微積分課件：9-7 傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)

1、一、問題的提出一、問題的提出二、三角級(jí)數(shù)二、三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)四、小結(jié)四、小結(jié) 第七節(jié)第七節(jié) 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)一、問題的提出一、問題的提出非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù):矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)不同頻率正弦波逐個(gè)疊加不同頻率正弦波逐個(gè)疊加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt tFsin4 )3sin31(sin4ttF )5sin513sin31(sin4tttF )7sin715sin513sin31(sin4ttttF )7sin

2、715sin513sin31(sin4)( tttttF )0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttF 二、三角級(jí)數(shù)二、三角級(jí)數(shù) 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性 10)sin()(nnntnAAtf1.1.三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)諧波分析諧波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA0 0nnnnn 1n 1a a(a cos nxb sin nx)(a cos nxb sin nx)2 2 ,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)2.2.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性,sin,cos,

3、2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:上的積分等于零上的積分等于零任意兩個(gè)不同函數(shù)在任意兩個(gè)不同函數(shù)在正交正交 , 0cos1 nxdx, 0sin1 nxdx三角函數(shù)系三角函數(shù)系, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)問題問題: :1.若能展開若能展開, 是什么是什么?iiba ,2.展開的條件是什么展開的條件是什么?1.1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)0 0kkkkk 1k 1a af(x)(a cos kxb sin k

4、x)f(x)(a cos kxb sin kx)2 2 若有.)1(0a求求0 0kkkkk 1k 1a af(x)dxdx(a cos kxb sin kx)dxf(x)dxdx(a cos kxb sin kx)dx2 2 0 0a a , , 0 01 1af(x)dxaf(x)dx .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdx

5、xfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk, nb0 0n nn n1 1af(x)dx;af(x)dx;1 1af(x)cos nxdx,(n1,2,)af(x)cos nxdx,(n1,2,)1 1bf(x)sin nxdx,(n1,2,)bf(x)sin nxdx,(n1,2,) 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)0 0nnnnn 1n 1a a(a cos nxb sin nx)(a cos nxb sin nx)2 2 問題問題: :0 0nnnnn 1n 1a af(x)?(a cos nxb sin nx)f(x)?(a cos

6、nxb sin nx)2 2 條件2.2.逐點(diǎn)收斂的充分條件逐點(diǎn)收斂的充分條件( (也稱也稱DirichletDirichlet充分條件充分條件) )處收斂于處收斂于例例1:1:0 0)(xf0 x,1 x0,12x則它的傅則它的傅里里葉級(jí)數(shù)在葉級(jí)數(shù)在x在在4x處收斂于處收斂于 .提示提示:f(f( )f()f( ) )2 2 2 22 22)4()4(ff2)0()0( ff211設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 ,xyo112 22 2例例2:2:寫出函數(shù)寫出函數(shù))(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù) .)(xS0, 1x x0

7、, 10 x,0 x,0答案答案: :xyo11)(xf例例3:3: 設(shè)設(shè)f f( (x x) )是周期為是周期為2 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù), ,它在它在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為),xxxf0,10,1)(解解: :先求傅先求傅里里葉系數(shù)葉系數(shù)n n1 1af(x)cos nx d xaf(x)cos nx d x ),2,1,0(0n將將f f( (x x) )展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). . oyx11n n1 1bf(x)sin nx d xbf(x)sin nx d x 00dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,

8、4n,0,5,3,1n當(dāng),6,4,2n當(dāng)xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于02112) 傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11說明:), 2, 1, 0(kkx當(dāng)f (x) 的情況見右圖.注意注意: : 對(duì)于非周期函數(shù)對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)如果函數(shù) 只在只在區(qū)間區(qū)間 上有定義上有定義,并且滿足狄氏充并且滿足狄氏充分條件分條件,也可展開成傅氏級(jí)數(shù)也可展開成傅氏級(jí)數(shù).)(xf, 作法作法: :),()()()2( xfxFT周周期期延

9、延拓拓)0()0(21 ff端點(diǎn)處收斂于端點(diǎn)處收斂于解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 拓廣的周期函數(shù)的傅拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開式在氏級(jí)數(shù)展開式在收斂于收斂于 .)(xf, xy0 2 2 )(處處連續(xù)處處連續(xù)xf nxdxxfancos)(10 02 2x cos nxdxx cos nxdx )1(cos22 nxn), 2 , 1( 1)1(22 nnn 0 01 1a af f( (x x) )d dx x 0 02 2xdxxdx , , , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1, 0

10、12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為利用傅氏展開式求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和利用傅氏展開式求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 222513118,6141212222 ,41312112223 ,44212 ,243212 21 ,62 132.122 ,4131211222 設(shè)設(shè)),8(513112221 播放播放1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義

11、傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)思考題思考題 若函數(shù)若函數(shù))()(xx ，問：，問：)(x 與與)(x 的傅里葉系數(shù)的傅里葉系數(shù)na、nb與與n 、n ), 2 , 1 , 0( n之間有何關(guān)系？之間有何關(guān)系？思考題解答思考題解答 nxdxxancos)(1 )()cos()(1tdntt nxdxx cos)(1 nxdxx cos)(1n ), 2 , 1 , 0( n nxdxxbnsin)(1 )()sin()(1tdntt nxdxx sin)(1 nxdxx sin)(1n ), 2 , 1( n,nna .nnb 一、一、 設(shè)周期為設(shè)周期為 2的周期函數(shù)的周期函數(shù))

12、(xf在在), 上的表達(dá)式上的表達(dá)式為為)0(0,0,)( baxaxxbxxf常數(shù)常數(shù)試將試將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)其展開成傅里葉級(jí)數(shù) . .二、二、 將下列函數(shù)將下列函數(shù))(xf展開成傅里葉級(jí)數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù): : 1 1、 xxexfx0 , 10,)(； 2 2、)sin(arcsin)( xxf. .練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、)(4)(baxf 112sin)()1(cos)()1(1 nnnnxnbanxnab ), 2, 1, 0,)12( nnx. .二、二、1 1、nxneexfnncos1)1(1121)(12 nxnnennnnsin)1(11)1(112 ( ( x) )練

13、習(xí)題答案練習(xí)題答案2 2、),(sin2)1()(11 nxnxfnn. . ( (提示提示: : xxxxf,)sin(arcsin)() )四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概

14、念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小

15、結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)

16、數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數(shù)的非周期函數(shù)的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級(jí)數(shù)的意義傅氏級(jí)數(shù)的意義整體逼近整體逼近四、小結(jié)四、小結(jié)1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數(shù)；傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周