均值不等式的應用教案2

1、均值不等式的應用教案 馬洪祥課標要求：掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，并會簡單應用教學目標：1使學生進一步掌握算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的相關知識，能利用均值定理解決相關問題；2通過對均值不等式的應用的研究，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想，提高學生運算能力和邏輯推理能力3在學習和解決問題的過程中，幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣，形成積極探索的態(tài)度，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度及良好的思維習慣， 形成積極探索的研究態(tài)度教學重點和難點：均值定理使用的條件既是教學重點又是教學的難點教學手段：計算機輔助教學教學方法；啟發(fā)式，談話式教學過程： 一、復習引入：均值不等式以及與之相關的不等式內(nèi)容均值定理及重要變形基本

2、形式其他形式若，則（當且僅當時取“=”）.若，則（當且僅當時取“=”）若，則（當且僅當時取“=”）若，則（當且僅當時取“=”）若，則（當且僅當時取“=”）若，則（當且僅當時取“=”）若，則（當且僅當時取“=”）指出：（1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”師：均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有著廣泛的應用師：均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍，證明不等式、解決實際應用問題方面有著廣泛的應用，下面舉例說明：二、應

3、用舉例：1、均值定理在求最值問題中的應用:例1.已知，求函數(shù)的最大值。解：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進行拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。例2. 當時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為8。點評：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。例3.若實數(shù)滿足，則的最小值是 .解： 都是正數(shù)，當且僅當時等

4、號成立，由及得即當時，的最小值是6點評：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值， 2均值定理在比較大小中的應用：例4若，則的大小關系是 .分析：（R>Q>P。3.均值定理在求變量取值范圍中的應用：例5若正數(shù)滿足，則的取值范圍是 .解： 因為是正數(shù)當且僅當即時等號成立。故的取值范圍是9，+）。點評：本題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關鍵是尋找到之間的關系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進而解得的范圍.三、課堂小結：1、二元均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”，和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的“

5、放縮功能”.2、創(chuàng)設應用均值不等式的條件，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號成立.3、注意均值定理成立的條件：“一正，二定，三取等”.設計說明：一 關于本課時教學內(nèi)容的地位與作用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理（簡稱不等式的平均值定理）及重要不等式是證明不等式、求某些函數(shù)的最大值、最小值的理論依據(jù)，它們在解決數(shù)學問題和實際問題中應用廣泛。二關于本課時教學目標的制定：鑒于本課時知識的特點和作用，我從以下三個方面制定了教學目標：1為使學生能準確掌握均值定理的內(nèi)容及不等式成立的條件，并能利用均值定理解決求最值、比較大小、求變量的取值范圍等問題，制定了教學目標1；2數(shù)

6、學教育的基本目標之一就是要提高學生的數(shù)學思維能力，學生在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷地經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、符號表示、運算求解、演繹證明等思維過程，這些過程對于提高學生的一般科學素養(yǎng)，形成和發(fā)展他們的數(shù)學品質(zhì)，必將起著十分重要的作用，因而制定了教學目標2；3為使學生養(yǎng)成求實、說理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習慣，在教學過程中，幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣，形成積極探索的態(tài)度，勤奮好學、勇于克服困難和不斷進取的學風，制定教學目標3。三關于教學重點和難點說明：應用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理求最大、最小值是教學重點；數(shù)學知識的靈活運用是本節(jié)的教學難點?！皩⒌湫蛦栴}分類”的教學結構的設計、“教師適

7、時引導和學生自主探究相結合”的教學方式以及多媒體課件的合理使用的選擇，保證了重點內(nèi)容的突出。“對知識進行適當?shù)匿亯|，由簡單到復雜”的教學過程的設計、教學方式的選擇使得難點得以突破。四 關于教學方式及教學手段的選擇：按照新課程標準的要求，教師要努力為學生形成積極主動的、多樣的學習方式創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣。據(jù)此制定了以創(chuàng)設問題情景為平臺，學生思維訓練為主線，師生、生生互動為形式的啟發(fā)探索的教學方式。在整個教學過程中，教師的身份始終是啟發(fā)者、鼓勵者和指導者。即要有對正確認識的贊賞，又要有對錯誤見解的包容及對學生的鼓勵，教師在教學

8、過程中要對學生的見解延遲判斷，甚至完全交給學生評判。力求通過學生的自主學習、探究活動，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。本節(jié)課采用“傳統(tǒng)板書與Powerpoint演示相結合”的教學手段。教學中合理使用計算機輔助教學：利用PowerPoint制作幻燈片，增大課堂容量，提高課堂效率；分析與解析過程教師用粉筆板書，符合學生的認知規(guī)律 ，體現(xiàn)學生的整個思維過程，有利于知識的掌握與思維能力的提高。五 關于教學過程的設計為了達到上述教學目標，強化重點內(nèi)容并突破教學中的難點，在課堂教學過程中，我首先引導學生復習兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理及其變形形式，強調(diào)定理的條件和利用定理求最值時應

9、注意的問題，然后按照均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍三方面的應用舉例說明。在解決問題的過程當中，我讓學生自主探求，互相交流，充分調(diào)動學生的積極性，同時教師參與討論，并適當加以引導，幫助學生激活先前知識或經(jīng)驗，探尋問題的解決辦法，讓學生在自主學習、探究學習和互助交流的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力。最后，我讓學生自主小結本節(jié)課的知我讓學生通過自主研究，互相交流，教師參與討論，并適當加以引導，幫助學生激活先前知識或經(jīng)驗，探尋問題本質(zhì)。最后，我引導學生自主小結本節(jié)課的知識內(nèi)容，這樣設計小結使學生通過反思，深化知識理解，領悟思想方法，完善認知結構。教學反思：本節(jié)均值不等式的應用課是高考一輪復習課

10、，通過教學大多數(shù)學生熟練掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，能夠利用定理解決求最值、比較大小、求取值范圍等相關問題。在本節(jié)課的教學過程中，我感到比較成功之處有兩個：1在課堂上，每一個學生都是課堂的主人，課程的推進以學生的自我探究為主，教師密切關注學生的思維動向，適時伸出援手，進行指導和幫助，這樣自然而然地使教學內(nèi)容深入下去、進行下去。通過師生的共同探討，得到相應的結論，這些結論是一種過程體驗的成果，是師生共同努力與探究的結果，是師生情感共歷的結晶。2我相信大多數(shù)學生都蘊藏著巨大的數(shù)學學習的熱情和積極性（因為數(shù)學本身具有結著無窮的魅力），在課堂上，我努力創(chuàng)設師生互動、生生互動的課堂氛圍，讓學生愛上數(shù)學課，愛學數(shù)學。我甘心做好教學活動中的引導者，給學生留出發(fā)展的空間、自主的天地，