九年級(jí)數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)1

1、=30O40米米1.7米米EDCAB情景引入情景引入 為了測(cè)量一座古塔的高，在塔前方為了測(cè)量一座古塔的高，在塔前方40m40m處，處，用測(cè)角器測(cè)得塔的仰角為用測(cè)角器測(cè)得塔的仰角為30300 0，測(cè)角器高，測(cè)角器高1.7m1.7m，求此塔的高；求此塔的高；=50O19米米1.7米米EDCAB情景引入情景引入 為了測(cè)量一座古塔的高，在塔前方為了測(cè)量一座古塔的高，在塔前方19m19m處，處，用測(cè)角器測(cè)得塔的仰角為用測(cè)角器測(cè)得塔的仰角為50500 0，測(cè)角器高，測(cè)角器高1.7m1.7m，求此塔的高；求此塔的高；小紅出發(fā)地小紅出發(fā)地小強(qiáng)出發(fā)地小強(qiáng)出發(fā)地情景引入情景引入 A30B C45 D西坡西坡東坡東

2、坡小紅小紅小強(qiáng)小強(qiáng)小紅在上山過(guò)程中，下列那些量是變量和常量小紅在上山過(guò)程中，下列那些量是變量和常量( (坡角，坡角，上升高度，所走路程上升高度，所走路程) )？自主探索自主探索她在斜坡上任意位置時(shí)，上升的高度和所走路程的她在斜坡上任意位置時(shí)，上升的高度和所走路程的比值變化嗎？比值變化嗎？小強(qiáng)呢小強(qiáng)呢? ?當(dāng)銳角為當(dāng)銳角為5050時(shí)，這個(gè)比值時(shí)，這個(gè)比值還是一個(gè)確定的值嗎？還是一個(gè)確定的值嗎？西坡西坡 A30B CHD45B C D東坡東坡EF東坡東坡B C D50HG當(dāng)銳角為當(dāng)銳角為3030時(shí)，上升高度時(shí)，上升高度與所走路程的比值是與所走路程的比值是 21當(dāng)銳角為當(dāng)銳角為4545時(shí)，上升高度時(shí)

3、，上升高度與所走路程的比值是與所走路程的比值是 22動(dòng)手實(shí)驗(yàn)動(dòng)手實(shí)驗(yàn) 已知一個(gè)已知一個(gè)5050o o的的MAN,MAN,在邊在邊AMAM上上任意任意取一點(diǎn)取一點(diǎn)B B，作，作BCABCAN N于點(diǎn)于點(diǎn)C.C.用刻度尺先量出用刻度尺先量出BCBC, ,ABAB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度( (精確到毫精確到毫米米),),再計(jì)算再計(jì)算 的值的值( (結(jié)果保留結(jié)果保留2 2個(gè)有效數(shù)字個(gè)有效數(shù)字),),并將所得并將所得的結(jié)果與你同伴所得的結(jié)果作比較的結(jié)果與你同伴所得的結(jié)果作比較. .你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么？BCABAMN50O發(fā)現(xiàn)規(guī)律發(fā)現(xiàn)規(guī)律對(duì)于每一個(gè)確定的銳角對(duì)于每一個(gè)確定的銳角，在角的邊上任意取，在角的邊上任意

4、取一點(diǎn)一點(diǎn)B作作BCAC于點(diǎn)于點(diǎn)C，比值是一個(gè)確，比值是一個(gè)確定的值定的值BCAB AB C比值只隨著銳角的變化而變化比值只隨著銳角的變化而變化 與點(diǎn)與點(diǎn)B B在角的邊上的位置無(wú)關(guān)在角的邊上的位置無(wú)關(guān). . 那么，比值那么，比值 呢？呢？ACBCABAC, 一般地，對(duì)于每一個(gè)確定的銳角一般地，對(duì)于每一個(gè)確定的銳角，在角的，在角的一邊上任取一點(diǎn)，作一邊上任取一點(diǎn)，作于點(diǎn)，則比于點(diǎn)，則比值值 都是一個(gè)都是一個(gè)確定的值確定的值，與點(diǎn)，與點(diǎn)B在角的邊在角的邊上的位置無(wú)關(guān)，因此，比值上的位置無(wú)關(guān)，因此，比值 都是銳角都是銳角的的三角函數(shù)三角函數(shù)。ACBCABACABBC,ACBCABACABBC,ACB

5、三角函數(shù)的由來(lái)三角函數(shù)的由來(lái)“三角學(xué)三角學(xué)”一詞，是由希臘文一詞，是由希臘文三角形三角形與與測(cè)量測(cè)量二字構(gòu)成的，二字構(gòu)成的，原意是原意是三角形的測(cè)量三角形的測(cè)量，也就是解三角形后來(lái)范圍逐漸，也就是解三角形后來(lái)范圍逐漸擴(kuò)大，成為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支擴(kuò)大，成為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支 三角測(cè)量在我國(guó)出現(xiàn)的很早據(jù)記載，早在公元前三角測(cè)量在我國(guó)出現(xiàn)的很早據(jù)記載，早在公元前兩千年，大禹就利用三角形的邊角關(guān)系，來(lái)進(jìn)行對(duì)山川兩千年，大禹就利用三角形的邊角關(guān)系，來(lái)進(jìn)行對(duì)山川地勢(shì)的測(cè)量地勢(shì)的測(cè)量比值比值 叫做叫做的的正弦正弦(sine)，記做，記做sinsin. .BCABACAB 比值

6、比值 叫做叫做的的余弦余弦(cosine) ，記做，記做coscos. .即即coscos= =ACAB比值比值 叫做叫做的的正切正切(tangent) ，記做，記做tantan. .BCAC即即tantan= =BCAC感悟定義感悟定義BCAB即即sinsin= =注意：注意：1 1、在三角函數(shù)的表示中，用希臘字母或單獨(dú)一個(gè)大寫在三角函數(shù)的表示中，用希臘字母或單獨(dú)一個(gè)大寫英文字母表示的角前面的英文字母表示的角前面的“”一般省略不寫一般省略不寫2 2、sinsin、 coscos、 tantan是一個(gè)是一個(gè)完整的符號(hào)，單完整的符號(hào)，單獨(dú)的獨(dú)的“sin”sin”沒有意義沒有意義. .銳角銳角的正

7、弦，余弦和統(tǒng)稱的正弦，余弦和統(tǒng)稱的三角函數(shù)的三角函數(shù)（trigonmetrictrigonmetric function function）如果如果AA是是RtRtABCABC的一個(gè)銳角（如圖），則有的一個(gè)銳角（如圖），則有sinAsinA= = 斜邊的對(duì)邊AcosAcosA= = tanAtanA= = 斜邊的鄰邊A的鄰邊的對(duì)邊AA 你能求出你能求出sinAsinA與與cosAcosA的取值范圍嗎？的取值范圍嗎？0sinA0sinA11，0cosA0cosA1.1.那么那么BB呢？呢？已知直角三角形中的兩邊或兩邊之比，已知直角三角形中的兩邊或兩邊之比，就能求出銳角三角函數(shù)值就能求出銳角三角函

8、數(shù)值解后語(yǔ)：解后語(yǔ)：1.如圖如圖ABCABC中，中，C=90C=90,BC=5,AC=12.,BC=5,AC=12.判斷：（判斷：（1 1）sinAsinA= = （ ） （2 2）tanBtanB= = （ ）A AB BC C1351252.如圖如圖,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90. . 若若BC=8,AB=17,BC=8,AB=17,求求sinA, cosA,tanAsinA, cosA,tanA的值的值; ; 若若BCBCAB=5AB=517 ,17 ,求求sinA, cosA,tanAsinA, cosA,tanA的值的值; ; 若若sinAsinA= , = ,

9、求求sinBsinB的值的值. . AB C175用一用用一用3 3、如圖，在、如圖，在RtRtABCABC中，中，C=RtC=Rt,若若AB=5AB=5，BC=3.BC=3.(2)(2)請(qǐng)求出請(qǐng)求出B B的正弦、余弦和正切的值的正弦、余弦和正切的值. .(1)(1)求求A A的正弦、余弦和正切的值；的正弦、余弦和正切的值；C CA AB B3(3)(3)觀察觀察(1)(2)(1)(2)中的計(jì)算結(jié)果中的計(jì)算結(jié)果, ,你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么? ?BC3BC3sinA =,sinA =,AB5AB5AC4AC4cosA =,cosA =,AB5AB5BC3BC3tanA =.tanA =.AC4

10、AC4AC4AC4sinB =,sinB =,AB5AB5BC3BC3cosB =,cosB =,AB5AB5AC4AC4tanB =.tanB =.BC3BC3當(dāng)當(dāng)A+B=90A+B=90時(shí)時(shí), ,sinA=cosBsinA=cosB, ,cosA=sinBcosA=sinB, ,tanAtanAtanBtanB=1.=1.用一用用一用4 4、在如圖所示的格點(diǎn)圖中，請(qǐng)求出銳角在如圖所示的格點(diǎn)圖中，請(qǐng)求出銳角的三角的三角函數(shù)值函數(shù)值; ; 以射線以射線ABAB為始邊任意作銳為始邊任意作銳角角DABDAB，并求出它的正切，并求出它的正切值；請(qǐng)組內(nèi)比較，誰(shuí)畫出的值；請(qǐng)組內(nèi)比較，誰(shuí)畫出的銳角的正切值

11、最大？銳角的正切值最大？B BC CA A如圖，請(qǐng)你以射線如圖，請(qǐng)你以射線ABAB為始邊作銳角為始邊作銳角CABCAB，使它的，使它的正切值為正切值為 ; ;43用一用用一用4 45 53 35 53 34 45、如圖，在、如圖，在ABC中，若中，若AB=5，BC=3，則下列結(jié)論正，則下列結(jié)論正確的是（確的是（ ）A AsinAsinA= = B BsinsinA A= = C CsinsinA A= = D. D.以上結(jié)論都不正確以上結(jié)論都不正確C CA AB B3D D6 6、如圖，在、如圖，在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，作，作CDABCDAB于于D D，若若BD

12、=2BD=2，BC=3BC=3則則sinAsinA= = 3 3D DB BC CA A2 22 23 37.7.如圖如圖, ,在在RtRtABCABC中中, ,銳角銳角A A的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大大100100倍倍,sinA,sinA的值（的值（ ）A.A.擴(kuò)大擴(kuò)大100100倍倍 B.B.縮小縮小100100倍倍 C.C.不變不變 D.D.不能確定不能確定8.8.已知已知A,BA,B為銳角為銳角(1)(1)若若A=A=B,B,則則sinAsinA sinBsinB; ;(2)(2)若若sinsinA=sinBA=sinB, ,則則AA BB. .ABCC C= = =200

13、ACB例例1 1、如圖、如圖: :在在RtRtABCABC中中,B=90,B=900 0, AC=200, , AC=200, sinAsinA=0.6.=0.6.求求BCBC的長(zhǎng)的長(zhǎng). .解：解： B=90B=900 0 sinAsinA= =0.6= =0.6ACBCBC=0.6AC=120BC=0.6AC=120例例2 2、在、在RtRtABCABC中，中，CC為為RtRt ，求證：求證：sinsinA+cosA+cos2 2A=1A=1ABC證明：證明：C=RtC=RtACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2sinAsinA= = ，cosAcosA= =ABBCABAC22

14、22)()(cossinABACABBCAA1222ABACBCw提示提示: :過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A作作ADAD垂直于垂直于BCBC于于D.D.556ABCD練一練練一練1.1.如圖如圖: :在等腰在等腰ABCABC中中,AB=AC=5,BC=6.,AB=AC=5,BC=6.求求: : sinB,cosB,tanBsinB,cosB,tanB. .2 2、如圖、如圖, C=90, C=90CDAB.CDAB.求求sinBsinB；3 3、在上圖中、在上圖中, ,若若BD=6,CD=12.BD=6,CD=12.求求cosAcosA的值的值. .ACBD練一練練一練談?wù)劷裉斓氖斋@談?wù)劷裉斓氖斋@ AB C

15、AA的的對(duì)邊對(duì)邊AA的的鄰邊鄰邊AA的的對(duì)邊對(duì)邊AA的的鄰邊鄰邊tanAcosAAA的鄰邊的鄰邊AA的對(duì)邊的對(duì)邊斜邊斜邊sinA斜邊斜邊斜邊斜邊回味無(wú)窮回味無(wú)窮 定義定義中應(yīng)該注意的幾個(gè)問(wèn)題中應(yīng)該注意的幾個(gè)問(wèn)題: :1.sinA,cosA,tanA, 1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定義的是在直角三角形中定義的, A, A是是銳角銳角( (注意數(shù)形結(jié)合注意數(shù)形結(jié)合, ,構(gòu)造直角三角形構(gòu)造直角三角形).).2.sinA,cosA,tanA, 2.sinA,cosA,tanA, 是一個(gè)完整的符號(hào)是一個(gè)完整的符號(hào), ,表示表示AA的三角函數(shù)的三角函數(shù), ,習(xí)慣省去習(xí)慣省去“”號(hào)；

16、號(hào)；3.sinA,cosA,tanA, 3.sinA,cosA,tanA, 是一個(gè)比值是一個(gè)比值. .注意比的順序注意比的順序, ,且且sinA,cosA,tanAsinA,cosA,tanA, , 均均0,0,無(wú)單位無(wú)單位. .4.sinA,cosA,tanA, 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只與的大小只與AA的大小有關(guān)的大小有關(guān), ,而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān). .5.5.角相等角相等, ,則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等相等, ,則這兩個(gè)銳角相等則這兩個(gè)銳角相等. .540 x xy y163243B5211 1、在平面坐標(biāo)系第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)、在平面坐標(biāo)系第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P P，使得，使得OP=4, OP=4, sinPOBsinPOB0.50.5求點(diǎn)求點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,并求出并求出OPOP所在直線的解所在直線的解析式析式. .思考：思考：OPOP所在直線的解析式的比例系數(shù)所在直線的解析式的比例系數(shù)K K與與POBPOB有有什么關(guān)系呢什么關(guān)系呢? ?拓展探索：拓展探索：拓展探索：拓展探索：2 2、如圖