傳染病傳播地?cái)?shù)學(xué)模型

1、WORD格式傳 染 病傳播的數(shù)學(xué)模型很多醫(yī)學(xué)工作者試圖從醫(yī)學(xué)的不同角度來(lái)解釋傳染病傳播時(shí)的一種現(xiàn)象，這種現(xiàn)象就是在某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí)，每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)。 結(jié)果都不能令人滿意， 后來(lái)由于數(shù)學(xué)工作者的參與， 用建立數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)展模擬和論證， 得到了較滿意的解答。一種疾病的傳播過(guò)程是一種非常復(fù)雜的過(guò)程，它受很多社會(huì)因素的制約和影響，如傳染病人的多少，易受傳染者的多少，傳染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，還有人員的遷入和遷出，潛伏期的長(zhǎng)短，預(yù)防疾病的宣傳以及人的個(gè)體差異等。如何建立一個(gè)與實(shí)際比較吻合的數(shù)學(xué)模型， 開場(chǎng)顯然不能將所有因素都考慮進(jìn)去。為此，必

2、須從諸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把問(wèn)題簡(jiǎn)化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。將所得結(jié)果與實(shí)際比較，找出問(wèn)題，修改原有假設(shè)，再建立一個(gè)與實(shí)際比較吻合的模型。 從而使模型逐步完善。下面是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的建模過(guò)程，很有代表性，讀者應(yīng)從中體會(huì)這一建模過(guò)程的方法和思路。一.最簡(jiǎn)單的模型假設(shè)： (1) 每個(gè)病人在單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù) k；(2) 一個(gè)人得病后經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。以 i(t) 表示 t 時(shí)刻的病人數(shù)，k0表示每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)，i(0)=i0表示最初時(shí)有i0個(gè)傳染病人，那么在t 時(shí)間內(nèi)增加的病人數(shù)為專業(yè)資料整理WORD格式i tti tk0itt兩邊除以t ，

3、并令t 0得微分方程ditk0 i tdt,2.1i 0i0其解為iti0ek0t這說(shuō)明傳染病的轉(zhuǎn)播是按指數(shù)函數(shù)增加的。這結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合，傳染病傳播初期，傳播很快，被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)。但由 (2.1)的解可知，當(dāng) t時(shí)， i(t) ，這顯然不符合實(shí)際情況。最多所有的人都傳染上就是了。那么問(wèn)題在那里呢？問(wèn)題是就出在于兩條假設(shè)對(duì)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)不合理。特別是假設(shè)(1)，每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)與實(shí)際情況不符。因?yàn)殡S著時(shí)間的推移，病人越來(lái)越多，而未被傳染的人數(shù)卻越來(lái)越少，因而不同時(shí)期的傳播情況是不同的。 為了與實(shí)際情況較吻合， 我們?cè)谠械母咨闲薷募僭O(shè)建立新的模型。二 .

4、模型的修改將人群分成兩類：一類為傳染病人，另一類為未被傳染的人，分別用 i(t) 和 s(t)表示 t 時(shí)刻這兩類人的人數(shù)。i (0)=i0。假設(shè)： (1) 每個(gè)病人單位時(shí)間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時(shí)未被傳染的人數(shù)成正比。即 k0ks t ；(2) 一人得病后，經(jīng)久不愈，并在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。由以上假設(shè)可得微分方程專業(yè)資料整理WORD格式ditt i tksdtsti tni0i,(2.2)這是變量別離方程，用別離變量法可求得其解為i tnn,(2.3)11 eknti0其圖形如以下列圖 2-1 所示專業(yè)資料整理WORD格式模型 (2.2) 可以用來(lái)預(yù)報(bào)傳染較快的疾病前期傳染病頂峰到來(lái)專業(yè)資料整理WO

5、RD格式的時(shí)詢。di醫(yī)學(xué)上稱 dtt 為傳染病曲線，它表示傳染病人的增加率與時(shí)間的關(guān)系，如圖2-2 所示。由 (2.3)式可得dikn2n1 e knti0dtn2,2.4)11 e knti0d 2itd 2 i t再求二階導(dǎo)數(shù)dt 2，并令dt 20 ，可解得極大點(diǎn)為nln1i0t1,(2.5)kn從 (2.5) 式可以看出，當(dāng)傳染病強(qiáng)度k 或人口總數(shù) n 增加時(shí)，t1都將變小，即傳染病頂峰來(lái)得快。這與實(shí)際情況吻合。同時(shí)，如果知道了傳染率 k(k 由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到 )，即可預(yù)報(bào)傳染病頂峰t1到來(lái)的時(shí)間，這對(duì)于預(yù)防傳染病是有益處的。模型 (2.2) 的缺點(diǎn)是：當(dāng) t時(shí)，由 (2.3)式可知 i

6、(t) n，即最后人人都要得病。 這顯然與實(shí)襪情況不符。 造成這個(gè)結(jié)果的原因是假設(shè) (2) 中假設(shè)一人得病后經(jīng)久不愈，也不會(huì)死亡。為了得到與實(shí)際情況更吻合的模型，必須修改假設(shè)(2) 。實(shí)際上不是每個(gè)人得病后都會(huì)傳染別人，因?yàn)槠渲幸徊糠輹?huì)被隔離，還有由于醫(yī)治和人的身抵抗力會(huì)痊愈， 有的人會(huì)死亡從而也就不再會(huì)傳染專業(yè)資料整理WORD格式給別人了。因此必須對(duì)模型作進(jìn)一步的修改，建立新的模型。三. 模型的進(jìn)一步完善從上面的分析我們看到模型(2.2) 的假設(shè)(2) 是不合理的。即不可能一人得病后會(huì)經(jīng)久不愈，必有一部份人因醫(yī)治或自身的免疫力，或是被隔離，或是死去而成為不會(huì)再繼續(xù)傳染給別人的第三類人。因此我

7、們把人群分成三類：第一類由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的。用I(t)表示 t 時(shí)刻第一類人數(shù)。第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的，用S(t) 表示 t 時(shí)刻第二類人數(shù)。第三類包括患病后死去的人，病愈后具有長(zhǎng)期免疫力的人，以及在得病后被隔離起來(lái)的人。用R(t) 表示 t 時(shí)刻第三類人數(shù)。假設(shè)疾病傳染服從以下法那么：(1) 在所考慮的時(shí)期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平 N，即不考慮出生及其他原因引起的死亡，以及人口的遷入遷出的情況。(2) 易受傳染者人數(shù) S(t)的變化率正比于第一類的人數(shù) I(t) 與第二類人粉 S(t)的乘積。(3) 由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速度與第一類的

8、人數(shù)成正比。在這三條假設(shè)情況下可得如下微分方程：專業(yè)資料整理WORD格式dSdtrsI專業(yè)資料整理WORD格式dIrsII專業(yè)資料整理WORD格式dtdRdt,(2.6)I專業(yè)資料整理WORD格式其中 r、為比例常數(shù)， r 為傳染率，為排除率。由方程 (2.6)的三個(gè)方程相加得dS tI tR t0dt那么S tItR t常數(shù)人N口總數(shù)故RtNS tIt因此只要求出S(t)、I(t) 即可求出R(t) 。方程組(2.6) 的第一個(gè)和第二個(gè)方程與R(t) 無(wú)關(guān)。因此，由專業(yè)資料整理WORD格式得積分得dSrSIdtdIrSII,(2.7)dtdIrSII1,(2.8)dSrSIrSISSln S

9、cr專業(yè)資料整理WORD格式由 初 始 條 件 ： 當(dāng) tt0時(shí), I t0I 0 , S t0S0并 記專業(yè)資料整理WORD格式r代入上式可確定常數(shù) cI 0S 0ln S 0最后得ISI0SSlnS0,S0(2.9)下面我們討論積分曲線(2.9) 的性質(zhì)，由 (2.8)知0SI,S10SS0S所以當(dāng) S時(shí)，I(S) 是 S 的增函數(shù)， S時(shí)，I(S) 是 S 的減函數(shù)。又有 I(0)= ，I S0I 00,由連續(xù)函數(shù)的中間值定理及單調(diào)性知，存在唯一點(diǎn) S ，0SS，使得I S0,而當(dāng)00S S0S 時(shí)，I(S)0。由 (2.7) 知 I=0 時(shí)，dS0, dI0，所以S ,0為方程組dtd

10、t(2.7) 的平衡點(diǎn)。當(dāng) t t0時(shí)，方程(2.9)的的圖形如圖2-3。當(dāng)t由t0變到時(shí)，點(diǎn) (S(t)，I(t) 沿曲線 (2.9) 移動(dòng)，并沿 S 減少的方向移動(dòng)，因?yàn)?S(t) 隨時(shí)間的增加而單調(diào)減少。因此，如果 S0小于，那么I(t)單調(diào)減少到專業(yè)資料整理WORD格式零， S(t)單調(diào)減少到S。所以，如果為數(shù)不多的一群傳染者I0分專業(yè)資料整理WORD格式散在居民S0中，且S0，那么這種病會(huì)很快被消滅。專業(yè)資料整理WORD格式如果 S0，那么隨著S(t) 減少到時(shí)， I(t) 增加，且當(dāng)S=時(shí)， I(t) 到達(dá)最大值。當(dāng)S(t)時(shí) I(t) 才開場(chǎng)減少。由上分析可以得出如不結(jié)論：只有當(dāng)

11、居民中的易受傳染者的人數(shù)超過(guò)閾值時(shí)傳染 r病才會(huì)蔓延。用一般常識(shí)來(lái)檢驗(yàn)上面的結(jié)論也是符合的。當(dāng)人口擁擠，密度高，缺少應(yīng)有的科學(xué)文化知識(shí)，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時(shí)，傳染病會(huì)很快蔓延；反之，人口密度低，社會(huì)條件好，有良好的醫(yī)療條件和較好的管理而排除率高時(shí)， 那么傳染病在有限X圍內(nèi)出現(xiàn)會(huì)很快被消滅。r傳染病學(xué)中的 閾值定理設(shè) S0r ，且假設(shè)同 1 相比是小量。并設(shè)最初傳染者人數(shù)I 0很小，那么最終患病人數(shù)為2r。即是易受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少，那么最終就會(huì)比閾值低多少。這就是有名的傳染病 閾值定理。生物數(shù)學(xué)家 Kermack 和 Mekendrick 在1927 年首先證明了

12、這個(gè)定理 (證明從略 )專業(yè)資料整理WORD格式根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數(shù)來(lái)估計(jì)最終患病的人數(shù)。這定理解釋了研究人員長(zhǎng)期以來(lái)難以解釋的為什么對(duì)于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí)， 每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。在傳染病發(fā)生的過(guò)程中，不可能準(zhǔn)確地調(diào)查每一天或每一星期的得病人數(shù)。因?yàn)橹挥心切﹣?lái)醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來(lái)防止傳染。因此，統(tǒng)計(jì)的記錄是每一天或星期新排除者的人數(shù)，而不是新得病的人數(shù)。所以，為了把數(shù)學(xué)模型所預(yù)示的結(jié)果同疾病的實(shí)際情況進(jìn)展比較，必須解出(2.6)中的第三個(gè)方程。dRINRSdtdSdS / dRrSIr SSdRdtdtI因?yàn)閐S

13、dRSR專業(yè)資料整理WORD格式所以從而有S RS e0dRRN R S0e,(2.10)dt專業(yè)資料整理WORD格式方程 (2.10) 雖是可別離變量的方程， 但是不能用顯式求解， 如果傳染病不嚴(yán)重，那么 R/是小量，取泰勒級(jí)數(shù)前三項(xiàng)有R2e1 R 1 R專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式2dRNRS1R1Rdt02專業(yè)資料整理WORD格式從而其解其中2S0S0 RN S01 R2R t2S01 a tanh1 a tS0221S2S0 N2S0a01tanh 1 1S01a專業(yè)資料整理WORD格式dRa2 221,(2.11)因此dt2S0secha t2方程(2.11)在 tdR平面上定義了一條對(duì)稱鐘形曲線，稱為疾病dt傳染曲線。疾病傳染曲線很好地說(shuō)明了實(shí)際發(fā)生的傳染病的情況： 每天報(bào)告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又減少下來(lái)。Kermak 和 Mekendrick 把 (2.11) 得到的值， 同取自 1905 年下半年至 1906 年上半年在印度孟買發(fā)生的瘟疫資料進(jìn)展比較，他們假設(shè)dR2890sech0.2t3.4專業(yè)資料整理WORD格式其中 t 按星期計(jì)，在圖2-4 中的實(shí)際數(shù)字 (圖中用“ .表示