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1、數(shù)列的通項(xiàng)公式一. 給出數(shù)列的前幾項(xiàng),寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式111 11.1 -1,4,一8,16,32,川2 3,33,333,3333,1“3 6 5,6565,6516565,12344 2,25,29,213,217川5 5,0,一5,0,5,0, 一5,0,川 6,,川v f'廠'3漢5 5沢7 7疋9 9疋117 2,46, 81 01 2,1 41 6| 1 820 ,二. 遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法1 .公式法:直接可以判斷數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列已知數(shù)列:an中,a 1=8,a 4 =4,滿足 an 2 -'2an 彳 an = 0, n :- N ,(
2、1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)求5 =囘|+|a2| +川+|an|.2. 疊加法:形如anan f n1已知數(shù)列:an ?中,若6 = 3,an彳=an ,求的通項(xiàng)公式.2已知數(shù)列an /中,若ai = 3,nan彳=n 2 an n,求、an啲通項(xiàng)公式3已知數(shù)列:an 中,若a1 = 1, an = an 4 ,求'an .啲通項(xiàng)公式.2n13. 疊乘法:形如an彳=f n an1 數(shù)列 On 沖,a1 =1,an1 嚴(yán),求an.n +12 數(shù)列 Q 沖 4 =1,S = n2an,求a“.2 正項(xiàng)數(shù)列 玄?中,a1, n 7 a; 1 -na; a.an 1 =0,求a.4.
3、利用an二Sn -Sn4,n 一2求通項(xiàng)公式1 .數(shù)列3中,a1=1,a n2S;2Sn -1n-2 ,求an.2設(shè)數(shù)列CaJ的前n項(xiàng)和為Sn=2n2 + n+3,求數(shù)列 低的通項(xiàng)公式.5待定系數(shù)法kb1h一形如 an+1二kan+b,變形為 a.+i- k ank -1J例 1 數(shù)列 a :中 ,a 1=1,a n+1=2an +3,求an.二 形如an+1=kan+b qn,變形為 空1上 幕 -或 鴛上 理 -q q q q q qq例2設(shè)數(shù)列 d?的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1 = 1, Sn+1=4an+21設(shè)bn =an1 2an,證明數(shù)列:bn /是等比數(shù)列.2求數(shù)列CaJ的通項(xiàng)公式
4、6. 形如an1 =pan qan用特征根法:設(shè) Xr 十 x2 = p, x1,x2 = -q. 設(shè)an 1 - xany an - xanJ化為等比數(shù)列.例:數(shù)列 Can?中,a 1=1,a 2=17,a n+2=5an+1-6a n,求a.法 1 :為=2an.2-2an1 =3an 1-2anan2an= 15 3兩式相減:lx2 =3 an也3an十=2(an卑一紙)=a -3a14 -2nn _1n _1nnan =15 3-14 2=5 3 -7 2法2:當(dāng)為x2時(shí),a n=c1xin - c2x2 =c 2n c 3na2c1 3q; a2 = 4q 9c2 = o)= 7,
5、q = 5, a* = 5 3n -7 -2n7. 取倒數(shù)法:例:已知數(shù)列 :an 中,a1 =1,aa( n_2),求 anaJ3_ 111111123解:-,1,1 n1n , an :an an3 qan3 33n 28. 形如an+ = pan(p 0,q),用取對(duì)數(shù)法:lgan = qlg an +lg p例: 1 數(shù)列/中,a:;,2,a . 2anj,求a“. 2 數(shù)列 f a 沖,印=3耳 t =a;,求a.n9. 迭代法:例:設(shè)數(shù)列 gn 呻,a t =1,a2 =8,an = 、an4an/ n_ 3 . 1 求 an與anj的關(guān)系式;2 求 an.10. 歸納,猜想,證明
6、法/ 例:數(shù)列an中各項(xiàng)均正數(shù),Sn=T an +丄,求an.2 I an 丿11. 方程組法:例:各項(xiàng)均正數(shù)的數(shù)列 an, bn,若 ai =1,bi =2,且 an,bn,an 出成等差數(shù)列, bn,ani,bni成等比數(shù)列,求玄.©.12不動(dòng)點(diǎn)法:若f t二t,則稱t為函數(shù)f x的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函數(shù) f x = ax ; c = O,ad -bc = O 若數(shù)列 CaJ 滿足 an = f ann 1 即an二a an二 .給定初始值 a f a .c anl d定理1.若函數(shù)f x有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p、q.即方程ex2亠d - a x - b = 0 有兩個(gè)相異實(shí)根p q.則有數(shù)
7、列aP是以為首項(xiàng),“空幸lan-qj印-qa-eq為公比的等比數(shù)列.例1.已知數(shù)列Bn沖,滿足a1 =2且an =3an5, n_ 2, nN*,求數(shù)列的通項(xiàng)公式5an+3解:構(gòu)造函數(shù)f5,易求得函數(shù)f x有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)為 p=-1,q=1.由定理1可得數(shù)列 心 是以 埜=3為首相,以k二 空 =-4為公比的等比數(shù)列.J an _ 1a-13-5n -1an 1nJ3 V 1*所以=an= ,n e N .an T3D -1定理2:若函數(shù)f x只有唯一的不動(dòng)點(diǎn)p,即方程ex2 d - a x-b =0只有唯一解p. 則有數(shù)列是以為首項(xiàng),以 上乞?yàn)楣畹牡炔顢?shù)列.lanpja1pa+d例2:已知數(shù)列:an計(jì),滿足a2,且an二如 】,n_ 2, n,N*,求數(shù)列 茁的通項(xiàng)公式.甌+24x -1r 1解:構(gòu)
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