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1、淺談中考規(guī)律探索題的解題策略江蘇省泰州市九龍實驗學(xué)校 顧廣林(225312)規(guī)律題是指在一定條件下,探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題,它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件,要求學(xué)生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法,考察了學(xué)生的分析、解決問題能力,觀察、聯(lián)想、歸納能力,以及探究能力和創(chuàng)新能力題型可涉及填空、選擇或解答現(xiàn)擷取幾道2007年中考題說明此類題型的常用解法.1 抓住題目中的變量, 進行計算嘗試找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目,都會涉及到一個或者幾個變化的量.所謂找規(guī)律,多數(shù)情況下,是指變量的變化規(guī)律.所以,抓住了變量,就等于抓住了解決問題的
2、關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出,揭示的規(guī)律,常常包含著事物的序列號.因此,把變量和序列號放在一起加以比較,就比較容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘. 數(shù)學(xué)規(guī)律,多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運算,所以,嘗試著把變量和序列號放在一起,做一些計算,是解答找規(guī)律題的好途徑.例1(沈陽)有一組數(shù):1,2,5,10,17,26,請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律,用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個數(shù)為簡析:解答這一題,可以先找一般規(guī)律,然后使用這個規(guī)律,計算出第8個數(shù).我們把有關(guān)的變量放在一起加以計算:給出的數(shù):1,2,5,10,17,26,序列號: 1,2,3, 4, 5,容易發(fā)現(xiàn),已知數(shù)的每一項,都等于它的序列
3、號減1的平方再加1.因此,第n項是(n-1)2+1,第8項是(8-1)2+1.例2(濟南)定義一種對正整數(shù)n的“F” 運算:當n為奇數(shù)時,結(jié)果為3n5;當n為偶數(shù)時,結(jié)果為(其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)),并且運算重復(fù)進行例如,取n26,則:26134411第一次F第二次F第三次F若n449,則第449次“F運算”的結(jié)果是_解析:根據(jù)定義的“F”運算算幾步:449,容易發(fā)現(xiàn)序列號與結(jié)果之間的規(guī)律,結(jié)果是8.評析:所謂猜想歸納,2 抓主要矛盾,善于比較有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜,實際上,關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對題目做一番認真地分析,去粗取精,取偽存真,把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來,題目的難度就會
4、大幅度降低,問題也就容易解決了.另外,通過比較,可以發(fā)現(xiàn)事物的相同點和不同點,更容易找到事物的變化規(guī)律.例3(韶關(guān))按如下規(guī)律擺放三角形:則第(4)堆三角形的個數(shù)為_;第(n)堆三角形的個數(shù)為_.簡析:這個題目,在給出的圖形中,橫向排列的三角形個數(shù)在變化,縱向排列的三角形個數(shù)也在變化,所以,需要進行比較的因素也比較多.就縱向而言,發(fā)現(xiàn)三角形個數(shù)依次增加一個.第1堆有2個,第2堆有3個,第(n)堆的個數(shù)就為n+1個.再來看橫向排列的三角形,我們把三角形個數(shù)抽出來,就是3,5,7,.這是奇數(shù)從小到大的排列.于是,問題便轉(zhuǎn)化成求除1外的正奇數(shù)的表達式,即2n+1.于是第(n)堆三角形的個數(shù)就為(n+
5、1)+(2n+1),即3n+2個.3 抓住題目中隱藏的不變量有些題目,雖然形式發(fā)生了變化,但是本質(zhì)并沒有改變.我們只要在觀察形式變化的過程中,始終注意尋找它的不變量,就可以揭示出事物的本質(zhì)規(guī)律.例4(資陽)如圖,對面積為1的ABC逐次進行以下操作:第一次操作,分別延長AB、BC、CA至點A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,順次連接A1、B1、C1,得到A1B1C1,記其面積為S1;第二次操作,分別延長A1B1、B1C1、C1A1至點A2、B2、C2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,順次連接A2、B2、C2,得到A2B2C2
6、,記其面積為S2;按此規(guī)律繼續(xù)下去,可得到A5B5C5,則其面積S5=_ .簡析:本題中若學(xué)生能夠找到A1B1C1的面積是ABC的面積的19倍這一層關(guān)系,每一次操作后的三角形面積是操作前三角形面積的19倍這個面積變化的本質(zhì)規(guī)律,之后的問題就會迎刃而解,易得S5=2476099.4 尋找事物的循環(huán)節(jié)有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律,找到了事物的循環(huán)規(guī)律,其他問題就可以迎刃而解.例5 (潛江)根據(jù)下列圖形的排列規(guī)律,第2008個圖形是 (填序號即可). (;.) 簡析:通過觀察可以發(fā)現(xiàn),本題中的圖形從第6個到第10個為一個循環(huán)節(jié),以此規(guī)律總結(jié)下來,第2008個圖形應(yīng)該就是一個循環(huán)節(jié)中的第3個圖形,故選
7、.5 從式子的特征找到突破口數(shù)學(xué)語言是自然語言、符號語言、圖象語言等的有機結(jié)合.分析函數(shù)或數(shù)列的特征,往往能找到解題的突破口. 例6(玉溪)對于正數(shù)x,規(guī)定f(x)= ,例如f(3)=,f()=,計算f()+ f()+ f()+ +f()+ f()+ f(1)+ f(1)+ f(2)+ f(3)+ + f(2004)+ f(2005)+ f(2006)= 解析:顯然不可能將代入求解,但是若注意到其中的對偶性,進而構(gòu)造對偶式的話,則易知=1,從而結(jié)果為2006.例7(紹興)如果一個序列滿足為自然數(shù)),那么.解析:各式相加得從而.點評:已知條件是數(shù)列的遞推公式,本題的敘述方式采用了符號語言,具有高中代數(shù)的特征;另外解題方法也是數(shù)列問題中常用的方法,是整體思想的運用.這道試題的得分率極低,原因是學(xué)生看不懂題目的意思或解題方法想不到.在平時教學(xué)中要讓學(xué)生適當接觸用簡潔的符號語言表述的題目以及一些需要創(chuàng)新的解題方法.由于規(guī)律探索題能夠增強學(xué)生的創(chuàng)造意識,提高學(xué)生的創(chuàng)新能力,因而成
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