微積分課件：第六章多元函數(shù)微分學習題(1)

1、6.1多元函數(shù)的基本概念p.13一.填空題p1322241.ln(1)xyzxy 的的定定義義域域是是. .222( , )(1,)xyyf x yfxyx 2.2.設(shè)設(shè), ,則則. .3(1),1,zyfxyzx3.3.設(shè)設(shè)且且當當時時則則( , )(0,0)( , )(0,0)24sin4.lim,lim,x yx yxyxyxyx14 ( , )(0,0)11lim( sinsin).x yxyyx22201,4yxyx2220 xyxxy ( ),.f xz3(1)x -1-11yx00 0222.5.2yxzyx p13.p13.一一函函數(shù)數(shù)在在間間斷斷22yx 二.計算題p131.

2、ln ln(),zxyx求求的的定定義義域域 并并畫畫出出定定義義域域草草圖圖. .ln()0,xyx解解 ( , )|0,1( , )|0,01.x yxyxx yxyx1yx0y x xy1 1O定定義義域域為為3313.2.(,),( , ).pf xy xyxyf x y設(shè)設(shè)求求2,2uvxuxyvxyuvy 解解 令令3322( , )()()(3)224uvuvvf u uuv23223( , )(3).44yx yyf x yxy .14.3.:p二二求求下下列列極極限限( , )(1,0)ln(1)(1)limx yxyy ( , )(1,0)( , )(1,0)ln(1)li

3、mlim1.x yx yxyxxxy 解解 原原式式22( , )(0,0)lim.|x yxyxy (2) (2) 222(|) , xyxy解解 222(|)0|,|xyxyxyxyxy( , )(0,0)lim(|)0,x yxy22( , )(0,0)lim0.|x yxyxy 三.證明下列極限不存在p14三三. .證證明明下下列列極極限限不不存存在在: :220()1lim,xxxkxkxk 原原式式( , )(0,0)1.limx yxyxy ; ;2(0),yxkxk 證證明明 取取則則,k對對不不同同的的取取不不同同的的極極限限值值, ,.原原極極限限不不存存在在224( ,

4、)(0,0)2.lim,x yxyxy 2(0),xkyk證證明明 取取則則42420lim,(1)1ykykkyk原原式式,k對對不不同同的的取取不不同同的的極極限限值值, ,.原原極極限限不不存存在在222222( , )(0,0)1cos()14.3.lim,()x yxypxyx y 2222( , )(0,0)lim2x yxyx y 證證明明 原原式式22( , )(0,0)111lim(),2x yyx .原原極極限限不不存存在在6.2偏導數(shù)p.15一.填空題p151.( , )( , )f x ya b設(shè)設(shè)在在處處偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在, ,則則arctan,;.xyzzzxyx

5、y2.2.設(shè)設(shè)則則3.(1) ,yzzxyx 設(shè)設(shè)則則0(, )(, )lim.xf ax bf ax bx .zy 2( , )xfa b22yxy 22xxy 21(1)yyxy (1) ln(1)1yxyxyxyxy 22224.ln,0,0.xxyyzxyxyzz設(shè)設(shè)則則當當時時221()(2,4,5)44zxyMy 5.5.曲曲線線在在點點處處的的切切線線6.( , )( , )xyyxfx yfx y若若與與均均連連續(xù)續(xù), ,則則恒恒有有( , )( , )xyyxfx yfx y .x與與 軸軸正正向向所所成成的的傾傾角角為為4 二.計算題p15.二二 計計算算題題; ;解解 2

6、sin()( ,),.zzxaxbya bx y 1. 1.設(shè)設(shè)為為常常數(shù)數(shù) 求求sin()cos(),zaxbyaxaxbyx 2cos()sin().zbaxbyabxaxbyx y 2.,.xxxyyxyzyzzz 設(shè)設(shè)求求和和解解2ln ,(ln ) ,xxxxxzyyzyy12,(1),xxyyyzxyzx xy111ln(1ln ).xxxxyzxyyyyxyy2222223.,(0)uxyzxyz設(shè)設(shè)222,xxuxyz 解解 2232222,()xxyzuxyz 2232222,()yyxzuxyz 2232222,()zzxyuxyz 22222.xxyyzzuuuuxyz

7、+ + .xxyyzzuuu求求4.,.xxyyzzxuzarctanuuuy設(shè)設(shè)求求解解 222222,()xxxyzxyzuuxyxy 222222,()yyyxzxyzuuxyxy arctan,0,zzzxuuy0.xxyyzzuuu三.計算題p162221.,0urxyzr三三 設(shè)設(shè)233513,xxxxxuurrr 解解 2235351313,yyzzyzuurrrr 0.xxyyzzuuu0.xxyyzzuuu求求證證6.3.全微分p.17一.填空題p17221.( , ),)() ,zf x yxy 若若可可微微 且且則則002.( , )(,)zf x yxy 函函數(shù)數(shù)在在點

8、點處處連連續(xù)續(xù)和和存存在在偏偏導導數(shù)數(shù)是是00(,)xy它它在在處處可可微微的的 條條件件. .0lim.zdz 3.( , )( , ),( , )xyf x yfx yfx y函函數(shù)數(shù)的的偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)是是函函數(shù)數(shù)( , ).f x y 可可微微的的條條件件0必必要要充充分分4.,1,1,0.15,0.1xyzexyxy 設(shè)設(shè)則則當當時時,.dzz 225.yzdzxy 設(shè)設(shè), ,則則16.( , , )() ,(1,1,1).zxf x y zdfy設(shè)設(shè)則則2227.,.xdxydyzdzduuxyz若若則則1.265ee 32222()()xyx dyxydx dxdy 222x

9、yzc4e二.計算題p171.( , ) |( , ),( , )(0,0)f x yxyx yx y設(shè)設(shè)其其中中在在的的某某, ),(0,0),xx yf 個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,問問: (: (滿滿足足什什么么條條件件(0,0)?yf存存在在0(,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx 解解 0|(,0)lim(0,0),xxxx (0,0)0,(0,0);xf 當當時時存存在在,(0,0)0,(0,0)yf 同同理理當當時時存存在在. .2218.2.( , ),(1,2).ypf x yxyf設(shè)設(shè)求求2 ,(1,2)4.yyfyf解解 21,(1, )1,(1, )2 ,y

10、xfxyfyy 解解法法2. 2. 令令得得(1,2)4.yf21sin()03.( , ),(0,1).00 xx yxyxyf x yfxy 設(shè)設(shè)求求0(0,1)(0,1)(0,1)limxxfxffx 解解 201sin()limxxxx 220sin()lim1.()xxx 344.ln( 1.030.981).利利用用全全微微分分計計算算的的近近似似值值34( , )ln(1),f x yxy解解 設(shè)設(shè)232433441134( , ),( , ),11xyxyfx yfx yxyxy 11(1,1),(1,1),34xyff3411ln( 1.030.981)0.030.020.0

11、05.34222222221()sin0( , )00 xyxyxyf x yxy 三三. .設(shè)設(shè), ,問問( , )(0,0)?f x y(1)(1)在在處處是是否否可可微微 為為什什么么( , ),( , )(0,0)xyfx yfx y(2)(2)在在處處是是否否連連續(xù)續(xù)? ?為為什什么么? ?解解 (1) (1)可可微微. .22001sin( ,0)(0,0)limlim0,xxxf xfxxx 22001sin(0, )(0,0)limlim0,yyyfyfyyy (0, 0 )(0, 0 )0,xyff 0(0,0)(0,0)limxyzfxfy (2)(,),(,)(0,0).

12、xyfx yfx y 在在處處不不連連續(xù)續(xù)220,xy當當時時222222121( , )2 sincos,xxfx yxxyxyxy201limsin0, 22021,limcos.22xxyxxx 取取時時不不存存在在( , )(0,0),xfx y在在處處不不連連續(xù)續(xù)( , )(0,0)yfx y同同理理 在在處處不不連連續(xù)續(xù). .6.4復合函數(shù)的求導法則p.19一.填空題p19231.,sin ,xyzext yt 設(shè)設(shè)而而.dzdt 則則( , , ),( , ),( ),uf x y z zx yyx2.2.設(shè)設(shè) , ,f 其其中中均均可可微微 則則(2)(1)( ),zf xyc

13、c3.3.設(shè)設(shè) 則則.xxyyxxz zz zdudx 32sin2(cos6)tttte ( )( )xyzxyffxfx024.( , ),( ,2 ),( ,2 ),xf x yf xxx fxxx設(shè)設(shè)可可微微 且且則則( ,2 ).yfxx ( ,2 )( ,2 )2( ,2 )1.xyfxxfxxfxx 分分析析 5.( , ),( ) ,( ,( , ),(1,1)1,f x yxf x f x f x xf 設(shè)設(shè)可可微微 且且(1,1),(1,1),(1).xyfa fb 則則212x 23aababb二.計算題p1922221.,.vxyzzzu uevx yxx設(shè)設(shè)求求223

14、3(),xyx yx yzee 解解 33233,x yzx y ex 3324632(96)x yzex yxyx 333333(32).x yxy ex y2(2)2.( , , ),.yzzzf u x yCuxex x y 設(shè)設(shè) 其其中中求求,yuxzfefx 解解 2()yyyuuuuyxuxyzeffxeffxefx y 2(2)20.3.(,)(),.xyzpzf xygf gCyxx y 設(shè)設(shè)其其中中求求1221(),zyfyfgxyx 解解 2111122()zxfy fxfx yy 221222211()xffxfyyy 2211yggxxx111222232311.xyf

15、xyfffggyyxx三.證明題(2).( , ),cos ,sin ,uf x yCxryr三三 設(shè)設(shè)證證明明: :22222222211uuuuuxyrrrr cossin ,uuurxy證證明明 1cossin,uuurrrxry22222cos (cossin )uuurxx y 222sin (cossin ),uuy xy 2222222cossin2sin,uuuxx yy (sin )cosuuurrxy 22222cossin (sin )cos )uuuurrrrxxx y 222sincos (sin )cos )uuurrrryy xy 222111cossinuuur

16、rxry 2222222222sinsin2cosuuurrrxx yy 22cossinuuurrxy 2222222sinsin2cosuuuxx yy 22222222211.uuuuurrrrxy 6.5隱函數(shù)求導公式p.21一.填空題p211.( , ),( , ),( , )( , , )0 xx y zyy z x zz x yF x y z設(shè)設(shè)都都是是由由.xyzyzx具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)不不為為零零的的函函數(shù)數(shù), ,則則2.220,xyzxyz設(shè)設(shè)則則,.zzxy3.ln,.xzdzzy設(shè)設(shè)則則1 yzxyzxyzxy 2xzxyzxyzxy 2()zzdxdyxzy

17、 xz 21.4.2sin(23 )23 ,pxyzxyz設(shè)設(shè)則則.zzxy (1)5.( , )( , )(-,-)0F u vCzz x yF cx az cy bz設(shè)設(shè), ,是是由由,.zzabxy確確定定 則則1c二.計算題:p212221.1.,.zzzpxyzexx設(shè)設(shè)求求( , , ),zF x y zxyze解解 令令( , , )1,xFx y z ( , , )1,yFx y z ( , , )1,zzF x y ze 1,1xzzFzxFe 22231().1(1)(1)zzxzzzzezexxeee 23321.2.3a ,.zpzxyzx y 設(shè)設(shè)求求33( , ,

18、)3,F x y zzxyza解解 令令( , , )3,xFx y zyz ( , , )3,yFx y zxz 2( , , )33,zF x y zzxy2,xzFzyzxFzxy 2,yzFzxzyFzxy 252232232().()yzyzzx y zxyzx yzxyzxy 2221.3.ln0,.xtyzpzzedtx y 設(shè)設(shè)求求2( , , )ln,xtyF x y zzzedt 解解 令令2( , , ),xxFx y ze 2( , , ),yyFx y ze 11( , , )1,zzF x y zzz 2,1xxzFzzexFz 2,1yyzFzzeyFz 2222

19、3().1(1)xxyyzzezex yzz 三.證明題:p221.( , ),:(,)0zzF u vF xyyx設(shè)設(shè)可可微微 求求證證 由由方方程程確確定定( , ).xyzz x yxzyzzxy的的滿滿足足: :1.( , , )(,),zzG x y zF xyyx證證明明 令令121222(),GzzFFFFxxx 122,GzFFyy 1211,GFFzyx xyGGyxxzyzxyGGzz 1222121212,1111,zzFFFFyxxyFFFFyxyx 211212()().z yFxFxy xFyFzxyxFyF 2.( , ),( , , )0, ,yf x ttF

20、x y tx y設(shè)設(shè)而而 是是由由方方程程所所確確定定(1),:.xttxtytf Ff Fdyf FCdxf FF 的的函函數(shù)數(shù) 其其中中, ,求求證證2.證證明明 利利用用全全微微分分形形式式不不變變性性( , ),( , , )0yf x tF x y t ( , )( , ),( , , )( , , )( , , )0 xtxytdyfx t dxf x t dtFx y t dxFx y t dyF x y t dt ( , )( , ),( , , )( , , )( , , )0 xtxytdydtfx tf x tdxdxdydtFx y tFx y tF x y tdxdx

21、 .xtxtttyf FF fdydxFf F 解解得得 6.6-6.7方向?qū)?shù)與梯度、多元函數(shù)微分學的幾何應(yīng)用p.23-24一.填空題p2321.3(1,2)zxxyMx函函數(shù)數(shù)在在點點處處沿沿 軸軸正正向向的的方方向向?qū)?Mzx 數(shù)數(shù)2.(5,1,2)(5,1,2)(9,4,14)uxyz 函函數(shù)數(shù)在在點點處處沿沿從從點點到到點點.的的方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù)為為3. ( , , )arctan,grad(1,1,1).xf x y zzfy則則8981311( ,)22 4 4.sin ,1cos ,4sin2txtt yt z曲曲線線上上點點(1,1,2 2)2M 處處的的切切線

22、線方方程程是是法法平平面面方方程程是是.;.或或112 22112xyz (1)(1)2(2 2)02xyz 242xyz 225.(1,1,2)0zxyMxyz 曲曲線線上上點點處處的的切切線線方方程程是是23.6.3(1,1,1)pxyzxyzM曲曲面面上上點點處處的的;切切平平面面方方程程是是.法法平平面面方方程程為為.112110 xyz 0 xy3xyz.法法線線方方程程是是xyz7.(2,1,2)zxyM 曲曲面面上上點點處處的的切切平平面面方方程程是是;.法法線線方方程程為為212121xyz 220 xyz二.計算題p232222.23.1.1(,)22xyabpzab求求函函

23、數(shù)數(shù) 在在點點處處沿沿曲曲線線22221xyab 在在該該點點的的內(nèi)內(nèi)法法線線方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù). .22220,Axyybyaba 解解1. 1. ,bka 內(nèi)內(nèi)法法線線的的斜斜率率為為02222(,)(), banabab 第第三三象象限限222222(,)(,),Axyzabab 22002(). abzz nabn 2222.23.1.( , )1,xypF x yab解解法法2. 2. 令令222222(,)(,),Axynabab 內(nèi)內(nèi)02222(,)(), banabab 第第三三象象限限222222(,)(,),Axyzabab 22002(). abzz nabn

24、(1)2222.( ),0,grad( ).f rCrxyzf r設(shè)設(shè)求求grad( )( )(). xyzf rfrijkrrr 解解 grad( ).f r注注 是是向向量量意意2222222333.( ,)2223xyzaaaM axyax 求求曲曲線線在在點點處處的的切切線線方方程程及及法法平平面面方方程程. .12( ,2 ,3 )2 (1, 2, 3).Mnxyza解解 22(,2 ,0)2 (0, 2,0).Mnxaya(1, 2, 3)(0, 2,0,)2(3,0,1), T 32.013aazyxa 所所求求切切線線方方程程為為 3()()0.3axaz法法平平面面方方程程為

25、為 4.3(2,1,0)zezxyM求求曲曲面面上上點點處處的的切切平平面面方方程程與與法法線線方方程程. .( , ,1)(1,2,0).zMny x e解解 (2)2(1)0,xy切切平平面面方方程程 21.120 xyz法法線線方方程程 240;xy或或 5.zxy 在在曲曲面面上上求求一一點點, ,使使這這點點處處的的法法線線垂垂直直于于390.xyz平平面面 并并寫寫出出該該法法線線方方程程00000(,),(, 1)/(1,3,1).MM xy znyx解解 設(shè)設(shè)則則 000001,3,1,3;131yxxyz ( 3, 1,3),M 所所求求點點為為313.131xyz法法線線方

26、方程程 三.證明題p24(0)xyza a三三. .試試證證: :曲曲面面上上任任一一點點處處.a的的切切平平面面在在各各坐坐標標軸軸上上的的截截距距之之和和等等于于000(,),M xy z證證明明 用用表表示示曲曲面面上上的的點點 則則該該點點處處的的000111(,),222nxyz 法法向向量量 000000111:()()()0,xxyyzzxyz切切平平面面000:,xyzaxyz或或000:1,xyzaxayaz截截距距式式為為000().axyza截截距距之之和和為為 6.8多元函數(shù)的極值p.2526一.填空題p2522230p25.1.(1,1,1)23540 xyzxMxy

27、z 曲曲線線在在點點處處的的單單位位.切切向向量量為為2222.316( 1, 2,3)xyz旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)橢橢球球面面上上點點處處的的.xoy切切平平面面與與面面的的夾夾角角的的余余弦弦為為 223.( , )22(1, 1)f x yxaxxyy若若函函數(shù)數(shù)在在點點,.a 處處取取得得極極小小值值 則則常常數(shù)數(shù)1(16,9, 1)3383225 (2)4.( , ),22,21,xyf x yCfxyfyx已已知知2,1,2,(1,0)( , )xxxyyyffff x y 則則點點是是.的的點點225.( , )4()f x yxyxy使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極大大值值的的點點是是 , ,其其極

28、極大大值值是是 . .(2, 2) 8極極小小值值二.計算題p2522.25.1.( , )(2 ).xpf x yexyy二二求求函函數(shù)數(shù)的的極極值值2221(1224 )0,2(22)01xxxyfexyyxfeyy 解解 令令得得221(4448 ),( , 1)2 ,2xxxxxfexyyAfe21(44),( , 1)0,2xxyxyfeyBf212,( , 1)2 ,2xyyyyfeCfe2210,40,( , 1)22eAACBef 為為極極小小值值. .22.25.2.( , )23pf x yxxyyD二二求求函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域 上上( 1,1),(2,1),DAB 的的最

29、最大大值值與與最最小小值值, ,其其中中 是是以以點點( 1,2).C 為為頂頂點點的的閉閉三三角角形形區(qū)區(qū)域域22 ,26 ,xyfxy fxy解解,0,0,xyDff在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)0,( , )xff x yAC的的最最小小值值在在上上取取到到, ,Oxy( 1,1)A (2,1)B( 1,2)C 0 xy 30 xy D( , ),f x yBC的的最最大大值值在在上上取取到到.25.2.p二二續(xù)續(xù)0,( , )yff x yAB的的最最小小值值在在上上取取到到, ,( , ),f x yBC的的最最大大值值在在上上取取到到( , )( 1,1)2,f x yAf在在 點點取取到到最

30、最小小值值21(252),( 12),3BCfxx 在在上上 221( , )(252)11,3xf x yBCx 在在上上的的最最大大值值為為51:,( 12),33BCyxx ,( 1,1)2,(2,1)11ff綜綜上上討討論論為為最最小小值值為為最最大大值值. .26.3.pa二二求求內(nèi)內(nèi)接接于于半半徑徑為為 的的球球且且有有最最大大體體積積的的長長方方體體. .2 ,2 ,2 ,xyz解解 設(shè)設(shè)長長方方體體的的長長, ,寬寬, ,高高分分別別為為則則22228,Vxyzxyza且且 2222(),Fxyzxyza 作作 2020,320 xyzFyzxaFxzyxyzFxyz 令令得得

31、3max8 3,.93aVa當當長長寬寬高高時時.26.4.1.pzxyxy二二求求函函數(shù)數(shù)在在附附加加條條件件下下的的極極大大值值(1),Fxyxy 解解 令令 01,02xyFyxyFx 再再由由得得1 11 11( , ),( , ).2 22 24z唯唯一一駐駐點點為為為為極極大大值值22222.25.5.62zxypzzxy 二二求求曲曲線線上上的的點點 坐坐標標的的,.最最大大 最最小小值值222222222222262622,4zxyxyzxyzxyxyzx 解解 202,24,xzminmax2,4.zz.25.5.p二二續(xù)續(xù)2222222222,6262zxyxyzxyzxy

32、解解2. 2. 222262(2),Fxyxy 作作 1112,0,2,yx 得得 2221,0,2,xy 22420,2,220 xyFxxxyFyy 令令 與與聯(lián)聯(lián)立立minmax2,4.zz三.證明題p26.26.p三三(1)( , ),:(,)0F u vCF pxmz pynz設(shè)設(shè)證證明明 曲曲面面(, , )sm n p 上上任任意意點點處處的的切切平平面面與與方方向向向向量量為為.的的直直線線平平行行( , , )(,),G x y zF pxmz pynz證證明明 令令 1212(,)(,)xyznG G GpF pFmFnF1212()0, n smpFnpFpmFnFs曲曲

33、面面上上任任意意點點處處的的切切平平面面與與方方向向向向量量為為 的的直直線線平平行行. .習題課p.27一.填空題p2722222220p.27.1.( , ),(0,0)0 x yxyf x yxyAxy 一一設(shè)設(shè)在在點點處處連連續(xù)續(xù), ,.A 則則2. ( , )|,(0,0),(0,0).xyf x yxyff000(1)3.()(1) ln ,yzxfxyx fCx設(shè)設(shè)22.xxyyx zy z則則(1)y x (1)p.27.4.(),xazybzC設(shè)設(shè)則則.zzabxy1abab 5.( ),( )( ),( ),xyzf uuup t dtu 設(shè)設(shè)可可微微其其中中連連續(xù)續(xù)( )

34、1, ( ),( )( ).zzup tp yp xxy 且且連連續(xù)續(xù) 則則 0( )5.( )( ),1( )uup xup xxxu 解解 ( )( )( ),1( )uup yup yyyu ( )( ) ( )( )( )( ),1( )zup y fu p xp yp y fuxxu ( )( ) ( )( )( )( ),1( )zup x fu p yp xp x fuyyu ( )( )0.zzp yp xxy222p.27.6.231(3,2,3)xyz 原原點點到到橢橢球球面面上上點點.d 處處的的切切平平面面的的距距離離2227.0,rxyz設(shè)設(shè).ngradr 則則 12

35、222()() nn xyzxiy jzk 或或3172nnrr 二.計算題p27.27.p二二 計計算算題題222422201.( ),(1) ( , )(0,0)00 x yxyf xf x yxyxy 設(shè)設(shè)問問在在(2)(0,0),(0,0)?xyff處處是是否否連連續(xù)續(xù), ,為為什什么么? ? 是是否否存存在在(3) ( , )(0,0)?f x y 在在處處是是否否可可微微 為為什什么么? ?22422242000(1)limlim,(1)1xxyykxx ykxkxykxk 取取解解,( , )(0,0).f x y極極限限不不存存在在在在處處不不連連續(xù)續(xù).27.(2)p從從定定義

36、義出出發(fā)發(fā)求求偏偏導導數(shù)數(shù)(0,0)(0,0)0;xyff(3)( , )(0,0), f x y 在在處處不不連連續(xù)續(xù)( , )(0,0)f x y在在處處不不可可微微. .222.28.2.( , , )()()()pf x y zxyyzzx二二函函數(shù)數(shù)(2, 1,2)?M 在在點點處處增增加加最最快快的的方方向向是是哪哪個個方方向向f函函數(shù)數(shù) 在在該該點點沿沿上上述述方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù)是是什什么么? ?( , )2(2),xfx yxyz解解 2(2),( , )2(2 ),yzfxyzfx yxyz (2, 1,2),grad(10,4,10),Mfl在在處處( , , )

37、(2, 1,2)(10,4,10)f x y zM 函函數(shù)數(shù)在在點點處處沿沿方方向向增增加加最最快快, ,方方向向?qū)?shù)數(shù)為為222|grad(2, 1,2)|104106 6.ffl 222.28.3.14zpxy二二在在橢橢球球面面的的第第一一卦卦限限上上求求一一點點, ,使使橢橢球球面面在在該該點點處處的的切切平平面面在在坐坐標標軸軸上上的的截截距距的的平平方方和和最最小小. .0000(,),Mxy z解解 設(shè)設(shè)為為橢橢球球面面第第一一卦卦限限上上的的點點00002(,),4znxyM 處處的的切切平平面面方方程程為為000000()()()04zxxxyyyzz0001,4z zx

38、xy y化化簡簡為為2221116( , , ),f x y zxyz截截距距的的平平方方和和為為2222221116( , , )(1),4zF x y zxyxyz 作作333222220220,:16,320214xyzFxxFyyzFzzxy 令令解解得得1 1( , 2),2 2M所所求求的的點點為為16.F最最小小值值三.證明題p28.28.1.( ),:()ypf uzxfx 三三設(shè)設(shè)可可微微 求求證證 曲曲面面上上任任意意點點( , , ). M x y zOM處處的的法法線線恒恒垂垂直直于于向向徑徑()(),(),zyyyzyfffxxxxyx證證明明 (, 1),ynfff

39、x0, n OMxfyfyfz. nOM22.28.2.( , )222,pf x yAxBxyCyDxEyF三三設(shè)設(shè)2000,0,:(,)ABACxy且且證證明明 存存在在唯唯一一點點使使00(,)( , ).f xyf x y為為的的極極小小值值2220,2220 xyfAxByDfBxCyE 證證明明 令令得得唯唯一一駐駐點點000022(,),DCBEAEBDxyxyBACBAC其其中中20,2 ,2 ,xxxyyyfAfB fC又又22(2 )(2 )(2 )4()0,BACBAC且且00(,)( , ).xyf x y唯唯一一駐駐點點為為的的極極小小值值點點習題課(課外作業(yè)p.29

40、)一.填空p292p.29.1.(),0,zxyf xyyzx一一已已知知且且當當時時則則( ),f x 22001cos2.lim.xyxyxy 2xx 00000003.( , )(,)(,)(,)xyf x yxyfxyfxy函函數(shù)數(shù)在在點點處處可可微微是是與與.存存在在的的條條件件充充分分22222()2xyyxyxyy.z (1)p.29.4.sin( ),sinsin ,zxF uuyx FC設(shè)設(shè)其其中中secsec.zzxyxy則則1235.20,.zzxzyx y 設(shè)設(shè)則則222226.( ),.x ayx ayzzzf t dt faxy 設(shè)設(shè)可可導導 則則 22364(32

41、 )zxzx 022221.29.7.,0,puxrxyzr一一設(shè)設(shè)則則grad.u 31( , , )(2 ,0,0)x y zxr2228.232248,xyzxyxzyz在在曲曲面面上上 切切平平面面.xOy平平行行于于面面的的點點是是(0,2 2, 2 2),(0, 2 2,2 2)二.計算題p.29.29.p二二. .計計算算題題. .22222222|sin()01.( , ),00 xyxyxyf x yxyxy 設(shè)設(shè)問問(1) ( , )(0,0)f x y 在在處處是是否否連連續(xù)續(xù)? ? (3) ( , )(0,0)?f x y 在在處處是是否否可可微微 為為什什么么? ?2

42、22200sin()(1)lim |0(0,0),xyxyxyfxy 解解( , )(0,0).f x y在在處處連連續(xù)續(xù)(2)(0,0),(0,0)?xyff是是否否存存在在.27.(2)p從從定定義義出出發(fā)發(fā)求求偏偏導導數(shù)數(shù)(0,0)(0,0)0;xyff(3)(0,0)(0,0)xyffxfy 2222|sin()() ()()x yxyxy ,xy 取取則則22001sin2()1limlim0,2()22xxx ( , )(0,0)f x y在在處處不不可可微微. .222222.30.2.42pxyzaxyay二二求求球球面面與與柱柱面面(0)( , , 2 )aM a aa 的的

43、交交線線在在點點處處的的切切線線方方程程與與法法平平面面方方程程. .1( , , 2 )(2 ,2 ,2 )2 (1,1, 2), a aanxyza解解 2( , , 2 )(2 ,22 ,0)2 (1,0,0), a aanxyaa(1,1, 2)(1,0,0)(0, 2, 1),s2012xayaza 切切線線方方程程為為 , ,2()(2 )0.yaza法法平平面面方方程程為為 20.yz或或 1.30.3.(2,1, ),3pM二二經(jīng)經(jīng)過過點點的的所所有有平平面面中中 哪哪個個平平面面與與三三個個坐坐標標平平面面所所圍圍成成的的立立體體體體積積最最小小. .1xyzabc解解 設(shè)設(shè)

44、平平面面方方程程為為 01211(2,1, ),1,33Mabc 平平面面過過1,6Vabc 目目標標函函數(shù)數(shù) 1211( , , )(1),63F a b cabcabc 令令 .30.3.p二二解解續(xù)續(xù)22212( , , )06611( , , )036,111( , , )063921113abcF a b cbcaaF a b cacbbcF a b cabcabc 由由 得得min16 3 13.6V 1.631xyz所所求求平平面面為為三.證明題p3022223333.30.1.:pxyza三三證證明明 曲曲面面上上任任意意點點處處的的切切平平面面在在坐坐標標軸軸上上的的截截距距

45、平平方方之之和和為為常常數(shù)數(shù). .000(,),M xy z證證明明 設(shè)設(shè)曲曲面面上上的的點點為為則則1113330002(,),3Mnxyz 111333000000()()()0,xxxyyyzzz切切平平面面為為2121213333330001,xyza xa ya z化化簡簡得得截截距距式式 422223333000().axyza截截距距平平方方之之和和為為常常數(shù)數(shù)2.30.2.( , )(52).xypf x yexy 三三證證明明: :函函數(shù)數(shù)無無極極值值2220(251)0,(1, 2)(24)0 xyxxyyfexxyxMfexy 證證明明 令令得得2322(421065)x

46、yxxfexx yxxy 3330(1, 2),xxxyyyMAfeBfe Cfe 在在處處2620,ACBe ( , ).f x y無無極極值值22( 241)xyxyfexxyx 2( 23)xyyyfexy 自測題p.31一.填空p.31p.31.1.( , )0,xfa ba 一一設(shè)設(shè)則則0lim.(, )(, )xxf ax bf ax b 2233(arccos)2yy dyydx12a233.,xt ytzt在在曲曲線線的的所所有有切切線線中中 與與平平面面21.xyz 平平行行的的切切線線有有條條2(1, ).dfy 232.( , )(1)arccos,2yf x yxyxx

47、設(shè)設(shè)則則221(1,2 ,3) (1,2,1)14301,.3tttttt 22p.31.4.2420zxyxyz一一曲曲面面平平行行于于平平面面.的的切切平平面面為為42304(1)2(1)(3)0 xyzxyz2325.( , , )(1,2, 1)f x y zaxybzycx zz函函數(shù)數(shù)在在點點處處沿沿 軸軸,.abc64,正正方方向向的的變變化化率率最最大大為為則則6248 ,(1,2, 1)(0,0,64),gradf由由題題設(shè)設(shè)即即222(1,2, 1)(1,2, 1)3(1,2, 1)(1,2, 1)(3)430(1,2, 1)(2)40(1,2, 1)(2)2264xyzfaycx zacfaxybzabfbycx zbc 6,24,8.abc 二.選擇題p.3122p.31.1.()() ,(,)(0,0)xyfxyf 二二設(shè)設(shè)223()( ),().xyo 則則D( , )(0,0)( )lim( , );( )(0,0),(0,0);( )(0,0)2,(0,0)3;() ( , )(0,0).x yxyxyAf x yB ffC ffD f x y不不存存在在皆皆不不存存在在在在處處可可微微p.31.2.( , )(0,0),(0,0)3,xzf x yf二二設(shè)設(shè)