利用歐拉公式推導(dǎo)三角函數(shù)公式

1、第17卷第2期2014年3月高等數(shù)學(xué)研究S T U D I E S I N C O L L E G E MA T H E MA T I C S V o l .17,N o .2M a r .,2014d o i :10.3969/j林清1,蔡萍2(1.泉州市第九中學(xué)數(shù)學(xué)教研組,福建泉州362000;2.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建漳州363000收稿日期:2012-03-01;修改日期:2013-12-12作者簡介:林清(1976-,女,福建仙游人,中學(xué)一級教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.E m a i l :181341630q q.c o m 蔡萍(1979-,女,福建仙游人,碩士,講師,

2、從事非線性動力學(xué)研究.E m a i l :c a i p i n g0596163.c o m 摘要利用歐拉公式推導(dǎo)三角函數(shù)的15個相關(guān)公式,旨在深化學(xué)生對此類公式的理解、記憶和運用.關(guān)鍵詞歐拉公式;三角函數(shù)公式;復(fù)數(shù)域中圖分類號O 13文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號1008-1399(201402-0010-03D e r i v a t i o n o f t r i go n o m e t r i c f u n c t i o n f o r m u l a s u s i n g E u l e r s f o r m u l a L I N Q i n g 1,C A I P i n g

3、2(1.T e a c h i n g a n d r e s e a r c h g r o u p o f M a t h e m a t i c s ,Q u a n z h o u n i n t h m i d d l e s c h o o l ,Q u a n z h o u 362000,P R C ;2.S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,M i n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y ,Z h a n gz h o u 363000,P R

4、C A b s t r a c t :F i f t e e n r e l a t e d t r i g o n o m e t r i c f o r m u l a s a r e d e r i v e d b y u s i n g E u l e r 's f o r m u l a i n t h i s p a p e r .W e h o p e t h e s e w i l l h e l p s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d ,r e c a l l ,a n d a p p l y t h e s e f o r

5、 m u l a s .K e yw o r d s :E u l e r s f o r m u l a ,t r i g o n o m e t r i c f o r m u l a ,c o m p l e x d o m a i n 復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式e i =c o s +i s i n (1將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位,并且有著廣泛而重要的應(yīng)用1-3.利用歐拉公式易得c o s =e i +e -i 2,(2s i n =e i -e -i 2i,(3因此,歐拉公式使指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在復(fù)數(shù)域中實現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化

6、.近年來,歐拉公式已被廣泛應(yīng)用到初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中4-7.本文將利用歐拉公式導(dǎo)出部分三角函數(shù)公式.1三角函數(shù)大降冪高次冪的正余弦函數(shù)在計算上給我們帶來諸多不便,利用歐拉公式可把高次冪的正余弦函數(shù)表示為一次冪函數(shù)的代數(shù)和,從而簡化計算.1.1余弦大降冪由式(2易得(c o s 2k(=e i +e -i 22k=122k 2kj =0C j 2k (e i 2k -j (e -i j =122k k -1j =0C j2k(e i 2(k -j+2kj =k+1Cj2k(e i 2(k -j +C k 2k=122k k -1j =0C j2k(e i 2(k -j+k -1j =0C2k -

7、j 2k (e -i 2(k -j +C k 2k=122k -1k -1j =0C j2ke i 2(k -j +e -i 2(k -j2+C k 2k 2=122k -1k -1j =0C j2kc o s 2(k -j +C k 2k2,(4特別地,當(dāng)k =1時,有c o s 2=12(1+c o s 2.(5同理可得(c o s 2k +1=122k kj =0C j 2k +1c o s (2k -2j +1,(6特別地,當(dāng)k =1時,有c o s 3=14(c o s 3+3c o s .(71.2正弦大降冪由式(3及式(2易得(s i n 2k (=e i -e -i 2i2k=

8、1(2i 2k 2kj =0C j 2k (e i 2k -j (-e -i j =(-1k 122kk -1j =0(-1j C j2k(e i 2(k -j+(-1kC k 2k+2kj =k+1(-1j C j 2k (e i 2(k -j=(-1k122kk -1j =0(-1j C j2k(e i 2(k -j+k -1j =0(-12k -j C 2k -j 2k (e -i 2(k -j +(-1k C k 2k=(-1k22k -1k -1j =0(-1j C j 2ke i 2(k -j+e-i 2(k -j2+(-1k C k2k 2=(-1k22k -1k -1j =0(

9、-1j C j2kc o s 2(k -j +(-1k C k2k 2,(8特別地,當(dāng)k =1時,有s i n 2=12(1-c o s 2.(9同理可得(s i n 2k +1=(-1k22k kj =(-1j C j 2k +1×s i n (2k -2j +1,(10特別地,當(dāng)k =1時,有s i n 3=14(3s i n -s i n 3.(11以上所得到的降冪公式(4(6(8(10皆與數(shù)學(xué)手冊8中給出的降冪公式完全一致.2導(dǎo)出三角函數(shù)多倍角公式根據(jù)歐拉公式(1,一方面有(e i 2k =(c o s +i s i n 2k =2kj =0Cj2k(c o s 2k -j

10、(i s i n j =kj =0C 2j 2k(c o s 2(k -j (i s i n 2j +k -1j =0C 2j +12k (c o s 2(k -j -1(i s i n 2j +1=kj =0(-1jC 2j2k (c o s 2(k -j (s i n 2j +i k -1j =0(-1j C 2j +12k (c o s 2(k -j -1(s i n 2j +1,(12另一方面有(e i 2k =e i (2k =c o s (2k +i s i n (2k ,(13比較式(12和式(13的實部和虛部可得c o s (2k =kj =0(-1jC 2j2k(c o s

11、2(k -j (s i n 2j ,(14s i n (2k =k -1j =0(-1jC 2j+12k (c o s 2(k -j -1(s i n 2j +1,(15特別地,當(dāng)k =1時,即得二倍角公式c o s (2=c o s 2-s i n 2,(16s i n (2=2s i n c o s .(17同理可得(e i 2k +1=kj =0(-1jC 2j2k +1(c o s 2(k -j +1(s i n 2j +i kj =0(-1j C 2j +12k +1(c o s 2(k -j (s i n 2j +1,(18另因(e i 2k +1=e i (2k +1=c o s

12、 (2k +1+i s i n (2k +1,(19比較式(18和式(19的實部和虛部可得c o s (2k +1=kj =0(-1j C 2j 2k +1(c o s 2(k -j +1(s i n 2j ,(20s i n (2k +1=kj =0(-1jC 2j+12k +1(c o s 2(k -j (s i n 2j +1,(21特別地,當(dāng)k =1時,即得三倍角公式c o s (3=4c o s 3-3c o s ,(22s i n (3=3s i n -4s i n 3.(23以上所得到的多倍角公式(14(15和(20(21也與數(shù)學(xué)手冊8中完全一致.3導(dǎo)出和差化積公式文3利用歐拉公

13、式導(dǎo)出了兩角和(差的正、余弦公式c o s (±=c o s c o s s i n s i n ,(2411第17卷第2期林清,蔡萍:利用歐拉公式推導(dǎo)三角函數(shù)公式s i n (±=s i n c o s ±s i n c o s .(25我們將利用歐拉公式得出c o s +c o s =Re e i +e i =R e e i (+e i (-+ei (-=R e 2e i (+2c o s -2=2c o s -2c o s +2,(26s i n +s i n =Im e i +e i =I m ei (+2e i (+2+ei (-2=I m 2e i (

14、+2c o s -2=2c o s -2s i n +2,(27同理可得c o s -c o s =-2s i n +2s i n -2,(28s i n -s i n =2c o s +2s i n -2.(294導(dǎo)出積化和差公式利用歐拉公式易得c o s c o s =e i +e -i 2e i +e-i 2=(12e i (+e -i (+2+e i (-+e -i (-2=12c o s (+co s (-,(30同理可得s i n s i n =-12c o s (+-co s (-,(31s i n c o s =12s i n (+si n (-.(325結(jié)束語在數(shù)學(xué)歷史上有很

15、多公式都是歐拉發(fā)現(xiàn)的,它們都叫做歐拉公式,且分散在各個數(shù)學(xué)分支之中,復(fù)變函數(shù)論里的歐拉公式是最著名的歐拉公式之一.三角函數(shù)公式眾多,類型紛繁、靈活,這給解決三角變換問題帶來了諸多不便,本文通過歐拉公式來推導(dǎo)得出的結(jié)論,不僅可以使計算方便,也有很多理論上的意義.參考文獻(xiàn)1陳秀武.E u l e r 公式的巧用J .甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,20(2:87-88.2林金火.關(guān)于歐拉公式的推廣J .江蘇教育學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,24(3:71-74.3王玉華.歐拉公式的推論與應(yīng)用J .科技創(chuàng)新導(dǎo)報,2009(13:236.4辛華.歐拉公式在三角恒等變換中的推廣應(yīng)用J .雁北師范學(xué)院學(xué)報,2000,16(2:94-96.5周人民.運用歐拉公式求定積分J .科技信息,2008(18:167-168.6李勁.歐拉公式的幾種證明及其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用J .河西學(xué)院學(xué)報,2008,24(5:1-6.7E d w a r d s H D.E u l e r s D e f i n i t i o n o f t h e D e r i v a t i v e J .B u l l e t i n