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文檔簡介
1、畫出狀態(tài)圖(o) D. a并求出各符號穩(wěn)態(tài)概率。解:由題可得狀態(tài)概率矩陣為:狀態(tài)轉換圖為:令各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)分布概率為,貝V:目勺勺呂回®目,回月兇勺目, 兇=勺兇穩(wěn)態(tài)分布概率為:u=£, a =目,勺=E2-2.由符號集0, 1組成的二階馬爾可夫鏈,其轉移概率為:P(0|00)=0.8(0|11)=0.2(1|00)=0.2(1|11)=0.8(0|01)=0.5(0|10)=0.5(1|01)=0.5(1|10)=0.5畫出狀態(tài)圖,并計算各符號穩(wěn)態(tài)概率。解:狀態(tài)轉移概率矩陣為:0. 80. 50. 30 2令各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)分布概率為、,利用(2-1-17 )可得方程組。解方程
2、組得:2-3、同時擲兩個正常的骰子,也就是各面呈現的概率都是丨,求:(1)、“3和5同時出現”事件的自信息量;(2)、“兩個1同時出現”事件的自信息量;(3)、兩個點數的各種組合的熵或平均信息量;(4)、兩個點數之和的熵;(5)、兩個點數中至少有一個是 1的自信息量。解:(1) 3和5同時出現的概率為:(2)兩個1同時出現的概率為:(3 )兩個點數的各種組合(無序對)為:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3.4) ,(3,5),(3,6)(4.4) ,(4,5),(4,6)(5.5) ,(5,6)(
3、3,3),(6,6)其中,(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)1/36,其余的概率均為1/18所以,的概率為事件(4)兩個點數之和概率分布為:信息為熵為:(5)兩個點數之中至少有一個是 1的概率為: _凹|2-4.設在一只布袋中裝有100個用手觸摸感覺完全相同的木球,每個球上涂有一種顏色100個球的顏色有下列三種情況:(1) 紅色球和白色球各 50個;(2) 紅色球99個,白色球1個;(3) 紅、黃、藍、白色球各 25個。分別求出從布袋中隨意取出一個球時,猜測其顏色所需要的信息量。解:(1)設取出的紅色球為,白色球為;有栄| , . _則有:|=1事
4、件(2) 亠【,J ;則有::=0.081 (事件)(3) 設取出紅、黃、藍、白球各為、,有則有:二Y /事件2-5、居住某地區(qū)的女孩中有 25淀大學生,在女大學生中有75% 身高為1.6M以上,而女孩中身高1.6M以上的占總數一半。假如 得知“身高1.6M以上的某女孩是大學生”的消息,問獲得多少 信息量?解:設女孩是大學生為事件 A,女孩中身高1.6m以上為事件B,則 p(A)=1/4, p (B)=1/2,p ()=3/4,則P() x I BI () = ( 1() ) =1.422-6.擲兩顆,當其向上的面的小圓點數之和是 3時,該消息所 包含的信息量是多少?當小圓點數之和是 7時,該
5、消息所包含的信息量又是多少?解:(1 )小圓點數之和為3時有(1,2 )和(2,1 ),而總的組合數為36,即概率為,貝V(2)小園點數之和為7的情況有(1,6 ), (6,1 ) (2,5 ) (5,2 )(3,4 )( 4,3 ),則概率為 |:僉|,貝V有2-7、設有一離散無記憶信源,其概率空間為出現14次,出現13次,出(1) 、求每個符號的自信息量;(2) 、信源發(fā)出一消息符號序列為,求該消息序列的自信息量及平均每個符號攜帶的信息量解:(1) 的自信息量為:的自信息量為:的自信息量為:的自信息量為:(2)在該消息符號序列中, 現12, 出現6次,所以,該消息序列的自信息量為:I ()
6、 =14 I ( ) +13 I () +12 I () +6 1()平均每個符號攜帶的信息量為:2-8 .試問四進制、八進制脈沖所含的信息量是二進制脈沖的多少倍?解;設二進制、四進制、八進制脈沖的信息量為所以,四進制、八進制脈沖信息量分別是二進制脈沖信息量的2倍、3倍。2-10在一個袋中放5個黑球、10個白球,以摸一個球為實驗, 摸出的球不再放進去。求:(1)一次實驗中包含的不確定度;(2)第一次實驗X摸出是黑球,第二次實驗 Y給出的不確定 度;(3)第一次實驗X摸出是白球,第二次實驗 Y給出的不確定 度;(4)第二次實驗包含的不確定度。解:(1) 一次實驗的結果可能摸到的是黑球或白球,它們
7、的概率分別是.訂,匚。所以一次實驗的不確定度為(2)當第一次實驗摸出是黑球,則第二次實驗Y的結果可能是摸到黑球或白球,它們的概率分別是 .二三|、.所以該事件的不確定度為°/符號(3) 當第一次實驗摸出是白球,則第二次實驗Y的結果可能是摸到黑球耳或白球,它們的概率分別是| 、| |所以該事件的不確定度為/符號(4)二次實驗B出現結果的概率分布是p()(黑,黑)=0,p()(黑,白)=0, p()(白,黑)=3, p()(白,白)=E 所以二次實驗的不確定度為H(B)=0.91 符號2-11有一個可旋轉的圓盤,盤面上被均勻地分成38份,用1, 2,、38數字標示,其中有2份涂綠色,18
8、份涂紅色,18份 涂黑色,圓盤停轉后,盤面上指針指向某一數字和顏色。(1) 若僅對顏色感興趣,則計算平均不確定度;(2) 若對顏色和數字都感興趣,則計算平均不確定度;(3) 如果顏色已知時,則計算條件熵。解:令X表示指針指向某一數字,則1,2, .,38Y 表示指針指向某一種顏色,則綠色,紅色,黑色Y 是X的函數,由題意可知 I(1) 僅對顏色感興趣,則H(c)= J 二一2耳 j I =0.2236+1.0213 =1.245(2) 對顏色和數字都感興趣,則H()(n)=38(- | )21=5.249如果顏色已知時,則H () ()(h)=5.249-1.245=4.0042-12、兩個實
9、驗 X和 Y, , ,聯合概率I為(1) 如果有人告訴你 X和Y的結果,你得到的平均信息量是多少?(2) 如果有人告訴你Y的結果,你得到的平均信息量是多少?(3) 在已知Y的實驗結果的情況下,告訴你X的實驗結果,你得到的平均信息量是多少?解:(1)、(3)、2-13有兩個二元隨機變量 X和Y,它們的聯合概率如右圖所示并定義另一隨機變量(一般乘積)X01Z010X %7/1/1%-T/8試計算:解:( 1)1)(1),刁,乂|,ri,| = |0, ,J0,(3)L2SI,z = xr的概率分布如下*1 一 同理:(000)=1/8, (010)=3/8, (100)=3/8, P(111)=1
10、/8(110)(001)(101)(011)=0匚T(2)由于| ;所以:則,0上i 一 *(3) 到由于同理有:2.16黑白傳真機的消息元只有黑色和白色兩種,即黑,白,一般氣象圖上,黑色的出現概率p(黑)=0.3,白色出現的概率p(白)=0.7。(1) 假設黑白消息視為前后無關,求信源熵H(X),并畫出該信 源的香農線圖(2) 實際上各個元素之間是有關聯的,其轉移概率為:P(白| 白)=0.9143 , P(黑 | 白)=0.0857 , P(白 | 黑)=0.2 , P(黑 | 黑) =0.8,求這個一階馬爾可夫信源的信源熵,并畫出該信源的香農線圖。(3)比較兩種信源熵的大小,并說明原因。
11、解:(1)1符號P(黑|白)(黑)P(白|白)=P(白)0.70.3黑白0.70.3”P(黑|黑)=P(黑)P(白|黑)=P(白)(2)根據題意,此一階馬爾可夫鏈是平穩(wěn)的(P(白)=0.7不隨時間變化,P(黑)=0.3不隨時間變化)=0.512符號2.20給定語音信號樣值X的概率密度為一 -I求(X),并證明它小于同樣方差的正態(tài)變量的連續(xù)熵。解:I x I2-23連續(xù)隨機變量X和Y的聯合概率密度為求匚:, 7 , _1解:|EB1隨機變量X的概率密度分布為 _IJ,呈標準正態(tài)分布。其中數學期望為0,方差為S;隨機變量Y的概率密度分布為|,也呈標準正態(tài)分布。其中數學期望為0,方差為()。解: (
12、 1)(2)(3)2-25某一無記憶信源的符號集為0,1,已知(1)求符號的平均熵。(2)由100個構成的序列,求某一特定序列(例如有 m個0和100個1)的自由信息量的表達式。(3)計算(2)中的序列的熵2-26 一個信源發(fā)出二重符號序列消息( 回,勺),其中第一個符號 可以是A, B, C中的任一個,第二個符號可以是D, E,F,G中的任一個。已知各個叵 為.址丨,敦.|,. 乂丨;各個值列成如下。求這個信源的熵(聯合熵)AEcD%茹XB%X%FXK%KXo胎解: -2.29有一個一階平穩(wěn)馬爾可夫鏈I ,各取值于集合列,已知起始概率P()為 一 ,轉移概率如 下圖所示ji12311/21/
13、41/422/301/332/31/30(1) 求bi的聯合熵和平均符號熵(2) 求這個鏈的極限平均符號熵(3) 求 F 和它們說對應的冗余度 解: ( 1)1 = 112311/41/81/821/601/1231/61/120X,的聯合概率分布為12314/245/245/24X2的概率分布為那么=1.209符號沁的聯合概率分布為I 712317/247/487/4825/3605/1235/365/120那么=1.26符號I/符號所以平均符號爛|/符號(2)設ai23穩(wěn)定后的概率分布分別為W123,轉移概率距陣為又滿足不可約性和非周期性/符號/符號1-p1-p圖 2-132.32 一階馬爾可夫信源的狀態(tài)圖如圖2-13所示,信源X的符號集為(0, 1, 2)。(1)求信源平穩(wěn)后的概率分布P(0)(1) (2)
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