動力學(xué)作業(yè)答案

1、4. 解：在空氣中： (1) 在液體中有系統(tǒng)的振動方程： （2） (3)結(jié)合(1)(3)可得：將上式變形后得：5解質(zhì)量m產(chǎn)生的離心慣性力是。它在L法線方向的分量（是擺線與O之間的夾角）由幾何關(guān)系可以得到：（是擺線與水平線之間的夾角）當(dāng)擺角很小時有：質(zhì)量m的切向加速度：，（是擺線與質(zhì)量到O連線的夾角）二力對點(diǎn)取力矩的合力應(yīng)等于零。整理后得到 （1）無阻尼受迫振動方程為： （2）將（1）（2）對比后得到：系統(tǒng)的固有角頻率為：6解：桿與水平面的夾角為，則利用等效質(zhì)量和等效剛度先把原系統(tǒng)簡化到B點(diǎn)，根據(jù)簡化后動能相等。 簡化前后勢能相等。固有頻率：7解：在臨界位置系統(tǒng)的自由振動方程的解為：其中 ， 到

2、達(dá)平衡位置時，令帶入相關(guān)數(shù)據(jù)得8解：在臨界點(diǎn)狀態(tài)時系統(tǒng)的自由度振動方程解為：其中 （1） （2）到達(dá)平衡位置時，由（1）可得令帶入相關(guān)數(shù)據(jù)得 到達(dá)最遠(yuǎn)位置時，由（2）可得帶入到（1）可得9解：系統(tǒng)的振動方程為其解為 式中常數(shù)由初始條件確定，利用（1）可得 帶入（1）得初始響應(yīng)為： （2）由已知條件可知，。帶入（2）近似得到。式子中固有頻率為，10解:有圖示可得F（t）的方程式由傅里葉級數(shù)求各項系數(shù)分別為將帶入。系統(tǒng)的振動方程為： 其中解方程后得：2-1解：依題意得 取圓柱體的圓心的水平位移位x和棒偏離平衡位置時的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。設(shè)圓柱體的圓心為O，棒的質(zhì)心為中點(diǎn)A，系統(tǒng)的動能和勢能分別為=將動

3、能和勢能帶入到拉格朗日方程可以得到： （j=1,2,3.n）式子中的分別振動方程中廣義坐標(biāo)和廣義速度，n位系統(tǒng)的自由度。在做微小的振動時，可以忽略sin,并有,得到振動方程為由振動方程得頻率方程 2-4解，由影響系數(shù)法可得 ，設(shè)系統(tǒng)的剛度矩陣為，2-8解 設(shè)m1,m2,m3運(yùn)動的位移分別為x1,x2,x3.系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程 得特征方程展開得 解得特征值和固有頻率將帶入到特征方程，得方程組設(shè)=1，（r=1,2,3）,解得2-10解 重物的質(zhì)量都為m,則得到頻率方程為有上述方程得到：。2-12解，取直角坐標(biāo)系X-Y(以右下角彈簧為X軸，Y軸垂直X軸向上)，計算剛度影響系數(shù)，令x1=1,y1=0令

4、x2=0,y1=1故剛度矩陣為 振動微分方程為 得到固有頻率由于振動方程是兩個獨(dú)立的，表明x,y就是兩個主坐標(biāo)，因此主振型為2-14解：由已知 兩端邊界條件為固定端 ，自由端 由自由端邊界條件得頻率方程：帶入各單元狀態(tài)變量的第一元素：，得到模態(tài)：1解 系統(tǒng)的振動微分方程；系統(tǒng)的等效剛度為k=2k1,則固有頻率為。下面求振動響應(yīng)的位移，速度和加速度。系統(tǒng)是一個單自由度系統(tǒng)，將數(shù)據(jù)帶入到振動方程，解微分方程可得，將式子求一次導(dǎo)后，帶入初始條件?？梢郧蟮肅1和C2.相應(yīng)得到振動響應(yīng)的位移，速度和加速度。通過歐拉法及其改進(jìn)編寫Matlab程序，也可以求得。2解 系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為上式的矩陣形式的M,

5、C和K都是對稱的，對于兩自由度的振動方程，由通解可得：其中，只需要將對應(yīng)的矩陣中的元素帶入其中即可求出。求得的響應(yīng)中含有常數(shù)，帶入初始條件V即可確定響應(yīng)。該題也可通過馬克法計算響應(yīng)。3解 系統(tǒng)的振動方程的矩陣形式為對于三自由度的系統(tǒng)，已知質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，其特征值的問題為,U為一組常數(shù)，K,M分別為剛度和質(zhì)量矩陣。特征方程為 =0通過以上式子可以求得三個固有頻率。已知振動微分方程，求系統(tǒng)的響應(yīng)，實(shí)際求2階非齊次方程解。該題也可通過威爾森法計算響應(yīng)4-1解 兩端固定的弦自由振動微分方程的解為 （1） 式子中初始條件為 于是 將初始位移條件展開成傅里葉級數(shù)： （2） 由（1）式得 （3）將（2）

6、式i=n,與（3）比較可得， （n=1,3,5.）所以4-2解 ky F mg 弦振動微分方程的解為 其中 （1）根據(jù)端點(diǎn)條件x=0有 當(dāng)x=時，質(zhì)量塊受弦張力，彈簧恢復(fù)力及自身重力，可以得到 由于m只能作很小的振動 所以有 （2）將D帶入(1)，再將（1）帶入到（2）中得到頻率方程4-3解系統(tǒng)的振動微分方程的解為 帶入初始條件得到系統(tǒng)的頻率方程為將上式子進(jìn)行合并可得到4-4解設(shè)桿的截面縱向位移為y，直桿縱向振動微分方程為微分方程的解為 (1)根據(jù)邊界條件x=0.y(0,t)=0得 D=0當(dāng)x=l時，根據(jù)受力分析得到 (2)將D帶入1式，再將1式帶入到2式得到4-5解 一端固定，一端自由的圓桿扭轉(zhuǎn)的自由振動的解為 （1）式子中初始條件 帶入到（1）得 （2）將2式等號左右前乘