經(jīng)典力學(xué)課件：第6章振動(dòng)

1、力力 學(xué)學(xué)第六章第六章 振動(dòng)振動(dòng)n 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)物體（系統(tǒng)）在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)物體（系統(tǒng)）在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)其運(yùn)動(dòng)形式有直線、平面和空間振動(dòng)其運(yùn)動(dòng)形式有直線、平面和空間振動(dòng). .n 振動(dòng)振動(dòng)對于平衡系統(tǒng)的某種周期性的偏離對于平衡系統(tǒng)的某種周期性的偏離n 狹義定義狹義定義某種具有時(shí)間周期性的運(yùn)動(dòng)稱為振動(dòng)某種具有時(shí)間周期性的運(yùn)動(dòng)稱為振動(dòng)例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動(dòng)等中原子的振動(dòng)等. .u 周期和非周期振動(dòng)周期和非周期振動(dòng)u 簡諧運(yùn)動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng) 最簡單、最基本的振動(dòng)最簡單、最基本的振動(dòng). .簡諧運(yùn)動(dòng)簡諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)

2、復(fù)雜振動(dòng)合成合成分解分解u 諧振子諧振子 作簡諧運(yùn)動(dòng)的物體作簡諧運(yùn)動(dòng)的物體. .6.1 簡諧振動(dòng)1.1. 簡諧振動(dòng)的幾個(gè)例子簡諧振動(dòng)的幾個(gè)例子例例6.1 6.1 彈簧振子的運(yùn)動(dòng)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)受力受力fkx 勢能勢能212U xkx()即有即有22d xmfkxdt 0kxxm令令km 則則0 xx 解得解得0cos()xAt0sin()vxAt 20cos()axAt A A、 是待定常數(shù)，由初始條件而定是待定常數(shù)，由初始條件而定初始條件初始條件0000|,|ttxxvv 221000020vvAxtgx 可得可得例例6.1 6.1 彈簧振子的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)（續(xù)）運(yùn)動(dòng)（續(xù)）例例6.1 6.1

3、彈簧振子的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)（續(xù)）運(yùn)動(dòng)（續(xù)）n是是圓頻率（或角頻率）圓頻率（或角頻率）n0 0稱為稱為固有圓頻率（本征圓頻率）固有圓頻率（本征圓頻率），它僅與彈簧本身性它僅與彈簧本身性質(zhì)有關(guān)。質(zhì)有關(guān)。nA為為振幅振幅，0為為初相位初相位，由初始條件決定。，由初始條件決定。0km n彈簧振子的振動(dòng)圖示彈簧振子的振動(dòng)圖示n彈簧振子的振動(dòng)圖示彈簧振子的振動(dòng)圖示Fkxmx 222d xxdt 2km 令令sin()dxvAtdt 222cos()d xaAtdt 積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定cos()xAt 例例6.2 6.2 單擺單擺2sinMmglml 對對O O點(diǎn)，僅有重力矩

4、點(diǎn)，僅有重力矩單擺運(yùn)動(dòng)并非嚴(yán)格意義的簡諧運(yùn)動(dòng)sin0gl 整理得到整理得到將將sin展開展開357111sin3!5!7! 若若很小，可取一級近似很小，可取一級近似 sin0cos()t0gl 可解得可解得則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)槔?.2 6.2 單擺（續(xù)）單擺（續(xù)）n其中，其中， 它與單擺系統(tǒng)本身的屬性有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)。它與單擺系統(tǒng)本身的屬性有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)。0gl 例例6.2 6.2 單擺（續(xù)）單擺（續(xù)）nA為振幅，為振幅，0 為初相位，由初始條件決定。為初相位，由初始條件決定。例例6.3 6.3 復(fù)擺復(fù)擺sinccMmgrmgr 對對O O點(diǎn)，僅有重力矩點(diǎn)，僅有重力矩00cMIIm

5、gr 00cgImr 00cImr g 即即2200cccIm kkrm rm rr令令例例6.3 6.3 復(fù)擺（續(xù)）復(fù)擺（續(xù)）方程為方程為00 則有則有00gr 又令又令00gr 可解得可解得00cos()At r r0 0 稱為等值擺長稱為等值擺長2.2. 簡諧振動(dòng)表達(dá)式簡諧振動(dòng)表達(dá)式n當(dāng)物體的和外力（力矩）正比于當(dāng)物體的和外力（力矩）正比于變量變量x x的的負(fù)值負(fù)值，F(xiàn) Fx x，則有則有簡諧振動(dòng)方程的形式簡諧振動(dòng)方程的形式20 xx 0( )cos()x tAtn簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)表達(dá)式為簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)表達(dá)式為 振幅振幅A AA A表示振動(dòng)的強(qiáng)弱，由初始條件確定；表示振動(dòng)的強(qiáng)弱，由

6、初始條件確定；n簡諧振動(dòng)表達(dá)式簡諧振動(dòng)表達(dá)式m axA x 周期周期 T T和圓（角）頻率和圓（角）頻率 圓頻率圓頻率，單位是弧度，單位是弧度/ /秒秒固有圓頻率固有圓頻率0 0（也稱本征圓頻率也稱本征圓頻率），僅與力學(xué)系統(tǒng)屬性有），僅與力學(xué)系統(tǒng)屬性有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)關(guān)，與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)p簡諧振動(dòng)的幾個(gè)特征參量簡諧振動(dòng)的幾個(gè)特征參量n簡諧振動(dòng)表達(dá)式簡諧振動(dòng)表達(dá)式 周期周期 T T 和頻率和頻率 圓頻率圓頻率。單位是弧度單位是弧度/秒秒固有圓頻率固有圓頻率0 0。僅與力學(xué)系統(tǒng)屬性有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)僅與力學(xué)系統(tǒng)屬性有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)頻率頻率 / 2，單位：單位： 次次/ 秒（秒（Hz）周期周期

7、 T1/ = 2/ , 單位秒單位秒 相位相位 tt + + 0 00 為初相位，又初始條件確定。為初相位，又初始條件確定。n簡諧振動(dòng)表達(dá)式簡諧振動(dòng)表達(dá)式cos()xAt p振幅振幅m axA xp周期、頻率周期、頻率2 mTk注意：彈簧振子周期注意：彈簧振子周期2T 周期周期12 T 頻率頻率2 2 T 圓頻率圓頻率cos ()AtT 周期和頻率僅與振動(dòng)系周期和頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)I.I. 存在一一對應(yīng)的關(guān)系存在一一對應(yīng)的關(guān)系; ;0( , )tx v II.II.相位在相位在0202內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；相差內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；相差 2N

8、2N（N N為整數(shù)）為整數(shù)） 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同（周期性）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同（周期性）; ; 相位相位0t III.III.初相位初相位 描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)； 0(0)t IV.IV.0 0 取值范圍：取值范圍：- 或或 0 0 2 2 相位相位 tt + + 0 0tx圖圖tv圖圖ta 圖圖TAA2A2AxvatttAAoooT TT Tcos()xAt 0 圖像中圖像中2T sin()cos()2 vAtAt 22 cos()cos()aAtAt n簡諧振動(dòng)的位移，速度和加速度的相位關(guān)系簡諧振動(dòng)的位移，速度和加速度的相位關(guān)系22002vAx 000tanvx

9、 nA A 和和 0 0 的確定的確定00cosxA 00sinvA 對給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅對給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定和初相由初始條件決定. .0sin()vAt 0cos()xAt 初始條件初始條件000,txxvv3.3. 簡諧振動(dòng)的描述方法簡諧振動(dòng)的描述方法 (1)(1) x t x t 曲線圖示法曲線圖示法 簡諧振動(dòng)可以用三角函數(shù)表示，也可用圖簡諧振動(dòng)可以用三角函數(shù)表示，也可用圖6.16.1的曲線圖表示，的曲線圖表示，圖上已將振幅、周期和初相標(biāo)出。圖上已將振幅、周期和初相標(biāo)出。 圖圖6.1 6.1 簡諧振動(dòng)的簡諧振動(dòng)的x-tx

10、-t曲線表示法曲線表示法 3.3. 簡諧振動(dòng)的描述方法簡諧振動(dòng)的描述方法 (2) (2) 振幅矢量法振幅矢量法 簡諧振動(dòng)還可以用旋轉(zhuǎn)振幅簡諧振動(dòng)還可以用旋轉(zhuǎn)振幅矢量（也稱相矢量）表示。矢量（也稱相矢量）表示。 自原點(diǎn)畫一條長等于振幅的自原點(diǎn)畫一條長等于振幅的矢量矢量A A，t=0 t=0 時(shí)，矢量時(shí)，矢量A A與與 x x 軸的夾角等于振動(dòng)的初位相軸的夾角等于振動(dòng)的初位相，令，令A(yù) A 以角速度（就是振動(dòng)以角速度（就是振動(dòng)角頻率）逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，角頻率）逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則矢量在則矢量在x x軸上的投影就是振軸上的投影就是振動(dòng)的位移（如圖動(dòng)的位移（如圖6.26.2）。）。圖圖6.2 6.2 振幅

11、矢量法振幅矢量法3.3. 簡諧振動(dòng)的描述方法簡諧振動(dòng)的描述方法 (3) (3) 復(fù)數(shù)法復(fù)數(shù)法 利用三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，簡諧振動(dòng)也可用復(fù)數(shù)表示利用三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，簡諧振動(dòng)也可用復(fù)數(shù)表示 0( )itxAe i txA e 或或 其中：其中： 是復(fù)數(shù)，稱復(fù)振幅，它已包含了初是復(fù)數(shù)，稱復(fù)振幅，它已包含了初位相。但要注意，有意義的是表達(dá)式的實(shí)部。位相。但要注意，有意義的是表達(dá)式的實(shí)部。0iAA e 4.4. 彈簧諧振子的能量彈簧諧振子的能量2222011sin ()22kEmxmAtn動(dòng)能動(dòng)能n勢能勢能222011cos ()22pEkxkAtn機(jī)械能機(jī)械能2221122kPEEEmAkA 2

12、22201cos ()2pkEmAtm簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)的機(jī)械能是守恒的機(jī)械能是守恒的的n機(jī)械能為常量，但機(jī)械能為常量，但E Ek k、E EP P隨時(shí)間作周期變化；隨時(shí)間作周期變化；nE Ek k、E EP P在運(yùn)動(dòng)過程中相互轉(zhuǎn)化在運(yùn)動(dòng)過程中相互轉(zhuǎn)化4.4. 諧振子的能量（續(xù)）諧振子的能量（續(xù)）0,0,kPxEEE在最大位移處，在最大位移處，在平衡位置在平衡位置0,0,pkxEEEEkEPEt00/23/224.4. 諧振子的能量（續(xù)）諧振子的能量（續(xù)）n振幅決定機(jī)械能振幅決定機(jī)械能222， kEAEA012TkkEEE dtT n在一個(gè)周期內(nèi)的平均值在一個(gè)周期內(nèi)的平均值或或2222EEAkm

13、 222EEAkm 4.4. 諧振子的能量（續(xù)）諧振子的能量（續(xù)）012TPpEEE dtT n振幅的有效值振幅的有效值A(chǔ) Aeffeff12effEAAk定義定義則則222effkPEkEEA 或或2e ffEk A4.4. 諧振子的能量（續(xù)）諧振子的能量（續(xù)）6.2 振動(dòng)的合成與分解n 簡諧振動(dòng)是最簡單、最基本的振動(dòng)，任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都簡諧振動(dòng)是最簡單、最基本的振動(dòng)，任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可以看成若干個(gè)簡諧振動(dòng)的合成?？梢钥闯扇舾蓚€(gè)簡諧振動(dòng)的合成。 1.1. 方向、頻率相同，初位相不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成方向、頻率相同，初位相不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成2.2. 方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡諧振

14、動(dòng)的合成方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成 3.3. 方向垂直、頻率相同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成（二維振動(dòng)）方向垂直、頻率相同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成（二維振動(dòng)）4.4. 方向垂直、頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成，利薩如圖形方向垂直、頻率不同的兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合成，利薩如圖形5.5. 振動(dòng)的分解、諧波分析（振動(dòng)的分解、諧波分析（FourierFourier分析）分析） 6.2 振動(dòng)的合成與分解1.1. 同方向，同頻率的兩個(gè)振動(dòng)的合成同方向，同頻率的兩個(gè)振動(dòng)的合成111222cos()cos()xAtxAt設(shè)兩振動(dòng)設(shè)兩振動(dòng)12112211221122cos()cos()(coscos)cos(sinsi

15、n)sinxxxAtAtAAtAAt合振動(dòng)合振動(dòng)11221122coscoscossinsinsinAAAAAA 令令合振動(dòng)合振動(dòng)cos()xAt 11221122sinsincoscosAAtgAA 初相位初相位1.1. 同方向，同頻率的兩個(gè)振動(dòng)的合成（續(xù)）同方向，同頻率的兩個(gè)振動(dòng)的合成（續(xù)）合振幅合振幅221112122cos)（AAAA A 兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡諧運(yùn)動(dòng)兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡諧運(yùn)動(dòng)xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 討論討論

16、xxtoo21AAA2)cos()(12tAAxT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx)cos(212212221AAAAA 討論討論3 3）一般情況一般情況2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加強(qiáng)相互加強(qiáng)相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k)cos(212212221AAAAA 討論討論11Axou 多個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)多個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tA

17、x)cos(nnntAxA多多個(gè)個(gè)同同方向方向同同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)頻率簡諧運(yùn)動(dòng)合成合成仍為仍為簡諧簡諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)1A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2, 1,(kkNk2 2） 2kN1 1）2 k),2, 1,0(k 個(gè)矢量依次相接構(gòu)個(gè)矢量依次相接構(gòu)成一個(gè)成一個(gè)閉合閉合的多邊形的多邊形 . .N討論討論2.2. 同方向，不同頻率的兩個(gè)振動(dòng)的合成同方向，不同頻率的兩個(gè)振動(dòng)的合成11112222cos()cos()xAtxAt設(shè)兩振動(dòng)設(shè)兩振動(dòng)1212122coscos22xxxA

18、tt合振動(dòng)合振動(dòng)為簡單計(jì)算，又不失一般性，為簡單計(jì)算，又不失一般性，121120AAA令令n討論討論 若若2 21 1，2222coscos2xAtAAt 若若2 2 1 1， 2 2 1 1 2coscoscos2xAttAt 2cos2AAt 這是隨時(shí)間緩慢變化的周期變量n討論討論p差拍差拍：由于頻率相近的簡諧振由于頻率相近的簡諧振動(dòng)合成而產(chǎn)生的振幅作緩慢周動(dòng)合成而產(chǎn)生的振幅作緩慢周期性變化的現(xiàn)象稱為，簡稱期性變化的現(xiàn)象稱為，簡稱拍拍。p拍的周期拍的周期 T T拍拍，頻率，頻率v v拍拍由由 2Acos(21)t/2 變化的周期變化的周期滿足滿足 21 T拍拍 / 2即得即得 T拍拍 =

19、2/ 21 v拍拍 21 / 2= v2v1 差拍差拍u 兩個(gè)同方向不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個(gè)的兩個(gè)同方向同方向簡諧運(yùn)動(dòng)的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍拍. .合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112討論討論 , , 的情況的情況 ttAx22cos)22cos2(12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 合振動(dòng)合振動(dòng)2212T121TtAA2

20、2cos2121122)(211max2AA0minA合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率拍頻拍頻（振幅變化的頻率）（振幅變化的頻率）3.3. 相互垂直同頻率簡諧振動(dòng)的合成相互垂直同頻率簡諧振動(dòng)的合成1122cos()cos()xAtyAt設(shè)兩振動(dòng)設(shè)兩振動(dòng)22221212212122cos()sin ()xyxyA AAA解得運(yùn)動(dòng)軌跡解得運(yùn)動(dòng)軌跡（橢圓方程）（橢圓方程）橢圓的形狀由 決定21(-) u 兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的合成)(sin)cos(21221221222212AAxy

21、AyAx 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡1 1） 或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao （橢圓方程）（橢圓方程） 討論討論yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動(dòng)動(dòng)合合成成圖圖簡簡諧諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的合合成成圖圖兩兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差4.4. 相互垂直，不同頻率簡諧振動(dòng)合成相互垂直，不同頻率簡諧振動(dòng)合成n若頻率成簡單的整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)將沿一條穩(wěn)定的若頻率成

22、簡單的整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)將沿一條穩(wěn)定的閉合曲線進(jìn)行，曲線的形狀由分振幅、初相、初相閉合曲線進(jìn)行，曲線的形狀由分振幅、初相、初相差 和 頻 率 比 決 定 。 這 種 曲 線 稱 為差 和 頻 率 比 決 定 。 這 種 曲 線 稱 為 利 莎 如利 莎 如（LissajousLissajous）圖形。圖形。u 兩相互垂直不同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成兩相互垂直不同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)的合成)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201測量振動(dòng)頻率測量振動(dòng)頻率和相位的方法和相位的方法李李 薩薩 如如 圖圖5.5. 振動(dòng)的分解與頻譜分析振動(dòng)的分解與頻譜分析（1 1）周期運(yùn)動(dòng)的分解

23、）周期運(yùn)動(dòng)的分解 n任一周期為任一周期為T T的運(yùn)動(dòng)可分解為一系列頻率為的運(yùn)動(dòng)可分解為一系列頻率為2/ T 2/ T 的整數(shù)倍的簡諧振動(dòng)。的整數(shù)倍的簡諧振動(dòng)。（1 1）周期運(yùn)動(dòng)的分解）周期運(yùn)動(dòng)的分解011( )cossin2nnnnaftantbnt 式中：式中： 2/ T2/ T 稱為基頻，稱為基頻， n nn n 稱為諧頻。稱為諧頻。設(shè)周期運(yùn)動(dòng)設(shè)周期運(yùn)動(dòng) , , 則則( )()f tf tT01( )cos2nnnAftAnt （）或或以上是在時(shí)域空間描述 f (t)02An常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)為直流分量；為直流分量；nN N1 1的項(xiàng)的項(xiàng)為基頻成分為基頻成分; ;11c o s ()At 22c

24、 o s( 2)At 為二次諧頻成分；為二次諧頻成分；nN N2 2的項(xiàng)的項(xiàng)nN N項(xiàng)項(xiàng)c o s()nnAnt 為為n n次諧頻成分；次諧頻成分；（1 1）周期運(yùn)動(dòng)的分解（續(xù)）周期運(yùn)動(dòng)的分解（續(xù)）n當(dāng)當(dāng)f(t)f(t)確定，必有唯一的一確定，必有唯一的一組組a an n，b bn n，a a0 0或或A A0 0，A An n與之對應(yīng)與之對應(yīng)222( )22( ) cos( ) sintantTttTtTnnttnnnnnnaft dtTaftntdtbftntdtTTbAaba ， ， （1 1）周期運(yùn)動(dòng)的分解（續(xù)）周期運(yùn)動(dòng)的分解（續(xù)）n一組一組a an n，b bn n，a a0 0 或

25、或 A A0 0，A An n 是是f (t) f (t) 的頻譜。的頻譜。na an n，b bn n，a a0 0 是是f(t)f(t)在頻域空間的描述。在頻域空間的描述。n周期信號的頻譜是離散的。周期信號的頻譜是離散的。（2 2）非周期運(yùn)動(dòng)的分解）非周期運(yùn)動(dòng)的分解n非周期振動(dòng)，可視為非周期振動(dòng)，可視為TT，或，或00。此時(shí)，用傅立葉積。此時(shí)，用傅立葉積分（變換）進(jìn)行分解。分（變換）進(jìn)行分解。00( )() cos() sinftatdbtd 0( )() cos()f tAtd 或或22()()()(), tan()bAaba 11()( )cos,()( )sinaf ttdtbf t

26、tdt 式中式中 非周期信號的頻譜是連續(xù)的（3 3）頻譜分析）頻譜分析n頻譜信號的各階諧頻與振幅的對應(yīng)關(guān)系頻譜信號的各階諧頻與振幅的對應(yīng)關(guān)系n將信號的各階諧頻和振幅進(jìn)行分析就是頻譜分析將信號的各階諧頻和振幅進(jìn)行分析就是頻譜分析例例6.4 6.4 電視機(jī)產(chǎn)生的鋸齒波可描述為電視機(jī)產(chǎn)生的鋸齒波可描述為 f(t)=ht/T , 0tT其其n階諧波的振幅階諧波的振幅An和頻率和頻率n為為An=h/n，A0=hn=n=2n/Tn01234567n0234567Anhh/h/2h/3h/4h/5h/6h/7tT2T3T4T5T例例6.5 6.5 對單個(gè)矩形脈沖進(jìn)行頻譜分析對單個(gè)矩形脈沖進(jìn)行頻譜分析n脈沖函

27、數(shù)為脈沖函數(shù)為02( )2202tf thtt n頻譜函數(shù)為頻譜函數(shù)為sin2()2uFih n自由振動(dòng)自由振動(dòng)沒有外界能量補(bǔ)充的振動(dòng)沒有外界能量補(bǔ)充的振動(dòng)n阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在準(zhǔn)彈性回復(fù)力和阻力的作用下振動(dòng)系統(tǒng)在準(zhǔn)彈性回復(fù)力和阻力的作用下, , 振幅隨振幅隨時(shí)間衰減的振動(dòng)時(shí)間衰減的振動(dòng)n阻尼方式阻尼方式摩擦阻尼摩擦阻尼 、輻射阻尼、輻射阻尼6.3 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振1.1. 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)1.1. 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)的微分方程阻尼振動(dòng)的微分方程( (以彈簧振子為例）以彈簧振子為例）fx 設(shè)設(shè)0k m 其中其中2m稱為阻尼因數(shù)稱為阻尼因數(shù)即即220220d xdxxdtdt

28、則則22d xFkxxmdt 其解為其解為1212ttxA eA e 1.1. 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)22102220 n討論討論 0 0 過阻尼振動(dòng)過阻尼振動(dòng)(12( )ttx tAeA e ）220 其中其中 A A1 1 ，A A2 2 可由初始條件決定，此時(shí)沒有振動(dòng)現(xiàn)象?？捎沙跏紬l件決定，此時(shí)沒有振動(dòng)現(xiàn)象。12()itittxA eA ee 取實(shí)部取實(shí)部22221020ii ， 0 0 欠阻尼振動(dòng)欠阻尼振動(dòng)1.1. 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)2220 0cos()txA et 220000vxAx 1000vxtgx 式中：式中： 1 1 時(shí)，所有的曲線都有一個(gè)峰，這就是共振峰。時(shí)，所有的曲線都有一個(gè)

29、峰，這就是共振峰。 品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù) Q Q 越大，曲線的峰越明顯。共振峰處越大，曲線的峰越明顯。共振峰處0p 6.4 二自由度振動(dòng)體系與簡正模n一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)可視為由多個(gè)彈簧振子耦合在一一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)可視為由多個(gè)彈簧振子耦合在一起的系統(tǒng)，各振子有不同的固有頻率，整個(gè)系統(tǒng)起的系統(tǒng)，各振子有不同的固有頻率，整個(gè)系統(tǒng)將怎樣運(yùn)動(dòng)？將怎樣運(yùn)動(dòng)？n系統(tǒng)可能以統(tǒng)一的頻率振動(dòng)，統(tǒng)一的頻率由什么系統(tǒng)可能以統(tǒng)一的頻率振動(dòng)，統(tǒng)一的頻率由什么決定？決定？1.1. 問題的提出問題的提出2.2. 簡諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示簡諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示0000()( )cos()( )itiititiftAtftA eA eeA eAA

30、e 簡諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)形式簡諧振動(dòng)的復(fù)數(shù)形式若若f f (t)(t)表示位移，則速度和加速度為表示位移，則速度和加速度為222()itdfviA eifdtdfdfaiiiffdtdt 3.3. 舉例舉例例例6.7 6.7 圖為線形三原子分子圖為線形三原子分子A A2 2B B的模型。假定相鄰原的模型。假定相鄰原子間的結(jié)合力是彈性力，它們正比于原子間距，求分子間的結(jié)合力是彈性力，它們正比于原子間距，求分子可能的縱向運(yùn)動(dòng)形式和相應(yīng)的振動(dòng)角頻率。子可能的縱向運(yùn)動(dòng)形式和相應(yīng)的振動(dòng)角頻率?！窘饨狻繌淖蟮接以O(shè)三個(gè)原子的坐標(biāo)依次為從左到右設(shè)三個(gè)原子的坐標(biāo)依次為x x1 1、x x2 2、x x3 3，則它們的

31、運(yùn)動(dòng)方程為則它們的運(yùn)動(dòng)方程為21122222123223322();()();()ABCdxmkxxdtdxmkxxkxxdtdxmkxxdt 設(shè)解具有復(fù)數(shù)形式：設(shè)解具有復(fù)數(shù)形式：(1,2,3)i tjjxAej 代入上列方程，并消去公共因子代入上列方程，并消去公共因子e ei i t t，可得，可得212321232123()002()00()0AABBBAAkkAAAmmkkkAAAmmmkkAAAmm 該齊次方程組可解的條件是該齊次方程組可解的條件是2220200AABBBAAkkmmkkkmmmkkmm 222222() ()2()0ABAABkkkkmmmm m 即即22220ABAABkkmmmmm () 因式分解，得因式分解，得由此得到由此得到2的三個(gè)根：的三個(gè)根：222122ABAABkkmmmm m () ，將三個(gè)將三個(gè)2的根代回聯(lián)立方程組，得原子振幅的比例關(guān)系的根代回聯(lián)立方程組，得原子振幅的比例關(guān)系1322132313202BAAAAAAmmAAAA ,(/) ：n零頻零頻3 3代表分子剛性平動(dòng)；代表分子剛性平動(dòng)；n1 1代表中央原子代表中央原子2 2不動(dòng)，兩側(cè)原子不動(dòng)，兩側(cè)原子1 1和和3 3相對運(yùn)動(dòng)；相對運(yùn)動(dòng)；n2 2代表兩側(cè)原子代表兩側(cè)原子1 1和和3 3相對靜止，它們整體與原子相對靜止，它們整體與原子2 2作相對運(yùn)作相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)以上實(shí)