江蘇專版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式第44講不等式的綜合應(yīng)用學(xué)案理

1、44講10不等式的綜合應(yīng)用學(xué)案理第44講不等式的綜合應(yīng)用考試要求掌握解決不等式綜合問題的方法（C級(jí)要求）.基砒診斷j靠葦|j二匚零擎流望j|OIE載新;第奕嘉福診斷自測(cè)41 .（必修5P102習(xí)題7改編）函數(shù)y=x+-（xw0）的值域是x解析當(dāng)x>0時(shí)，y= x + X > 2x , '= 4;x當(dāng)x<0時(shí)，y=x+-=(x)+<xx答案(一8,-4U4,+oo)2 .（必修5P106復(fù)習(xí)題16改編）已知*>0">0且滿足2+8=1,則*+丫的最小值是xy解析-x+y=(x+y)1=(x+y)x+y=2+8+§+?,x>0,

2、y>0,，曰。，x>°，x2y8x28+y>10+2716=18,當(dāng)且僅當(dāng)ji時(shí)等號(hào)成立，又x+y=1，.當(dāng)x=6,y=12時(shí)，x+y有最小值18.答案183 .(必修5P98練習(xí)2(2)改編)若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是.解析由a,beR*,得a+b>2/ab,則ab=a+b+3>2yab+3,即ab-2/ab-3>0?(>/ab-3)(/ab+1)>0?yab>3,.1.at)>9.答案9,+8)4 .設(shè)xCR,f(x)=2'|,若不等式f(x)+f(2x)<k對(duì)于任意的xCR恒成立

3、，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.1|x|1|2x|1|x|解析不等式化為k>2+2，因?yàn)槿fe(0,1,所以k>2.答案k>25.(必修5P102習(xí)題9改編)某種產(chǎn)品按下列三種方案兩次提價(jià).方案甲：第一次提價(jià)p%第二次提價(jià)q%方案乙：第一次提價(jià)q%第二次提價(jià)p%方案丙：第一次提價(jià) 審第二次提價(jià)巴*.其中p>q>0,上述三種方案中提價(jià)最多的是pq解析設(shè)原來價(jià)格為A,方案甲：經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為A1+忐1+稔=p+qpqpqA1+制+湍0；方案乙：經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為A1+忐1+就；方案丙：經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為A1+霖2=A1+p±q+吐q2.一.因?yàn)?quot;心，所以方

4、案丙提2001002100002價(jià)最多.答案方案丙恃點(diǎn)突破.:.分美洲蒙洲取物俅法.Y考點(diǎn)一含參數(shù)的不等式問題2xx2>0,【例1】若不等式組2,+5+2k)X+5k<0的解集中所含整數(shù)解只有2,求k的取值范圍.解由x2X2>0有xv1或x>2,由2x2+(5+2k)x+5kv0有(2x+5)(x+k)<0,因?yàn)橐?是原不等式組的解，所以k<2.5由(2x+5)(x+k)<0有一2<x<k.因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解只有一2,所以一2vkw3,即一3wk<2,故k的取值范圍是3,2).【訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=lg(m2-3m2)x2+(

5、m-1)x+1的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解二.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,.對(duì)于任意xCR,恒有(n223m2)x2+(mr1)x+1>0.若m23mU2=0,則miR2或1.當(dāng)m=1時(shí)，不等式即為1>0,符合題意；當(dāng)m2時(shí)，不等式即為x+1>0,對(duì)任意xCR不恒成立，mH2不合題意，舍去.若m23mi+2W0,由題意得m2-3m2>0,=(rm-1)24(m23m+2)<0,m<1或m>2,解得、7即m<1或m>33，綜上可得，m的取值范圍是（一8,1u7-,+國(guó).3考點(diǎn)二基本不等式的靈活運(yùn)用【例2】設(shè)x,y均為正實(shí)數(shù)，且3+-=1

6、,則xy的最小值為2+x2+y一，333解析由=+書=1，得xy=8+x+y.x,y均為正實(shí)數(shù)，xy=8+x+y>8+2，xy（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立），即xy2yxy-8>0,解得qxy>4,即xy>16.故xy的最小值為16.答案1644【訓(xùn)練2】設(shè)實(shí)數(shù)M6,若不等式2xm（2-x）n-8>0對(duì)任意X4,2都成立，則聯(lián)的最小值為.解析設(shè)f(x)=2xm(2-x)n-8=(2m-n)x+(2n8)為關(guān)于x的一次函數(shù).4m-3n+4<0,n< 6.由題設(shè)得f(2)>0,即m-2>0,nw6,作出不等式組所表示的可行域如圖所示,im n-k

7、4=(JA(2A)設(shè)m= t,則t表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)所連線段的斜率，可得12y<t< 3.g(t)=m4- n43mn1。 . 12. . =1t在5"Wtw3上為減函數(shù),807所以T<g(t)<72-31212 37mi- n4故 3 的取小值為 一 mn803答案803考點(diǎn)三多元最值問題【例3】（1）已知ABC勺三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且滿足b+cw3a,則c的取值范圍為a設(shè)a,bc均為正數(shù),滿足”2b+3c=。，則ac的最小值是a<b+c<3a,解析（1）由已知及三角形三邊關(guān)系得a+b>c,a+c>b,1<b+-&l

8、t;3,aa1+坐aa1+c>b,aabc1<-Iw3,aa1<-b<1,aa'一，rc兩式相加得0<2xa<4c'a的取值范圍為（02).(2) a-2b+3c= 0a+ 3cb=-5b2 a2+9c2+6acac4ac6ac+ 6ac4ac=3,當(dāng)且僅當(dāng)a=3c時(shí)取“=”答案(1)(。,2)(2)3考點(diǎn)四不等式與函數(shù)、三角、向量等知識(shí)的結(jié)合【例4】（一題多解）在ABC4角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若B=C且7a2+b2+c2=4；3,則ABO積的最大值為解析如圖，在ABC,設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則ADLBC法一由題知b=c貝U7a2

9、+2b2=4g2等號(hào)，所以 ABC勺面積最大值為即a2 =.,155法二設(shè)BD=CD=mAD=n,則由已知得7(2m2+2(m2+n2)=4q3,所以15m2+n2=2，3>2yT5mn所以mn<座,當(dāng)且僅當(dāng)15m=n2時(shí)取等號(hào)，5此時(shí)m=嚕，所以4ABC面積的最大值為申答案;55要對(duì)作業(yè)?吧卬一、必做題,，_a.1 .已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=x+;(x>1)的最小值為3,則a的值為x1解析f(x)=x-1+x-ay+1>2/a+1=3,貝Ua=1.答案1*2+丫J2 .右頭數(shù)x,y滿足x>y>0,且log2x+log2y=1,則2-的取小值為x

10、-y解析,x2+y2x22xy+y2+2xy(xy)2+4由log2x+log2y=1,得xy=2,xy=x-y=x-y=x-y+4> 4, x-y22則道的最小值為4.當(dāng)且僅當(dāng)x=5+1,y=V3-1時(shí)取等號(hào)答案43.(2017鎮(zhèn)江期末)函數(shù)y=asin(ax+0)(a>0,0w0)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)和其相鄰最低點(diǎn)的距離的最小值為.2a2+*解析函數(shù)的周期t為9，則;=看，最高點(diǎn)和其相鄰最低點(diǎn)的距離為答案2yr則2+的最小值為a2 a2 010解析由題意得S 0112011 (ada2 on)a1 + a2 011 = 2.又 a2+ a2 010 = an- a2 011 =

11、2,1a2+11 11=7 一 +a2 0102 a2a2 010(a2+ a2 010)a2 010a2+a2a2 010+ 1>2.答案 25.（2017 蘇北四市三模x ）若對(duì)于任意x>0, xxriwa恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析xx2+ 3x+ 11'3+x + - x1因?yàn)閤>0,所以x + ->2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）, xLI 1則二&13+x + - x13215,一1,1的取大值為g,故a>5.1答案g, +86.（ 一題多解）設(shè)Rx, y）為函數(shù)y= x21（x>43）圖象上一動(dòng)點(diǎn),記m=3x+ y 5x-1x+

12、 3y 7y-2則當(dāng)m取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為解析法3x+ x26 x +3x210E x-1 + x2- 3x> . 3,所以 x2 3>0, x-1>0,所以 m>6+ 2=8.x2 3 x 1當(dāng)且僅當(dāng)=xx2C13，即x=2時(shí)，m取得最小值，此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為（2, 3）.4.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列an的前2011項(xiàng)和等于2011,3x3+y2 + x1 + 3y6mi=7x- 1y 2y 2 x 1_6+e +彳,因?yàn)閤>aP,所以y>2,當(dāng)且僅當(dāng)y- 2x- 1所以y2>0,x1>0,所以m8.x11時(shí)，m取得最小值，下同法y2答案(2,3)7

13、.函數(shù)f(x)=ax22(a3)x+a2中，a為負(fù)整數(shù)，則使函數(shù)至少有一個(gè)整數(shù)零點(diǎn)的所有解析由ax22(a3)x+a2=0得a(x1)2=26x,顯然x=1不成立，所以xw1,所2-6x1°.一一一以a=-.因?yàn)閍為負(fù)整數(shù)，所以x%且(x1)<6x-2,解得4/13<x<4+Jt3,(x1)3'一2-6x將x=2,3,4,5,6,7代入a=72,得x=2,x=3符合條件，此時(shí)a=-10,a=lx)-4,故所有的a值的和為一14.答案14,，2,2ab,一,8.(2018鹽城中學(xué)月考)a是1+2b與12b的等比中項(xiàng)，則的最大值為|a|+2|b|解析a2=14b

14、2故a2+4b2=1>4ab故ab<-<2aj2a14u，叫a十4u14au,叫au4，|a|+2|b|2J2b4，二且僅當(dāng)一二a 2bf時(shí)，等號(hào)成立2答案丁3x-y-6<0,9.設(shè)x,y滿足約束條件x-y+2>0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,x>0,y>0,32則a+b的最小值為解析不等式組在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示.由z=ax+by得y=-ax+Z-,當(dāng)z變化時(shí)，它表示經(jīng)過可行域的一組平行直線，其斜率為a,在y軸上的bbb截距為b,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(4,6)時(shí)，在y軸上的截距最

15、大，從而z也最大，所以4a+6b=12,即2a+3b=6,所以3+2=2a：3b.3+2=16+6+4a+9b>4,當(dāng)且僅當(dāng)ab6ab6ba3342a=2,b=1時(shí)等號(hào)成立.所以a+日的最小值為4.答案4xx10 .已知iwigxy<4,1wigyW2,求1g了的取值范圍解由iwigxyW4,-K1gy<2,得1w1gx+1gyW4,1w1gx1gyW2,工x213而1gy=21gx-1gy=2(1gx+1gy)+(1gx-1gy),2所以一1W1gx-<5,y2即1gxy的取值范圍是1,5.二、選做題某公司為了競(jìng)標(biāo)配11 .北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅

16、斯索契舉辦了發(fā)布會(huì),套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最高為多少元？(2)為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行一，、，一、12技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元，公司擬投入6(x600)萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷5售量a至少達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).解(

17、1)設(shè)每件定價(jià)為t元，t25依題意得(8-X0.2)t>25X8,整理得t265t+1000<0,解得25WtW40.40元.所以要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最高為(2)依題意知x>25,且 ax>25X8+ 50 +6(x2- 600)+5x,等價(jià)于 an詈+ 6x+5(x>25).150x當(dāng)且僅當(dāng)M=6,即x=30時(shí)等號(hào)成立,所以a.02當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.12.(2017大同期末)已知關(guān)于x的不等式ax2+(a2)x-2>0,aC

18、R(1)若不等式的解集為(一8,1U2,+8),求實(shí)數(shù)a的值；(2)若不等式ax2+(a-2)x-2>2x2-3對(duì)任意xCR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)解關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)x-2>0.解(1)因?yàn)閍x2+(a2)x2>0的解集為(一8,-1u2,+00),所以方程ax2+(a2)x2=0的兩根為x=1或x=2,一2人所以一1X2=-解得a=1.a(2)若不等式ax2+(a-2)x-2>2x2-3對(duì)任意xCR恒成立，即(a-2)x2+(a-2)x+1>0對(duì)任意xCR恒成立.因此，當(dāng)a=2時(shí)，不等式變?yōu)?>0,顯然成立；當(dāng)aw2時(shí),解得2<aw6.a-2>0,(a2)4(a2)w0,綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為2,6.(3)ax2+(a-2)x-2>0?(x+1)(ax-2)>0.當(dāng)a=0時(shí)，原不等式變形為2x-2>0,解得x<-1.當(dāng)awo時(shí)，ax2+(a2)x2=0的兩根為x=1或x=?.a當(dāng)a>0時(shí)，一1<4所以(x+1)(ax2)>0?xw1或x>2；aa當(dāng)a<2時(shí)，一