(shù)亞純函數(shù),其級為有窮,再設(shè)是一給定正,使得如果譏【,一,則存在一常數(shù)妒,對所有滿足?島

20、的。,有梨外“?:西上無界。理.【設(shè)是非常數(shù)整函數(shù),并且在射線則存在一無窮點(diǎn)列。÷。,使得當(dāng)如÷。時(shí),。且最近,我們改進(jìn)了上述引理. ,證明了引理.設(shè)是非常數(shù)整函數(shù),并且在射線 咖上無界。則存在一無窮點(diǎn)列。÷。,使得當(dāng)?。時(shí)。?且端協(xié)。證明:設(shè),¨,西: , 曲,由于。在射線妒上無界。則存在一無窮點(diǎn)列。÷。,使得當(dāng)。÷時(shí),÷且。,刖,咖,磊由?。:一十/“,可得/%/.再由¨:?！眳f(xié)吣, 皿曲,上,厶,如關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題通過次上面的方法,我們不難推得。 。 。“從而當(dāng):。時(shí)黼七?結(jié)論得證。年,我們

21、利用引理 和引理 證明了如下定理。則微分方程定理.七設(shè)是非常數(shù)多項(xiàng)武的任何解必為整函數(shù),其級為無窮。年,我們又進(jìn)一步證明了定理.【設(shè)是非常數(shù)多項(xiàng)武為正整數(shù)則微分方程一。的任何解必為無窮級整函數(shù)。證明:不難看出,方程的任何解均為整函數(shù),我們用反證法給出定理的證明。假設(shè)定理.不成立,并設(shè)是方程.整函數(shù)的解,其級為有窮。由方程 .可得譬五:曇設(shè)為一給定正數(shù),則由引理,則存在一線性測度為零的數(shù)集,使得如果】,一,則存在一常數(shù)風(fēng)妒,對所有滿足。妒的,有¨刪.眨¨,錯(cuò)關(guān)于 猜想的研究現(xiàn)在我們假設(shè)【,一是任何滿足對任意有、. 生竺箬÷。,。一的實(shí)數(shù)。則由 .,. 和 .,當(dāng)&#

22、247;.坩÷再設(shè)咖,是任何滿足對任意盧有口?！?÷。. 的實(shí)數(shù)。我們證明。在射線上是有界的。假若不然,即。在射線西上是無界的,則有理,存在一無窮點(diǎn)列÷,使得當(dāng)時(shí),。÷且¨黠協(xié)由于怕。:。,從.和. 可得。÷于是從 ., 以及不難推出:,。÷,此與÷。相矛盾此矛盾說髓,必在射線?？嫌薪?利用積分恒等式怕一/。叫訓(xùn),容易得到?。拈一對所有滿足:西的。成立,其中擊是某一常數(shù)。采用類似的方法,由 .并多次利用積分公式%,。一一。,便推得當(dāng) 時(shí)。.關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題對所有滿足 咖的:成立.其中是一%次多項(xiàng)

23、式。我已經(jīng)證明:式對任何具有性質(zhì) 的,成立,.武對任何具有性質(zhì).的,一成立。由于是一非常數(shù)多項(xiàng)式,從而.中使】武或 武不成立的實(shí)數(shù)至多僅有有限多個(gè);再注意到是一線性測度為零的集合,于是除去和【,中某一零測度集合外, 中之一成立。因?yàn)闉橛懈F級整函數(shù),根據(jù)?定理, .及定理,必為一次數(shù)不超過的多項(xiàng)武此與式中。是一;常數(shù)多項(xiàng)式矛盾。定理】得證。§關(guān)于亞純函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù),具有或公共值時(shí)的唯一性問題,國際上已有很多研究工怍,但其結(jié)果幾乎全是在兩個(gè)或兩個(gè)以上公共值的條件下獲得的。至于函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)分擔(dān)一個(gè)公共值的情況,年提出了如下猜想。猜想吲設(shè)是非常數(shù)整函數(shù),其超級爐?.塑籌她為有窮且不為正整數(shù)

24、。如果與以有窮復(fù)數(shù)為公共值,則,瓠,其中為非零常教。用另法證明。從微分方程等”及等叫:關(guān)于 猜想的研究的解我們看出、當(dāng),的超級為正整數(shù)或無窮時(shí),猜想不再成立。設(shè)式并不。/。,則與,以為公共值,但成立。此例表明猜想對亞純函數(shù)亦不成立。年,對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)較少的整函數(shù)證實(shí)其猜想,獲得了如下定理。定理.設(shè),是非常數(shù)整函數(shù)。如果,與,以為公共值,且滿足 ,則?巴了二其中為非零常數(shù)。年,張慶彩改進(jìn)了定理 ,證明了如下定理。定理.四設(shè),是非常亞純函數(shù)。如果,與,以為/如果對某一實(shí)數(shù)./.有.,。,則了一其中為非零常數(shù)。年,作者對有窮級整函數(shù)證明了猜想,獲得了如下定理。定理.【”設(shè),是非常數(shù)整函數(shù)其級為有窮

25、。如果,與,以有窮復(fù)數(shù)。為公共值,則?:.一其中為非零常數(shù)。證明:我們僅證明的情況,當(dāng)?shù)那闆r包含在下面定理.的證明中。由于,與,以為公共值,于是,和,均是無零點(diǎn)的整函關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題數(shù),且其級為有窮。從而,其中是非常數(shù)多項(xiàng)武再由無零點(diǎn)得證。可知,;常數(shù),于是三定理最近,作者推廣了定理. ,證明了如下定理。定理.【設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮。如果與,以有窮復(fù)數(shù)為公共值,則,一百刮其中為非零常數(shù),%是正整數(shù)。證明:因?yàn)槭怯懈F級整函數(shù),如果,與,以。為公共值,則由因子分解定理可得。、?。粵彰五,?其中是多項(xiàng)式。記,/一,則滿足下列線性微分方程:一。.可知是無窮級整函數(shù),此與如果

26、。不為常數(shù),則從. 式及定理.成立。定理是有窮級整函數(shù)矛盾。于是必為常數(shù)。由. 武知定理得證。對有窮級整函數(shù)的情況,利用定理可以改進(jìn)先前的有關(guān)函數(shù)唯一性許多研究工作。以下定理是定理的推論.定理.設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是正整數(shù)。如果與,%以有窮復(fù)數(shù)為公共值,且存在一點(diǎn)如使得/,詢.則三,¨定理.設(shè),是非常數(shù)有窮級整函數(shù),%是正整數(shù),和是兩個(gè)判別的有窮復(fù)數(shù)。如果,與,以。為公共值,以為公共值,則關(guān)于 猜想的研究三,定理.設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是正整數(shù)。如果,與以有窮復(fù)數(shù)為公共值,且存在一點(diǎn)韌使得,如,十翔則,三.定理.設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是正整數(shù)。如果與,

27、以有窮復(fù)數(shù)為公共值,且存在一點(diǎn)使得,恤動(dòng),則,三,?。關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題第三章關(guān)于?問題及其相關(guān)研究理以來,已有很多有關(guān)具有公共值的亞純函數(shù)唯一性的研究成果;特別在近三十年來,該課題的研究一直是許多科學(xué)家感興趣的研究對象,其中關(guān)于亞純函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)具有公共值時(shí)的唯一性問題研究也越來越多。年,證明了如果整函數(shù)與其導(dǎo)數(shù), 分擔(dān)兩個(gè)判別的有窮非零復(fù)數(shù),則/三,.年,和】推廣了?的工作到,與其導(dǎo)數(shù),分擔(dān)兩個(gè)判別的有窮非零復(fù)數(shù)。年,和考慮了亞純函數(shù)的情況并證明了如果,與其%階導(dǎo)數(shù),怕分擔(dān)三個(gè)判別的復(fù)數(shù),則,三,.以上結(jié)果是在函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)具有多個(gè)公共值的條件下獲得的。本章主要在函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)

28、僅有一個(gè)公共值的條件下研究唯一性問題,回答了提出的問題。§.關(guān)于?問題年,和研究了函數(shù)與其兩個(gè)導(dǎo)數(shù)具有一個(gè)公共值時(shí)的唯一性問題,證明了如下定理。定理.】設(shè),是非常數(shù)整函數(shù) 是有窮復(fù)數(shù)。如果,和,以為公共值,并且當(dāng)時(shí),” ,則三和,“定理.”設(shè),是非常數(shù)亞純函數(shù),是有窮復(fù)數(shù)。如果,以為公共值,則,三.年,鐘華梁推廣了定理 .證明了如下結(jié)果當(dāng)時(shí)即為定理的結(jié)果。定理.【設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),是有窮復(fù)數(shù),是正整數(shù)。如果,和,以為公共值,并且當(dāng)時(shí),“,“則三,?.年,儀洪勛和楊重駿教授提出了如下問題“設(shè),是非常數(shù)亞純函數(shù),是有窮復(fù)數(shù),與?問題【是兩個(gè)不同時(shí)為奇數(shù)或偶數(shù)的正整數(shù)。如果,和,以為公共

29、值。是否必有三,“年,作者在文獻(xiàn)中回答了?問題。設(shè)和是滿足的正整數(shù),又設(shè)是滿足?的常數(shù)。置扎, ,一則,?,及,“以為公共值,但是,?.此例說明對?問題的回答一般是否定的。如果我們要得到?問題的肯定回答,我們必須對函數(shù),或者對正整數(shù)札和附加適當(dāng)?shù)臈l件。注意到上述例子中的函數(shù),一?具有性質(zhì),我們獲得了如下定理。定理.設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),是有窮復(fù)數(shù),扎和是正整數(shù)。如果,?,和,”以為公共值,并且,則三,?.證明:假設(shè),“,?.記北,等掣則由條件可知西是整函數(shù),并且滿足,咖,.由于一,一一,一,此 一。條與 陣叭廠,從而,/, 相矛盾。于是必有,“三,通過積分我們可求得其中尸。是多項(xiàng)式。如果。,則?

30、三:三】、關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題,我們有于是,/,此又與條件,矛盾。因此三,”?很顯然,和,“以為公共值,利用和上面完全相同的方法得證。我們可以得到,?.定理.年,我們對有窮級整函數(shù)推廣了定理 .同時(shí)在的條件下,肯定回答了儀洪勛和楊重駿教授提出的問題。證明了如下結(jié)果。定理.【】設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是有窮復(fù)數(shù),是正整數(shù)。如果,、,“以為公共值,“和,以為公共值,則,三,.推論.設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),其級為有窮,是有窮復(fù)數(shù),是正整數(shù)。如果,“以及,凡以為公共值,則,蘭證明: 我們僅給出定理的證明,推論的證明是明顯的。由于,是有窮級整函數(shù),且 “和“以為公共值,利用已證明的猜想

31、定理.,我們有,“一,?一,其中為非零常數(shù)。根據(jù)定理的條件我們知道不可能是多項(xiàng)武。記蘭,?,則的解,從而我們可求得.。蘭,“,其中和為常數(shù)。對. 式求積分,我們又得七,這里是一次數(shù)不超過的多項(xiàng)式。于是從 .式一,“一“一.關(guān)于?問題及其相關(guān)研究注意到。,知道一。必有無窮多個(gè)零點(diǎn)。利用,?,以及,以為公共值,容易看出函數(shù) 一,一亦必有無窮多個(gè)零點(diǎn)。但從和 ,我們有一一,一“?這意味著“?三,從而必為一常數(shù)。記,則從式,。晏擴(kuò),從而和,“?！?,”。 .由于,?,以及,”以。為公共值,從 .和.式我們可推得.得證。及因此從便得,于是,定理注: 對有窮級整函數(shù)、定理.推廣了?的定理。如果把定理中的“

32、”換為“”,則容易推出,三,其中為常數(shù)。條件。為了定理證明的需要,我們首先給出幾個(gè)引理。引理.設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),是有窮非零復(fù)數(shù),凡為正整數(shù)。如果,”以及,“ 以為公共值,且下列條件之一成立:,“一“一?,”一,一,?,則,三,證明:有條件可知,必滿足下列線性微分方程,”。關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題的及引理其中,和是常數(shù)。從而,必為有窮級整函數(shù)、根據(jù)推論得證。條件便得,引理引理.設(shè)是非常數(shù)整函數(shù)為正整數(shù)。如果,”,?,且,“一,一,產(chǎn)“,一,這里。和口是非常數(shù)整函數(shù)則丁,。丁.盧,證明從引理的條件可知,“及,“以為公共值。記,一,?一,?,”一,?一,則和是整函數(shù)且丁,根據(jù).第二基本定

33、理,我們有日 卜 日十盯 吣/一擊印一司三鼽汪意到。/一及“,我化得到和,。, .,引理 .得證。引理.設(shè)和盧。是非常數(shù)整函數(shù),是正整數(shù)。如果是整函數(shù)并且滿足?:“¨一一:.關(guān)于、問題及其相關(guān)研究則一 十一.一日其中。”一&,是的次微分多項(xiàng)式。證明:由于“一:和”¨一盧對第一個(gè)方程求導(dǎo)并結(jié)合第二個(gè)方程,我們有:擴(kuò)記“.口一“一血?jiǎng)t且“七、一這說護(hù):理 對知成立。在我:;理結(jié)二寸成立,即下式成立,“,”十。一日一一?.”一十則求導(dǎo)礙“】“。一“一。一?！倍胧啡铡Ｒ慌f。一?由于的,次微分多項(xiàng)式易 的導(dǎo)數(shù)仍然是的,芝次微分多項(xiàng)式這里我們用巧表示的次微分多項(xiàng)式但每次出現(xiàn)未

34、必完全相同,我們有:“。”一。一一”日一?日“風(fēng)風(fēng)一上?“一日?關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,引理 得證。引理.【】設(shè):是非常數(shù)亞純函數(shù),是正整數(shù)。記?！耙?,其中和,一,是滿足,?,的亞純函數(shù)。則,.利用上述引理,我們可以證明如下定理。定理.腳設(shè),是非常數(shù)整函數(shù),是有窮非零復(fù)數(shù),為正整數(shù)。如果,/十以及,“以。為公共值,則/證明:不失一般性,我們假設(shè)以為公。.等卅和州,一坐,其中和口是整函數(shù)。如果,盧和盧中之一為常數(shù),則有引理.可推出三,此時(shí)定理成立?，F(xiàn)假設(shè)&.和一盧均不為常數(shù)。由 及引理. 可知,。丁,.,.我們有置一則從:.“一.關(guān)于問題及其相關(guān)研究根據(jù)引理 ,我們得到“”%一鞏十鞏.一】“其中。,一。一及塢是的次微分多項(xiàng)武。從及上述方程可得拈“些塑墜生字竺螋.如果。一。一“一日“一則從和 ,我們有丁,冬丁,十丁,丁,這是不可能的。如果。一一一蘭則從及馬和的定義可知三“?,?？谝??！笆谝?。“一口?！耙??, 其中., ?,是盧,。,及導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式。如果存在,。中一測度為無窮的值集,.使得丁,。,。,則從 ,我們有,。,.了,“,關(guān)于亞純函數(shù)唯一性理論中的幾個(gè)問題這是不可