課例二面角的教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)述

1、課例二面角的教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)述教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念。技能目標(biāo)：通過組織引導(dǎo)學(xué)生參與“二面角”、“二面角的平面角”概念的發(fā)現(xiàn)、形成和發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生探究能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，并能解決有關(guān)簡單的二面角問題。情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。教學(xué)方法：探導(dǎo)式教學(xué)過程：引入師：同學(xué)們爬過山嗎？生：爬過，爬過高山，爬過平坦的山，也爬過陡峭的山，很刺激。師：怎樣的山看上去陡峭？生：山坡與水平面愈垂直，這樣的山愈陡峭。師：怎樣的山看上去“平坦”？生：山坡與水平面所成角愈小，這樣的山就愈“平坦”。師：山坡陡峭與否，跟山坡與水平面所成的角大小有關(guān)。生：老師，山

2、不是凹凸不平，彎曲的嗎？它的坡面是不平的，那坡面與水平面所成的角，是怎么回事？師：現(xiàn)實(shí)的山確實(shí)是這樣凹凸不平，彎曲的，大家對(duì)這位同學(xué)所提的問題，意見如何？（學(xué)生議論紛紛，思索著。）生：若從全局來看整個(gè)山坡面是凹凸不平，彎曲的，但從局部小范圍去看，山坡面可看作“平”，物理中不也是把山坡面看作平面，這樣山坡面與水平面所成的角就是平面與平面所成的角。師：這位同學(xué)講得很好，現(xiàn)實(shí)生活中一些問題，只需給適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)化，便可轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決。今天我們研究平面與平面所成的角。（老師板書課題）二面角評(píng)：教師的責(zé)任就是指導(dǎo)、激發(fā)學(xué)生積極地思考，幫助學(xué)生去觀察、分析和判斷。把二面角置于爬山的背景

3、之中，這樣引進(jìn)新課，不僅自然，學(xué)生學(xué)起來興趣、具體、生動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)，更重要的是讓學(xué)生能夠主動(dòng)去想、去探究，在探究過程中不斷檢驗(yàn)、判斷自己和他人的思維，更好的促使學(xué)生提出自己的創(chuàng)見新課師：請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本p39-p40上數(shù)第3行止。（學(xué)生閱讀課本）師：什么是半平面？生：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成兩部分，其中一部分叫做半平面。師：什么是二面角？及表示方法怎樣？生：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。可表示為二面角-ab-，分別是二面角的面，ab叫二面角的棱。評(píng)：引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本，對(duì)二面角的定義理解及學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)必有好處。師：（放出幻燈）以下哪些圖形是表示一個(gè)

4、二面角？生：（1）-（5）是一個(gè)二面角，（6）是二個(gè)二面角。評(píng)：對(duì)二面角的圖形進(jìn)行變式，有利于學(xué)生更深刻理解二面角的本質(zhì)含義。師：（提出問題，老師邊演示山的模具，邊講述題意）山上有一條直道cd與山腳線成30°，一人沿著cd爬上100米后，問這時(shí)此人站的地方有多高？生：此人這時(shí)站的高度不定，跟山坡陡度大小有關(guān)，當(dāng)陡度大，此人站的位置就要高，反之，就低。師：山坡陡度就是山坡面與水平面所成二面角的大小有關(guān)，而二面角大小如何去度量呢？（學(xué)生思考）師：斜線與平面所成角的大小是怎樣度量？生：我知道，斜線和斜線在平面上的射影所成角的大小規(guī)定為斜線與平面所成角的大小。師：對(duì)，即把斜線與平面所成角轉(zhuǎn)化

5、為平面幾何中的線和線所成角。下面請(qǐng)同學(xué)們討論二面角的度量方法。（學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手?jǐn)[弄二面角模具，并與同桌、前后桌同學(xué)之間共同討論。）師：誰來談自己的想法。（學(xué)生講述各自的想法，老師板書。）生：分別在二個(gè)半平面上，過棱上一點(diǎn)o作oaa、oba，把a(bǔ)ob大小規(guī)定為二面角大?。▓D1）。生：在一個(gè)半平面上取一點(diǎn)a，作ab垂直另一個(gè)半平面，b為垂足，過b作ob垂直棱，o為垂足，連oa，把a(bǔ)ob大小規(guī)定為二面角大?。▓D2）。生：過二面角棱上一點(diǎn)0作平面垂直棱，分別交兩個(gè)面oa，ob，把a(bǔ)ob大小規(guī)定為二面角大?。▓D3）。師：以上幾位同學(xué)得出aob有什么共同點(diǎn)？師生一起歸納小結(jié)：（1）兩條射線oa，ob分

6、別在，上，且o在棱a上。（2）oaa，oba。師：對(duì)于同一個(gè)二面角以上三種作法得出的aob大小相同嗎？生：相同。師：我也有一種想法，請(qǐng)同學(xué)們討論一下。這樣行不行。放出幻燈并講述想法：如圖（4）若aob=30°bod=45°，把a(bǔ)ob的大小規(guī)定為二面角-cd-的大小。生：不行，當(dāng)兩個(gè)面合攏的時(shí)候，aob=15°、但二面角為0°，不合常規(guī)。師：如圖（5）若“bod=45°”改為“bod=30°”結(jié)果又怎樣？生：也不行，當(dāng)兩個(gè)平面轉(zhuǎn)“平”的時(shí)候，二面角為180°，而aob=60°不合常規(guī)。師：我們把圖（1）、（2）、（3

7、）中aob稱為二面角-ab-的平面角。aob大小就是二面角大小。這樣規(guī)定，合情合理。同學(xué)們提出的圖（1）、（2）、（3）是作二面角的平面角常用三種方法。一個(gè)二面角中它的平面角是否只有一個(gè)？生：有無數(shù)個(gè)，但它們大小相等。評(píng)：學(xué)生在參與探討度量二面角大小方法過程中，生生之間、師生之間互相交流，共同討論，變單向傳遞為多向交流，這樣既發(fā)揮了學(xué)生主體作用，又有利于學(xué)生協(xié)作意識(shí)形成和創(chuàng)新能力培養(yǎng)。師：（放出幻燈）在正方體-中（如圖6）求二面角-大小，（2）求二面角-大小，（3）求二面角-的正切值，（4）若為中點(diǎn)，作出二面角-的平面角。（師生一起討論完成）（過程略）評(píng)：從一道題出發(fā)通過一題多變，進(jìn)行變式練習(xí)

8、，不僅是使學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能的有效手段，更有利于學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性如圖7：山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數(shù)）是60°，山坡上有一條直道，它和坡腳的水平線的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后，升高了多少米？圖7解：已知=100米，設(shè)垂直于過的水平平面，垂足為，線段的長度就是所求的高度。在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足是，連結(jié)。平面，。因此，就是坡面和水平平面所成的二面角的平面角，=60°。由此得=sin60°=sin30°sin60°=100sin30°sin60°=答：沿直道前

9、進(jìn)100米，升高約43。3米。評(píng)：從實(shí)際問題出發(fā)，又以實(shí)際問題結(jié)束，將理論與實(shí)際相結(jié)合的數(shù)學(xué)原理，提到了更重要的高度。三、小結(jié)：師：同學(xué)們把上圖中山“去掉”留下的圖形是什么幾何體？有哪些特征？生：是一個(gè)四面體，這個(gè)四面體四個(gè)面都是直角三角形。這個(gè)圖中還包含二面角的平面角、線與面所成角、點(diǎn)到線距離、點(diǎn)到面距離等。師：這個(gè)四面體是立體幾何中最常用的一個(gè)基本圖形，立體中許多問題都可化歸到這個(gè)四面體進(jìn)行求解，這就是數(shù)學(xué)中最常用一種化歸思想。關(guān)于二面角計(jì)算題或證明題，關(guān)鍵找（作）出二面角的平面角，今天我們講了作二面角的平面角三種方法。這節(jié)課講的兩個(gè)例題用圖（2）方法-三垂線法作二面角的平面角，這樣通過作二面角的平面角，把立體幾何問題化歸為平幾問題來處理。許多實(shí)際應(yīng)用題，通過建模，可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。我們的周圍處處有數(shù)學(xué)，希望同學(xué)們學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，并加以探索和研究。四、作業(yè)：p451-6評(píng)：大多數(shù)學(xué)生之所以學(xué)習(xí)有困難，解決問題能力差，問題在于他們所獲得的概念、知識(shí)不是通過研究事實(shí)和現(xiàn)象的途徑形成的，而是死記硬背得來的。本課例設(shè)計(jì)不是簡單地將二面角及二面角的平面角定義直接傳受給學(xué)生，