高中數(shù)學必修二《立體幾何》教學感想--賴泳湖

1、高中數(shù)學必修二立體幾何教學感想賴泳湖摘要 立體幾何在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道大題。雖然分值比重不是特別大，但是起著舉足輕重的作用。有的同學對這門課程的學習不適應(yīng)，對于紙面或黑板面上的圖形左看右看也不像是空間圖形，對于平面幾何中的結(jié)論在立體幾何中是否成立拿不準，對于證明題的推理表達，有時也說不到點子上，甚至有的同學產(chǎn)生了畏懼心理。所以如何使學生更好地學習好立體幾何成了每位數(shù)學教師關(guān)心的問題。關(guān)鍵詞 高考；立體幾何；“20+20”；定理；想象力；思維能力；轉(zhuǎn)化思想 近幾年，我校推行的“20+20”課堂教學模式取得了新的突破。在“20+20”課堂教學模式下，教師如何在有限的時間內(nèi)“講”、

2、學生如何在有限的時間內(nèi)“學”成為了我校教師探討及研究的首要課題。在這幾年的數(shù)學教學中，我發(fā)現(xiàn)學生對于立體幾何有一種恐懼感，追究學生害怕立體幾何的原因，其實就是學生缺乏空間想象力，造成思維受阻。因此，培養(yǎng)學生空間想象力，突破空間思維上的障礙，是學好立體幾何的關(guān)鍵。 為了降低立體幾何入門難的門檻，這次新課改在內(nèi)容上做了一定的調(diào)整。與傳統(tǒng)的立體幾何的結(jié)構(gòu)體系相比，新課程中的立體幾何的體系結(jié)構(gòu)有重大改革。傳統(tǒng)的立體幾何內(nèi)容，常從研究構(gòu)成空間幾何體的基本要素：點、直線和平面開始，講述平面及其基本性質(zhì)，點、直線、平面之間位置關(guān)系和有關(guān)公理、定理，再研究由它們組成的幾何體，包括棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、臺、球

3、的結(jié)構(gòu)特征、體積、表面積等等，基本上按照從局部到整體的原則。新的中學數(shù)學課程中立體幾何部分，分成兩塊，知識部分和能力部分（空間想象能力）。知識部分包括空間幾何體的初步認識和點、線、面之間的關(guān)系。立體幾何初步的定位是培養(yǎng)學生的空間想象力為主的一個課程載體。通過了解空間圖形、畫直觀圖、建立三視圖這樣一些內(nèi)容，來支撐這樣的一個載體。而空間向量是解決立體幾何的一個非常有用的工具，尤其對于關(guān)平行與垂直問題。能力部分主要是幾何直觀的培養(yǎng)，就是空間想象力的培養(yǎng)。 為此，結(jié)合我今年擔任高一數(shù)學教學的實際情況和親身經(jīng)歷，以下是我對高中數(shù)學必修二立體幾何教學的一些想法。一、立足課本，夯實基礎(chǔ)直線和平面這些內(nèi)容，是

4、立體幾何的基礎(chǔ)，學好這部分的一個捷徑就是認真學習定理，學習好定理的含義及應(yīng)用。定理的內(nèi)容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關(guān)系的闡述。但定理的應(yīng)用就體現(xiàn)出是否掌握了定理。掌握好定理有以下三點好處：（1）深刻掌握定理的內(nèi)容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。（2）培養(yǎng)空間想象力。（3）得出一些解題方面的啟示。在學習這些內(nèi)容的時候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架，用以幫助提高空間想象力。對后面的學習也打下了很好的基礎(chǔ)。二、要建立空間觀念，提高空間想象力。  從認識平面圖形到認識立體圖形是一次思維的飛躍，這需要有一個過程。學習立體幾何首先要多觀

5、察我們身邊的實物，從生活中來，到生活中去，把理論跟實際相結(jié)合。所以我給學生上課時，總是拿教室里的實物作為例子。平面：如天花板，地面，桌面，黑板面等等，直線：如燈管，筆，甚至手指，因此一講線面關(guān)系，我就要求同學們立即拿起筆在桌面上跟著我來比劃，他們很有興趣，也很有效；其次是仿照課本上的圖形多畫圖. 所以可以從簡單的圖形（如：直線和平面）、簡單的幾何體（如：正方體）開始畫起，畫圖時尤其要注意實線虛線之分，這樣可以使你的識圖能力增強, 空間想象力提高，這對學習立體幾何相當有益；再次，為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開始學習時，動手制作一些簡單的模型用以幫助想象。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線

6、、線與面、面與面之間的關(guān)系。通過模型中的點、線、面之間的位置關(guān)系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對空間圖形的想象能力和識別能力。最后要做的就是樹立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫在一個平面（如：紙、黑板）上，還要能根據(jù)畫在平面上的“立體”圖形，想象出原來空間圖形的真實形狀?？臻g想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設(shè)為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會給空間想象力插上翱翔的翅膀。三、要培養(yǎng)邏輯思維能力，提高基本技能 。 培養(yǎng)邏輯思維能力，首先是牢固掌握數(shù)學的基礎(chǔ)知識，其次掌握必要的邏輯知識和邏輯思維。立體幾何的證明是數(shù)學學科中任一分子也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時，首先

7、要保持嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)結(jié)論。切忌條件不全就下結(jié)論。其次，在論證問題時，思考應(yīng)多用分析法，即逐步地找到結(jié)論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法（“推出法”）形式寫出證明過程。（一）加強對基本概念理解 數(shù)學概念是數(shù)學知識體系的兩大組成部分之一，理解與掌握數(shù)學概念是學好數(shù)學，提高數(shù)學能力的關(guān)鍵。對于基本概念的理解，首先要多想。比如對異面直線的理解，兩條直線不在同一個平面是簡單的定義，如何才能不在同一個平面呢，第一是把同一個平面上的直線離開這個平面，或者用兩支筆來比劃，這樣直觀上有了異面直線的概念，

8、然后想在數(shù)學上怎么才能保證兩條直線不在一個平面，那些條件能保證兩條直線不在一個平面。我們多去想想，就可以知道，只要直線不平行，并且不相交，那么就異面，對于不平行的條件，在平面幾何中我們已經(jīng)知道，如何能保證不相交呢，想象延長線等手段能不能得到證明呢，如果不能，那么把其中一條直線放在一個平面，看另外一條直線和這個平面是否平行，這樣我們對異面直線的概念就比較容易掌握。（二）引導學生歸納、概括出若干定理，感受公理化思想  新課改中教科書設(shè)置了“觀察”、“思考”、“探究”等欄目，讓學生在學習過程中，從實際背景中抽象出數(shù)學模型，從現(xiàn)實的生活空間中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程?！坝^察”的目的是提

9、高學生的空間想象力，加深對所學知識的理解和記憶?！八伎肌眲t是為了調(diào)動學生思維的積極性和學習交流，激發(fā)學生的理性思維。而“探究”著眼于促進學生獨立思考和自主探索的機會，讓學生在討論的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，激發(fā)出潛在的創(chuàng)造力。課本削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，減少了定理的數(shù)量，淡化了幾何證明的技巧。這樣的安排體現(xiàn)了新課標的理念，推理不僅僅指演繹推理，還包括合情推理，這兩種推理相輔相成。當然我們還要學生加強對數(shù)學命題理解，學會靈活運用數(shù)學命題解決問題。對于一些證明題目，要避免證明中出現(xiàn)邏輯推理不嚴密，書寫格式不合理，層次不清，數(shù)學符號語言使用不當，不合乎習慣等。四、滲透“轉(zhuǎn)化”思想的應(yīng)用

10、，強化學生思維。  波利亞指出：“解題過程就是不斷變更題目的過程?！睌?shù)學中的“轉(zhuǎn)化”思想是指把要解決的數(shù)學問題，通過某種轉(zhuǎn)化，變成一類已經(jīng)解決或是較容易解決的問題，從而使原問題得到解決的一種數(shù)學思想。通過轉(zhuǎn)化可使問題由繁變簡，由難變易，由暗變明。在學習立體幾何中，體會以下轉(zhuǎn)化關(guān)系：（一）數(shù)學語言的相互轉(zhuǎn)化 在立體幾何中，利用三種數(shù)學語言圖形語言、文字語言、符號語言的轉(zhuǎn)化，可以有效化解難點，發(fā)展數(shù)學思維。在立體幾何中，立體圖形是研究的對象，文字語言室對圖形的描述、解釋和討論，符號語言則是催文字語言的簡化再抽象，在公理、定義、定理中，三種語言都得到了充分體現(xiàn)。學生在學習定理的時候，通過三

11、種語言的結(jié)合，有效的幫助他們對定理的理解和應(yīng)用。（二）點、線、面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 線線、線面、面面平行于垂直的位置關(guān)系即相互依存，又在一定條件下能縱向轉(zhuǎn)化。線線平行（或垂直）、線面平行（或垂直）、面面平行（或垂直）的轉(zhuǎn)化關(guān)系在平行或垂直的判定和性質(zhì)定理中得到充分體現(xiàn)平行或垂直關(guān)系的證明（除少數(shù)命題外），大都可以利用上述互相轉(zhuǎn)化關(guān)系去證明。面和面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。同樣面面垂直可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直。教學中滲透轉(zhuǎn)化思想，可以加深學生對點、線、面位置關(guān)系的理解，提高教學的有效性。（三）

12、空間幾何問題向平面幾何問題轉(zhuǎn)化將空間問題轉(zhuǎn)化為熟知的平面問題時研究立體幾何問題最重要的數(shù)學方法之一。如兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線；斜線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角；二面角轉(zhuǎn)化為二面角的平面角。立體幾何中的三種角（線線角、線面角、二面角）從定義到具體的計算以及三垂線定理都體現(xiàn)了空間到平面的轉(zhuǎn)化。 （四）體積問題中的轉(zhuǎn)化在求三棱錐高的時候往往用到體積問題的轉(zhuǎn)化，利用等體積轉(zhuǎn)換底去求體積的方法就能求出三棱錐的高。又如研究簡單幾何體體積問題的過程中，利用祖暅定理，將一般主體體積問題轉(zhuǎn)化為長方

13、體體積問題，一般錐體體積問題轉(zhuǎn)化為三棱錐體積問題，從而推到柱體和錐體體積公式等。三棱錐體積公式推導過程中，“補法”和“割法”的先后應(yīng)用，如臺體的體積（即補臺成錐）所展示的割補轉(zhuǎn)化；利用四面體、平行六面體等幾何體體積的自等性，以體積為媒介溝通有關(guān)元素間的聯(lián)系，從而使問題獲解得等積轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想在體積問題中的體現(xiàn)。以上這些都是數(shù)學思想中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化可以使問題得以大大簡化。五、總結(jié)規(guī)律，規(guī)范訓練立體幾何解題過程中，常有明顯的規(guī)律性。例如：求角要遵循“一找，二證，三求”的步驟去解答，然后在三角形中求角。正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離

14、多是垂線段，放到三角形中去計算，經(jīng)常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉(zhuǎn)換。不斷總結(jié)，才能不斷高。 還要注重規(guī)范訓練，高考中反映的這方面的問題十分嚴重，不少考生對作、證、求三個環(huán)節(jié)交待不清，表達不夠規(guī)范、嚴謹，因果關(guān)系不充分，圖形中各元素關(guān)系理解錯誤，符號語言不會運用等。這就要求我們在平時養(yǎng)成良好的答題習慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規(guī)范性在數(shù)學的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。對于即將參加高考的同學來說，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，從平時的每一道題開始培養(yǎng)這種規(guī)范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。 總之，觀察是學好立體幾何的基礎(chǔ)，作圖是學好立體幾何的保證，