一點應力狀態(tài)概念及其表示方法

1、一點應力狀態(tài)概念及其表示方法凡提到“應力”，必須指明作用在哪一點，哪個（方向）截面上。因為受力構件內(nèi)同一截面上不同點的應力一般是不同的，通過同一點不同（方向）截面上應力也是不同的。例如，圖8-1彎曲梁橫截面上各點具有不同的正應力與剪應力；圖8-2通過軸向拉伸桿件同一點的不同（方向）截面上具有不同的應力。一點處的應力狀態(tài)是指通過一點不同截面上的應力情況，或指所有方位截面上應力的集合。應力分析就是研究這些不同方位截面上應力隨截面方向的變化規(guī)律。如圖8-3是通過軸向拉伸桿件內(nèi)點不同（方向）截面上的應力情況（集合）一點處的應力狀態(tài)可用圍繞該點截取的微單元體（微正六面體）上三對互相垂直微面上的應力情況來

2、表示。如圖8-4（a,b）為軸向拉伸桿件內(nèi)圍繞 點截取的兩種微元體。特點：根據(jù)材料的均勻連續(xù)假設，微元體（代表一個材料點）各微面上的應力均勻分布，相互平行的兩個側(cè)面上應力大小相等、方向相反；互相垂直的兩個側(cè)面上剪應力服從剪切互等關系。8-平面應力狀態(tài)的工程實例 薄壁圓筒壓力容器為平均直徑，為壁厚由平衡條件得軸向應力： （8-1a）圖8-5c（-，-為相距為 的橫截面，H-H為水平徑向面）由平衡條件或, 得環(huán)向應力： （8-1b）2球形貯氣罐（圖8-6）由球?qū)ΨQ知徑向應力與緯向應力相同，設為 對半球?qū)懫胶鈼l件：得 （8-2）3彎曲與扭轉(zhuǎn)組合作用下的圓軸4受橫向載荷作用的深梁 8-3平面一般應力狀

3、態(tài)分析解析法空間一般應力狀態(tài)如圖8-9a所示，共有9個應力分量： 面上的，； 面上的，；面上的， 。1）應力分量的下標記法：第一個下標指作用面（以其外法線方向表示），第二個下標指作用方向。由剪應力互等定理，有：，。2）平面一般應力狀態(tài)如圖8-9b所示，即空間應力狀態(tài)中， 方向的應力分量全部為零（）；或只存在作用于x-y平面內(nèi)的應力分量 ，其中，分別為，的簡寫，而 = 。3）正負號規(guī)定：正應力以拉應力為正，壓為負；剪應力以對微元體內(nèi)任意一點取矩為順時針者為正，反之為負。2平面一般應力狀態(tài)斜截面上應力如圖8-10所示，斜截面平行于 軸且與 面成傾角 ，由力的平衡條件： 和 可求得斜截面上應力，：（

4、8-3a）(8-3b)注意到：1）圖8-10b中應力均為正值，并規(guī)定傾角 自 軸開始逆時針轉(zhuǎn)動者為正，反之為負。2）式中均為 面上剪應力，且已按剪應力互等定理將 換成。3正應力極值主應力根據(jù)（8-3a）式，由求極值條件，得即有 （8-4a）為取極值時的角，應有，兩個解。將相應值，分別代入(8-3a)，(8-3b)即得： （8-4b） ; (8-4c)說明：1）當傾角轉(zhuǎn)到和面時，對應有，其中有一個為極大值，另一個為極小值；而此時，均為零?？梢娫谡龖θO值的截面上剪應力為零（如圖8-11a）。2）定義：正應力取極值的面（或剪應力為零的面）為主平面，主平面的外法線方向稱主方向，正應力的極值稱主應力

5、，對平面一般應力狀態(tài)通常有兩個非零主應力：，故也稱平面應力狀態(tài)為二向應力狀態(tài)。4剪應力極值主剪應力根據(jù)(8-3b)式及取極值條件，可得： （8-5a）為取極值時的角，應有，兩個解。將相應值，分別代入(8-3b)，(8-3a)即得：(8-5b) ； 說明： 1）當傾角轉(zhuǎn)到和面時，對應有，且二者大小均為，方向相反，體現(xiàn)了剪應力互等定理，而此兩面上正應力大小均取平均值（如圖8-11b）。 2）定義：剪應力取極值的面稱主剪平面，該剪應力稱主剪應力。注意到： ； 或 因而主剪平面與主平面成夾角。平面一般應力狀態(tài)分析應力圓法1應力圓方程由式（8-3a）和(8-3b)消去，得到 (8-6)此為以，為變量的圓

6、方程，以為橫坐標軸，為縱坐標軸，則此圓圓心 坐標為，半徑為，此圓稱應力圓或莫爾（Mohr）圓。2應力圓的作法應力圓法也稱應力分析的圖解法。作圖8-12a所示已知平面一般應力狀態(tài)的應力圓及求傾角為的斜截面上應力，的步驟如下：1）根據(jù)已知應力，值選取適當比例尺；2）在坐標平面上，由圖8-12a中微元體的1-1，2-2面上已知應力作1（，），2（，-）兩點；3）過1，2兩點作直線交 軸于 點，以 為圓心，為半徑作應力圓；4）半徑逆時針（與微元體上 轉(zhuǎn)向一致）轉(zhuǎn)過圓心角得3點，則3點的橫坐標值即為，縱坐標值即為 。3微元體中面上應力與應力圓上點的坐標的對應關系1）=， = 的證明：=已知： ； 則 ，

7、 讓，對照上式與式（8-3a），可知= 。對照上式與式（8-3b），可知 = 。2）幾個重要的對應關系 ； （即式（8-5b）主平面位置：應力圓上由1點順時針轉(zhuǎn)過到 點。，（即式（8-4a），對應微元體內(nèi)從 面順時針轉(zhuǎn)過角（面）。應力圓上繼續(xù)從點轉(zhuǎn)過到 ，對應微元體上從 面繼續(xù)轉(zhuǎn)過 到面，此時（即式（8-4c）建議讀者對，點（對應主剪應力）作同樣討論?？臻g應力狀態(tài)的主應力與最大剪應力1主應力對于空間一般應力狀態(tài)（如圖8-9a），可以證明，總可將微元體轉(zhuǎn)到某一方位，此時三對微面上只有正應力而無剪應力作用（如圖8-13）。此三對微面即主平面，三個正應力即主應力（正應力極值）?？臻g一般應力狀態(tài)一般具

8、有三個非零的主應力，故也稱三向應力狀態(tài)。約定：三個主應力按代數(shù)值從大到小排列，即。例8-1 式（8-1a），(8-1b)所示薄壁圓筒為二向應力狀態(tài)，有兩個主應力， 內(nèi)壁有內(nèi)壓 工程上略去不計，則有： ，。例8-2 圖8-7所示受彎曲與扭轉(zhuǎn)組合作用圓軸中的1點，可用圖8-14所示應力圓求其主應力：， 二向應力狀態(tài)。所以，2主剪應力，最大剪應力若已知（或已求得）三個 主應力，可求：1）平行方向的任意斜截面 上應力（如圖8-15a）。由于 不參加圖8-15b所示微元體的力平衡。可利用式（8-3a）、(8-3b)： ； 相應于圖8-15c中 ，構成的應力圓，此時主剪應力：，（圖8-15c上的點）。2）

9、平行 方向斜截面上的主剪應力（見圖8-16a，b，c）主剪應力： 。（見圖8-15c中 ， 構成的應力圓上 點）。 3）求平行方向斜截面上的主剪應力（見圖8-15c中點）。結論：在按約定排列的三個非零主應力 ，作出的兩兩相切的三個應力圓中，可以找到三個相應的主剪應力 ，其中最大剪應力值為：處在與，作用面成的面上。例8-1中： , 而非。例8-2中：3任意斜截面上應力已知主應力，設斜截面法線 的方向余弦為 ， ， 。求任意斜截面上應力。設斜面面積，則三個側(cè)面面積：，三個方向余弦滿足關系： （a）由平衡條件，和有： ， （b）由總應力的三個分量可得總應力： （c）也可分解為法線方向的正應力和面上剪

10、應力（圖8-17c），則有 （d）由式（d），（c）得： （e），在斜面法線上投影之代數(shù)和為，注意到式（b），則有： （f）由式（a），（e），（f）可解得：(8-7)討論：1）在以為橫坐標， 為縱坐標的坐標平面內(nèi)，以上三式分別表示三個應力圓，且交于一點，此點坐標即為斜截面上的應力（ ， ）。2）由于、，在約定條件下，可由以上三式證明任意斜截面上應力均落在圖8-14c所示三個主應力圓包圍的陰影線面積內(nèi)。3）當，式（8-7）第一式即為圖8-14c中 ，組成的應力圓方程，在所有平行方向的斜截面中，與 ，成的斜面上具有主剪應力，同理，當，和時，對應有 ，及 ，組成的應力圓方程，分別可得主剪應力：和，

11、可見，。建立強度理論的基本思想不同材料在同一環(huán)境及加載條件下對“破壞”（或稱為失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。例1 常溫、靜載條件下，低碳鋼的拉伸破壞表現(xiàn)為塑性屈服失效，具有屈服極限，鑄鐵破壞表現(xiàn)為脆性斷裂失效，具有抗拉強度 。圖9-1a,b同一材料在不同環(huán)境及加載條件下也表現(xiàn)出對失效的不同抗力。例2 常溫靜載條件下，帶有環(huán)形深切槽的圓柱形低碳鋼試件受拉時，不再出現(xiàn)塑性變形，而沿切槽根部發(fā)生脆斷，切槽導致的應力集中使根部附近出現(xiàn)兩向和三向拉伸型應力狀態(tài)。圖（9-2a,b）例3 常溫靜載條件下，圓柱形鑄鐵試件受壓時，不再出現(xiàn)脆性斷口，而出現(xiàn)塑性變形，此時材料處于壓縮型應力狀態(tài)。圖（9-3a）例

12、4 常溫靜載條件下，圓柱形大理石試件在軸向壓力和圍壓作用下發(fā)生明顯的塑性變形，此時材料處于三向壓縮應力狀態(tài)下。圖b根據(jù)常溫靜力拉伸和壓縮試驗，已建立起單向應力狀態(tài)下的彈性失效準則，考慮安全系數(shù)后，其強度條件為 ，根據(jù)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)實驗，可建立起純剪應力狀態(tài)下的彈性失效準則，考慮安全系數(shù)后，強度條件為 。建立常溫靜載一般復雜應力狀態(tài)下的彈性失效準則強度理論的基本思想是：）確認引起材料失效存在共同的力學原因，提出關于這一共同力學原因的假設；）根據(jù)實驗室中標準試件在簡單受力情況下的破壞實驗（如拉伸），建立起材料在復雜應力狀態(tài)下共同遵循的彈性失效準則和強度條件。）實際上，當前工程上常用的經(jīng)典強度理論都按

13、脆性斷裂和塑性屈服兩類失效形式，分別提出共同力學原因的假設。關于脆性斷裂的強度理論最大拉應力準則（第一強度理論）基本觀點：材料中的最大拉應力到達材料的正斷抗力時，即產(chǎn)生脆性斷裂。表達式：復雜應力狀態(tài)， 當， 簡單拉伸破壞試驗中材料的正斷抗力，最大拉應力脆斷準則： (9-1a) 相應的強度條件： (9-1b)適用范圍：雖然只突出 而未考慮 的影響，它與鑄鐵，工具鋼，工業(yè)陶瓷等多數(shù)脆性材料的實驗結果較符合。特別適用于拉伸型應力狀態(tài)（如），混合型應力狀態(tài)中拉應力占優(yōu)者（ 但 ）。2最大伸長線應變準則（第二強度理論）基本觀點：材料中最大伸長線應變到達材料的脆斷伸長線應變 時，即產(chǎn)生脆性斷裂。表達式：

14、。 復雜應力狀態(tài)：，當；簡單拉伸破壞試驗中材料的脆斷伸長線應變，最大伸長線應變準則： （9-2a）相應的強度條件： （9-2b）適用范圍：雖然考慮了，的影響，它只與石料、混凝土等少數(shù)脆性材料的實驗結果較符合（如圖9-4所示），鑄鐵在混合型壓應力占優(yōu)應力狀態(tài)下（）的實驗結果也較符合，但上述材料的脆斷實驗不支持本理論描寫的，對材料強度的影響規(guī)律。關于塑性屈服的強度理論1最大剪應力準則（第三強度理論）基本觀點：材料中的最大剪應力到達該材料的剪切抗力時，即產(chǎn)生塑性屈服。表達式：復雜應力狀態(tài)，簡單拉伸屈服試驗中的剪切抗力，最大剪應力屈服準則： （9-3a）相應的強度條件： （9-3b）適用范圍：雖然只考

15、慮了最大主剪應力 ，而未考慮其它兩個主剪應力 ， 的影響，但與低碳鋼、銅、軟鋁等塑性較好材料的屈服試驗結果符合較好；并可用于像硬鋁那樣塑性變形較小，無頸縮材料的剪切破壞，此準則也稱特雷斯卡（Tresca）屈服準則。2形狀改變比能準則（第四強度理論）基本觀點：材料中形狀改變比能到達該材料的臨界值 時，即產(chǎn)生塑性屈服。表達式：復雜應力狀態(tài)，簡單拉伸屈服試驗中的相應臨界值，形狀改變比能準則： （9-4a）相應的強度條件： （9-4b）適用范圍：它既突出了最大主剪應力對塑性屈服的作用，又適當考慮了其它兩個主剪應力的影響，它與塑性較好材料的試驗結果比第三強度理論符合得更好。此準則也稱為米澤斯（Mises

16、 ）屈服準則，由于機械、動力行業(yè)遇到的載荷往往較不穩(wěn)定，因而較多地采用偏于安全的第三強度理論；土建行業(yè)的載荷往往較為穩(wěn)定，因而較多地采用第四強度理論。*附：泰勒奎尼（TaylorQuinney）薄壁圓筒屈服試驗（1931）。米澤斯與特雷斯卡屈服準則的試驗驗證。薄壁圓筒承受拉伸與扭轉(zhuǎn)組合作用時，應力狀態(tài)如圖9-5a。主應力： ，代入第三強度理論： 或 （a） ； 代入第四強度理論： 或 （b）（a），（b）式在以為坐標軸的平面內(nèi)為兩條具有不同短軸的理論橢圓曲線（圖9-5b）。結果：試驗點基本上落于兩條理論曲線之間，大多數(shù)試驗點更接近于第四強度理論曲線。莫爾強度理論1不同于四個經(jīng)典強度理論，莫爾理

17、論不致力于尋找（假設）引起材料失效的共同力學原因，而致力于盡可能地多占有不同應力狀態(tài)下材料失效的試驗資料，用宏觀唯象的處理方法力圖建立對該材料普遍適用（不同應力狀態(tài)）的失效條件。2自相似應力圓與材料的極限包絡線自相似應力圓：如果一點應力狀態(tài)中所有應力分量隨各個外載荷增加成同一比例同步增加，則表現(xiàn)為最大應力圓自相似地擴大。材料的極限包絡線：隨著外載荷成比例增加，應力圓自相似地擴大，到達該材料出現(xiàn)塑性屈服或脆性斷裂時的極限應力圓。只要試驗技術許可，務求得到盡可能多的對應不同應力狀態(tài)的極限應力圓，這些應力圓的包絡線即該材料的極限（狀態(tài)）包絡線。圖9-6a所示即包含拉伸、圓軸扭轉(zhuǎn)、壓縮三種應力狀態(tài)的極

18、限包絡線。3對拉伸與壓縮極限應力圓所作的公切線是相應材料實際包絡線的良好近似（圖9-6b）。實際載荷作用下的應力圓落在此公切線之內(nèi)，則材料不會失效，到達此公切線即失效。由圖示幾何關系可推得莫爾強度失效準則。對于抗壓屈服極限大于抗拉屈服極限的材料（即） （9-5a）對于抗壓強度極限大于抗拉強度極限的材料（即） （9-5b）強度條件具有同一形式： 或 （9-5c）相應于式（9-5a），；相應于式（9-5b），, 對鑄鐵 ，陶瓷材料 ，對大多數(shù)金屬， ，此時莫爾強度條件退化為最大剪應力強度條件。4適用范圍：1）適用于從拉伸型到壓縮型應力狀態(tài)的廣闊范圍，可以描述從脆性斷裂向塑性屈服失效形式過渡（或反之

19、）的多種失效形態(tài)，例如“脆性材料”在壓縮型或壓應力占優(yōu)的混合型應力狀態(tài)下呈剪切破壞的失效形式。2）特別適用于抗拉與抗壓強度不等的材料。3）在新材料（如新型復合材料）不斷涌現(xiàn)的今天，莫爾理論從宏觀角度歸納大量失效數(shù)據(jù)與資料的唯象處理方法仍具有廣闊應用前景。含裂紋構件的脆斷準則1概述隨著現(xiàn)代技術與工業(yè)的發(fā)展，新材料、新工藝，大型結構與構件的出現(xiàn)和工作環(huán)境的苛刻化，構件中隱含宏觀裂紋或由微觀裂紋成長為宏觀裂紋的機會大大增加，宏觀裂紋發(fā)展到了臨界長度，裂紋尖端高度的應力集中會導致高強度、低韌性材料（構件）發(fā)生脆性斷裂而失效。線彈性斷裂力學（LEFM）研究構件中裂紋的擴展規(guī)律，并建立由此導致的脆性斷裂準

20、則，為含裂紋構件防脆斷設計提供依據(jù)。2裂紋導致的脆斷事故分析1）全焊接大型結構,如大型貯油罐,貯氣罐，高壓容器，全焊接輪船，大型橋梁等。由于焊縫及其附近的熱影響區(qū)中存在各種缺陷,夾渣、微裂紋等宏觀裂紋源而導致脆斷事故。實例之一：二戰(zhàn)期間，美國250艘全焊接戰(zhàn)時標準船的斷裂事故，其中10艘在平靜港灣突然一斷為二。2）現(xiàn)代冶煉技術和復合材料的研制工藝為航空、航天等高新技術工業(yè)領域提供了超高強度，相對偏低韌性的結構材料，使允許的臨界裂紋長度大大減小，材料脆性傾向大大增加。實例之二：50年代末，60年代初，美國在發(fā)射北極星導彈試驗中多次發(fā)生發(fā)動機殼體爆炸事故，發(fā)射火箭時曾發(fā)生助推器在半空爆炸。調(diào)查表明

21、：殼體材料Kgf/mm2 ,工作應力Kgf/mm2 ，常規(guī)強度沒有問題，但在爆炸碎片中發(fā)現(xiàn)殘留的宏觀裂紋。3 裂紋導致構件脆斷事故的特點1）構件中存在宏觀裂紋 它們是初始宏觀裂紋（可由無損探傷查檢）或初始微觀裂紋在疲勞、腐蝕、多次沖擊下成長為宏觀裂紋。2）低應力斷裂 由于宏觀裂紋尖端的應力集中，高應力區(qū)中存在二向及三向拉伸應力狀態(tài)大大加強了材料脆化傾向，導致宏觀工作應力大大低于靜載強度指標（如）情況下的低應力斷裂破壞，破壞之前沒有任何宏觀塑性變形預兆。4 型裂紋尖端附近的應力場1）裂紋擴展的三種基本形式（圖9-8）：其中以型為最危險，其遠場應力（載荷）垂直于裂紋面（見圖9-9）2）型裂紋尖端附

22、近應力場（圖9-10）：局部應力場的應力分量表達式為（9-6a）其中 （9-6b）控制應力場強弱程度的稱型應力強度因子（SIF）此處垂直于裂紋面的遠場應力（載荷）裂紋長度幾何形狀因子，與裂紋體幾何形狀、尺寸、加載情況有關。如圖（9-11）。3）斷裂準則與斷裂韌性對于宏觀裂紋導致的脆性斷裂，即裂紋一旦起裂就迅速失穩(wěn)擴展直至構件沿裂紋面斷裂，以應力強度因子為控制參量建立脆斷準則（9-7）其中與所加載荷有關（見式（9-6b），可查有關應力強度因子手冊）。由標準試樣（如圖9-9），按規(guī)定試驗程序測試得到。如見我國正式規(guī)定文件GB416184（金屬材料平面應變斷裂韌度試驗方法）；國際上，如美國宇航局、美

23、國材料試驗學會頒發(fā)的ASTME39978。按上述規(guī)定測得的是材料的常量，稱平面應變斷裂韌度，它反映了材料對裂紋快速擴展的抗力。強度理論的應用1選用原則1）對于常溫、靜載、常見應力狀態(tài)下通常的塑性材料，如低碳鋼，其彈性失效狀態(tài)為塑性屈服；通常的脆性材料，如鑄鐵，其彈性失效狀態(tài)為脆性斷裂，因而可根據(jù)材料來選用強度理論：第三強度理論 可進行偏保守（安全）設計。塑性材料 第四強度理論 可用于更精確設計，要求對材料強度指標，載荷計算較有把握。 第一強度理論 用于拉伸型和拉應力占優(yōu)的混合型應力狀態(tài)。脆性材料 第二強度理論 僅用于石料、混凝土等少數(shù)材料。2）對于常溫、靜載但具有某些特殊應力狀態(tài)的情況，不能只

24、看材料，還必須考慮應力狀態(tài)對材料彈性失效狀態(tài)的影響，根據(jù)所處失效狀態(tài)選取強度理論。 塑性材料（如低碳鋼）在三向拉伸應力狀態(tài)下呈脆斷破壞，應選用第一強度理論，但此時的失效應力應通過能造成材料脆斷的試驗獲得。脆性材料（如大理石）在三向壓縮應力狀態(tài)下呈塑性屈服失效狀態(tài)，應選用第三、第四強度理論，但此時的失效應力應通過能造成材料屈服的試驗獲得。脆性材料在壓縮型或混合型壓應力占優(yōu)的應力狀態(tài)下，像鑄鐵一類脆性材料均具有 的性能，可選擇莫爾強度理論。2題例例9-1 試建立鋼軸在彎扭組合作用下的強度條件。解：如圖9-12軸上危險點（如1點）的正應力與剪應力簡單表示為：， ， （a）危險點的三個主應力為， （b

25、）若選用第三強度理論，并引用（b）式，則有 若選用第四強度理論，并引用（b）式，則有（9-7a） （9-7b） 若將（a）式分別代入（9-7a）、（9-7b）式則相應有（9-8a） ； （9-8b）例9-2 試對圖9-13所示薄壁圓筒壓力氣罐推導設計壁厚的公式。（1）材料為鑄鐵，已知 ；（2）材料為壓力容器用鋼，已知 。解：氣罐承受內(nèi)壓較低，一般為薄壁容器，在內(nèi)壓作用下產(chǎn)生拉伸型應力狀態(tài)：， ， （a）對（1），選用第一強度理論 ， （9-9a）對（2），選用第三強度理論 ， （9-9b）選用第四強度理論（9-9c） ， 得出的應滿足。例9-3 圖示液壓鋼瓶由鑄鐵制成，已知平均直徑，抗拉強度M

26、pa,抗壓強度 Mpa，試導出軸向壓力時的壁厚設計公式。解：應力狀態(tài)中各應力分量為，（a）此為壓應力占優(yōu)的混合型應力狀態(tài)， ，選用莫爾理論：； 若計算所得 ，則滿足薄壁圓筒條件，若 則應調(diào)整有關參數(shù)，或按厚壁圓筒進行設計。例9-4 某中強鋼 Mpa , Mpa ;某高強鋼 Mpa , Mpa ，試估算此兩種材料制成的圓筒形壓力氣瓶所含縱向裂紋尺寸的臨界值 ，若要求二者具有同樣的工作安全系數(shù)（取 ）。（圖9-15 a）解：按脆斷準則 ， （a）則有 （b）圍繞縱向裂紋取出足夠大的板塊（圖9-13b），近似視為無限大板，此時：， ， c）式（c）代入（b）：對中強鋼 mmm, 此時 Mpa。對高強

27、鋼 mmm, 此時 Mpa。結論：1）對于中、低強度鋼，相應斷裂韌度較高，允許臨界裂紋長度較長，因而對中、小型零件不會出現(xiàn)裂紋導致的脆斷問題，主要考慮常規(guī)強度問題（應用經(jīng)典強度理論）。2）對于高強、超高強鋼，如果相應斷裂韌度較低，允許臨界裂紋長度很短，除應進行常規(guī)強度校核外，必須嚴格檢查與控制內(nèi)含裂紋長度，利用 斷裂準則進行安全校核，因而對結構材料，高強度不是追求的唯一目標，還應提高其斷裂韌性。 組合變形。概述1構件的受力情況分為基本受力（或基本變形）形式（如中心受拉或受壓，扭轉(zhuǎn)，平面彎曲,剪切）和組合受力（或組合變形）形式。組合變形由兩種以上基本變形形式組成。2處理組合變形構件的內(nèi)力、應力和

28、變形（位移）問題時，可以運用基于疊加原理的疊加法。疊加原理：如果內(nèi)力、應力、變形等與外力成線性關系，則在小變形條件下，復雜受力情況下組合變形構件的內(nèi)力，應力，變形等力學響應可以分成幾個基本變形單獨受力情況下相應力學響應的疊加，且與各單獨受力的加載次序無關。說明：保證上述線性關系的條件是線彈性材料，加載在彈性范圍內(nèi)，即服從胡克定律；必須是小變形，保證能按構件初始形狀或尺寸進行分解與疊加計算，且能保證與加載次序無關。如10-1a圖所示縱橫彎曲問題，橫截面上內(nèi)力（圖10-1b）為N=P，M(x)=?？梢姰敁隙龋ㄗ冃危┹^大時，彎矩中與撓度有關的附加彎矩不能略去。雖然梁是線彈性的，彎矩、撓度與P的關系卻

29、仍為非線性的，因而不能用疊加法。除非梁的剛度較大，撓度很小，軸力引起的附加彎矩可略去。兩個互相垂直平面內(nèi)彎曲的組合圖10-2(a)所示構件具有兩個對稱面（y，z為對稱軸），橫向載荷P通過截面形心與y軸成 a 夾角，現(xiàn)按疊加法寫出求解梁內(nèi)最大彎曲正應力的解法與步驟：根據(jù)圣維南原理，將載荷按基本變形加載條件進行靜力等效處理，現(xiàn)將P沿橫截面對稱軸分解為Py、Pz，則有，（圖a）得到相應的幾種基本變形形式，分別計算可能危險點上的應力。現(xiàn)分別按兩個平面彎曲（圖b，c）計算。Py ，Pz 在危險面（固定端）處分別有彎矩：，（圖d）。My 作用下產(chǎn)生以y軸為中性軸的平面彎曲，bd與ac邊上分別產(chǎn)生最大拉應力

30、與最大壓應力(a) ， Mz 作用下產(chǎn)生以z軸為中性軸的平面彎曲,ab與cd邊上分別產(chǎn)生最大拉應力與最大壓應力 (b)由疊加法得組合變形情況下，亦即原載荷作用下危險點的應力?，F(xiàn)可求得Py，Pz共同作用下危險點（b、c點）彎曲正應力（同一點同一微面上的正應力代數(shù)相加） (10-1)上述橫向載荷P構成的彎曲區(qū)別于平面彎曲，稱斜彎曲。它有以下兩個特點：構件的軸線變形后不再是載荷作用平面內(nèi)的平面曲線，而是一條空向曲線；橫截面內(nèi)中性軸不再與載荷作用線垂直；或中性軸不再與彎矩矢量重合（如為實心構件）。如圖10-2(e)所示，橫截面上任意點m（y，z）的正應力為 (10-2)根據(jù)中性軸定義，令s =0，即得

31、中性軸位置表達式 當 ， ；現(xiàn)為矩形（hb）， ，則 。形成斜彎曲，中性軸與M矢量不重合。當 （如圖10-2中為圓截面）， ，即載荷通過截面形心任意方向均形成平面彎曲，若圓截面直徑為D，則有(10-3)中心拉伸或壓縮與彎曲的組合以圖10-3a所示偏心壓縮問題為例1求危險點應力可以用上述載荷處理法，將作用于點F（yp ，zp）的偏心載荷P向構件軸線（或端面形心O）平移，得到相應于中心壓縮和兩個平面彎曲的外載荷?，F(xiàn)直接用截面法（內(nèi)力處理法）。如圖10-3b所示，端面上偏心壓縮力P在橫截面上產(chǎn)生的內(nèi)力分量為N=P，My=PZp，Mz=Pyp在該橫截面上任意點m（y ，z）的正應力為壓應力和兩個平面彎

32、曲（分別繞y和z軸）正應力的疊加：(10-4)a點有最大壓應力，b點有最大拉應力 ； (10-5)其中，。2中性軸位置和截面核心讓式（10-4）中 ，并定義截面慣性半徑，。設中性軸上任意點坐標為 yo ，zo 。則由式（10-4）得 （10-6），這是一不通過形心O的中性軸方程（直線方程）。它在y軸和z軸上截距分別為， (10-7)對于混凝土、大理石等抗拉能力比抗壓能力小得多的材料，設計時不希望偏心壓縮在構件中產(chǎn)生拉應力。滿足這一條件的壓縮載荷的偏心距 yp ，zp 應控制在橫截面中一定范圍內(nèi)（使中性軸不會與截面相割，最多只能與截面周線相切或重合），由式（10-7）有， (10-8)橫截面上存

33、在的這一范圍稱為截面核心，它由式（10-8）的偏心距軌跡線圍成。式中 yot ，zot 現(xiàn)為橫截面周邊（輪廓線）上一點的坐標。例10-1 短柱的截面為矩形，尺寸為（圖10-4a）。試確定截面核心。解：對稱軸y，z即為截面圖形的形心主慣性軸，。設中性軸與AB邊重合，則它在坐標軸上截距為，于是偏心壓力P的偏心距為 ， 即圖10-4a中的a點。同理若中性軸為BC邊，相應為b點，b(0 , ) 。余類推，由于中性軸方程為直線方程，最后可得圖10-4a中矩形截面的截面核心為abcd（陰影線所示）。例10-2 讀者可證圖10-4b所示半徑為r的圓截面短柱，其截面核心為半徑為的圓形。扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合1圓截面

34、桿件設圖10-5a所示為圓截面桿橫截面上分別作用有彎矩 My ，Mz 和扭矩T 。對圓截面，通過圓心（形心）的任意方向的軸均為對稱軸，因而合力矩作用軸即中性軸，這時M作用下圓軸產(chǎn)生平面彎曲， 分布如圖a，在扭矩T作用下圓軸產(chǎn)生剪應力，分布如圖b，分別為， （a）危險點應力狀態(tài)如圖c所示，主應力為， （b）對塑性材料，可選用第三和第四強度理論，考慮式（b）后 （c）（d）對直徑為d的圓截面，有，考慮式（a）后式（c）與（d）分別有2矩形截面桿設圖10-6a和b所示為矩形截面上作用有彎矩My ，Mz 和扭矩T 。對矩形截面（），My ，Mz 分別形成以y軸和z軸為中性軸的平面彎曲，彎曲正應力分布如圖a所示。扭矩T在矩形截面上形