圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)知識點(diǎn)總結(jié)

1、雙曲線知識點(diǎn) 一、 雙曲線的定義：1. 第一定義：到兩個定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡（為常數(shù)）這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn) 要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|. 當(dāng)|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對應(yīng)的一支； 當(dāng)|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對應(yīng)的一支； 當(dāng)2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時，動點(diǎn)軌跡不存在. 2. 第二定義：動點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)時，這個動點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫

2、做雙曲線的準(zhǔn)線二、 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： （a0，b0）(焦點(diǎn)在x軸上)； （a0，b0）(焦點(diǎn)在y軸上)；1. 如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上. a不一定大于b.2. 與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是3. 雙曲線方程也可設(shè)為：例題：已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)，求雙曲線的軌跡方程。三、 點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系：1 點(diǎn)與雙曲線：點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部點(diǎn)在雙曲線的外部點(diǎn)在雙曲線上2 直線與雙曲線： （代數(shù)法）設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得1) 時，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個點(diǎn)右支一個點(diǎn)）； ，或k不存在時直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；2) 時，存在

3、時，若，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；若， 時，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；時，直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)；時，直線與雙曲線有一個交點(diǎn)；若不存在，時，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)； 直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)； 3. 過定點(diǎn)的直線與雙曲線的位置關(guān)系：設(shè)直線過定點(diǎn)，雙曲線1).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部時：，直線與雙曲線兩支各有一個交點(diǎn)；，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；或或不存在時直線與雙曲線的一支有兩個交點(diǎn)；2).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線上時： 或，直線與雙曲線只交于點(diǎn)；直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個點(diǎn)右支一個點(diǎn)）；（）或 （）或或不存在，直線與雙曲線在一支上有兩個交點(diǎn)；當(dāng)時，或不存在，直線與雙

4、曲線只交于點(diǎn)；或時直線與雙曲線的一支有兩個交點(diǎn)；直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（左支一個點(diǎn)右支一個點(diǎn)）；3).當(dāng)點(diǎn)在雙曲線外部時：當(dāng)時，直線與雙曲線兩支各有一個交點(diǎn)；或或不存在，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)時， 時，過點(diǎn)的直線與雙曲線相切 時，直線與雙曲線只交于一點(diǎn)；幾何法：直線與漸近線的位置關(guān)系例：過點(diǎn)的直線和雙曲線，僅有一個公共點(diǎn)，求直線的方程。四、 雙曲線與漸近線的關(guān)系：1. 若雙曲線方程為漸近線方程：2. 若雙曲線方程為（a0，b0）漸近線方程：3. 若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為, .4. 若雙曲線與有公共漸近線則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上）五、 雙曲線與切線方程：1. 雙曲線

5、上一點(diǎn)處的切線方程是.2. 過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.3. 雙曲線與直線相切的條件是.六、 雙曲線的性質(zhì)： 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）定義第一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)，的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。PP第二定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時，動點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)（）叫做雙曲線的離心率。PPPP范圍，對稱軸軸 ，軸；實(shí)軸長為,虛軸長為對稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距：頂點(diǎn)坐標(biāo)（,0） (,0)(0, ,) (0，

6、)離心率1)， ， e越大則雙曲線開口的開闊度越大準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為漸近線方程 () ()共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關(guān)系：利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長通徑：過雙曲線上一點(diǎn)的切線 或利用導(dǎo)數(shù) 或利用導(dǎo)數(shù)七、 弦長公式： 若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則。通徑的定義：過

7、焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，則弦長。若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解，例：直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，則=_八、焦半徑公式：雙曲線（a0，b0）上有一動點(diǎn)當(dāng)在左支上時,當(dāng)在右支上時,注：焦半徑公式是關(guān)于的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當(dāng)在左支端點(diǎn)時，當(dāng)在左支端點(diǎn)時，九、等軸雙曲線：（a0，b0）當(dāng)時稱雙曲線為等軸雙曲線；則：1. ；2.離心率；3.兩漸近線互相垂直，分別為y=；4.等軸雙曲線的方程，；5. 等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)。 十、共軛雙曲線： 1.定義：以已知雙曲線的

8、虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線 2.方程： 3.性質(zhì)：共軛雙曲線有共同的漸近線； 共軛雙曲線的四個焦點(diǎn)共圓它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1。 （a0;b0）的焦點(diǎn)為與，且p為曲線上任意一點(diǎn)，。則的面積焦點(diǎn)三角形面積公式：高二數(shù)學(xué)橢圓知識點(diǎn)1、橢圓的第一定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù) ,這個動點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動點(diǎn)的軌跡無圖形.2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；3、橢圓：

9、的簡單幾何性質(zhì)13（1）對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點(diǎn)：橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為橢圓的四個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，。 線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢

10、圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時，這時兩個焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：；4、橢圓的令一個定義：到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形。即上圖中有5：橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)，軸長長軸長=，短軸長=離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，拋物線知識點(diǎn)1、掌握的定義 :平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2、方程、圖形、性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形統(tǒng)一方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率焦半徑3、 通

11、徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦稱為通徑，通徑長為 ；4、 拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個頂點(diǎn)，一個焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；5、 注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義： 。方程及性質(zhì)1、拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸是x軸,拋物線過點(diǎn)(,2),則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )A.y2=-2x B.y2=2x C. y2=-4x D.y2=-6x2、拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（ ）(A) 1 (B)2 (C)4 (D)83、拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_4、拋物線的準(zhǔn)線方程是_;5、設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在拋物線上，則到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_。6、過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.7、對于拋

12、物線上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P（a，0）都滿足|PQ|a|，則a的取值范圍是ABC0，2D（0，2）8、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）AB（1，2），（1，2）C（1，2）D拋物線曲線幾何意義11、動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等,則的軌跡方程為_.13、以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為( )A. B. C. D. 14、點(diǎn)到點(diǎn)，及到直線的距離都相等，如果這樣的點(diǎn)恰好只有一個，那么的值是( )A B C或 D或17、以拋物線上的點(diǎn)M與定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段MA的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程18、已知圓的方程為，若拋物線過點(diǎn), 0)，B(1, 0)且

13、以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程為( )ABCD20、在直角坐標(biāo)系中，到點(diǎn)(1，1)和直線x+2y=3距離相等的點(diǎn)的軌跡是（ ）A.直線B.拋物線C.圓D.雙曲線焦半徑24、拋物線上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離之和是5，則線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是_。25、已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于、兩點(diǎn),則_ .26、設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D.1227、若拋物線上的點(diǎn)到直線的距離為2，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為_。30、從拋物線上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則MPF的面積為（

14、 ） A5B10C20D31、拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為( )A.2 B.3 C.4D. 535、已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 .37、過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),如果x1+x2=6,那么|AB|=( )A.8 B.10 C.6 D.439、 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為( ) （） （） （） （）過焦點(diǎn)弦45、過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于3，則這樣的直線 （ ）A有且只有一條 B有且只有兩條 C有無窮多條 D不存在 46、過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段、的長分別為、，則等于（ ） A. B. C. D. 47、 設(shè)拋物線與過其焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，則的值（ ）A BC D 50、過拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn),若, 則此拋物線方程為（ ）AB C D51、過拋物線的焦點(diǎn)作直線,交拋物線于兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于 點(diǎn).若,則直線的斜率為_.52、已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A、B滿足,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_.最值問題54、已知拋物