利用DFT做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析 一、利用DFT計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜

1、2.2 利用利用DFT做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析做連續(xù)信號(hào)的頻譜分析 一、利用DFT計(jì)算連續(xù)信號(hào)的頻譜分析過程采樣截短DFT)(ajX)(atx( )x n)(jeX( )( )( )NNxnx n Rn)(jNeX)(kXNNkjNeX/2)(v 從圖中可以看出，這是一次次的近似過程，首先，用離散采樣信號(hào)的 DTFT 來近似連續(xù)信號(hào) 的傅立葉變換 ，其次，將x(n) 截短，這一過程等效于用一矩形序列RN(n)與x(n)相乘，其DTFT為v 最后，再對(duì)截短的信號(hào)作DFT)(jweX)(txa)( jXa)()()(jwNjwjwNeReXeX二、頻譜分析的近似過程出現(xiàn)問題及解決辦法1、混疊（1）混疊

2、現(xiàn)象對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行數(shù)字處理前，要進(jìn)行采樣采樣序列的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，周期為fs，如采樣率過低，不滿足采樣定理，fs2fh，則導(dǎo)致頻譜混迭，使一個(gè)周期內(nèi)的譜對(duì)原信號(hào)譜產(chǎn)生失真，無法恢復(fù)原信號(hào)，進(jìn)一步的數(shù)字處理失去依據(jù)。nanTttxnTx)()()(v（2）解決辦法 在采樣前利用一模擬低通濾波器將原始信號(hào)的上限頻率 限制在采樣頻率的一半，即加一抗混疊濾波器。maxf2、泄漏(1)產(chǎn)生原因處理實(shí)際信號(hào)序列x（n）時(shí)，一般總要將它截?cái)酁橐挥邢揲L(zhǎng)序列，長(zhǎng)為N點(diǎn)，相當(dāng)于乘以一個(gè)矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當(dāng)窗口趨于無窮大時(shí)，

3、就是一個(gè)沖擊函數(shù)。我們知道，時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的卷積，所以，加窗后的頻譜實(shí)際是原信號(hào)頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積，卷積的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直延伸到無窮。當(dāng)窗口無窮大時(shí)，與沖擊函數(shù)的卷積才是其本身，這時(shí)無畸變，否則就有畸變。例如，信號(hào)為，是一單線譜，但當(dāng)加窗后，線譜與抽樣函數(shù)進(jìn)行卷積，原來在0處的一根譜線變成了以0為中心的，形狀為抽樣函數(shù)的譜線序列，原來在一個(gè)周期（s）內(nèi)只有一個(gè)頻率上有非零值，而現(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)幾乎所有頻率上都有非零值，即的頻率成份從0處“泄漏”到其它頻率處去了?？紤]各采樣頻率周期間頻譜“泄漏”后的互相串漏，卷積后還有頻譜混迭現(xiàn)象產(chǎn)生。（2）解決辦法：增加截短的長(zhǎng)度N

4、，以減小泄漏。nTje0Tjex3、柵欄效應(yīng)（1）柵欄效應(yīng)的產(chǎn)生N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間0，2上對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散的頻譜點(diǎn)X（k），且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮擋，所以稱之為柵欄效應(yīng)。（2）減小柵欄效應(yīng)方法：尾部補(bǔ)零，使譜線變密，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)，原來漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測(cè)出來。4、 DFT的分辨率 v 填補(bǔ)零值可以改變對(duì)DTFT的采樣密度，人們常常有一種誤解，認(rèn)為補(bǔ)零可以提高DFT的頻率分辨率。事實(shí)上我們通常規(guī)定DFT的頻率分辨率為 ，這里的N是指信號(hào)x(n)

5、的有效長(zhǎng)度，而不是補(bǔ)零的長(zhǎng)度。不同長(zhǎng)度的x(n)其DTFT的結(jié)果是不同的；而相同長(zhǎng)度的x(n)盡管補(bǔ)零的長(zhǎng)度不同其DTFT的結(jié)果應(yīng)是相同的，他們的DFT只是反映了對(duì)相同的DTFT采用了不同的采樣密度。 Nfs/Nfs/參數(shù)選擇的一般原則： (1)若已知信號(hào)的最高頻率 ，為防止混疊，選定采樣頻率 ；(2)根據(jù)頻率分辯率 ，確定所需DFT的長(zhǎng)度(3) 和N確定以后，即可確定相應(yīng)模擬信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度這里T是采樣周期。maxfmax2ffsfffNs/NTfNs/sf5、周期信號(hào)的譜分析 對(duì)于連續(xù)的單一頻率周期信號(hào) ， 為信號(hào)的頻率。 可以得到單一譜線的DFT結(jié)果，但這是和作DFT時(shí)數(shù)據(jù)的截取長(zhǎng)度選得是

6、否恰當(dāng)有關(guān)，截取長(zhǎng)度N選得合理， 可完全等于 的采樣。 )2sin()(tftxaaaf)(kXN)(ajXv例例2-1 對(duì)連續(xù)的單一頻率周期信號(hào) v按采樣頻率 采樣，截取長(zhǎng)度N分別選N =20和N =16，觀察其DFT結(jié)果的幅度譜。 v解解 此時(shí)離散序列 v，即k=8。用MATLAB計(jì)算并作圖，函數(shù)fft用于計(jì)算離散傅里葉變換DFT，程序如下： )2sin()(tftxaavk=8; vn1=0:1:19; vxa1=sin(2*pi*n1/k); vsubplot(2,2,1) vplot(n1,xa1) vxlabel(t/T);ylabel(x(n); vxk1=fft(xa1);xk

7、1=abs(xk1); vsubplot(2,2,2) vstem(n1,xk1) vxlabel(k);ylabel(X(k); vn2=0:1:15; vxa2=sin(2*pi*n2/k); vsubplot(2,2,3) vplot(n2,xa2) vxlabel(t/T);ylabel(x(n); vxk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2); v subplot(2,2,4) vstem(n2,xk2) vxlabel(k);ylabel(X(k);051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)(a)(b)(c)(d)不同截取長(zhǎng)度的正弦信號(hào)及其DFT結(jié)果v計(jì)算結(jié)果示于圖 (a)和(b)分別是N=20