拉氏變換及其計(jì)算機(jī)公式

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上時(shí)域的函數(shù)可以通過線性變換的方法在變換域中表示，變換域的表示有時(shí)更為簡(jiǎn)捷、方便。例如控制理論中常用的拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換，就是其中的一種。一、拉氏變換的定義已知時(shí)域函數(shù)，如果滿足相應(yīng)的收斂條件，可以定義其拉氏變換為 (2-45)式中，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)，變量為復(fù)變量，表示為(2-46)因?yàn)槭菑?fù)自變量的函數(shù)，所以是復(fù)變函數(shù)。有時(shí)，拉氏變換還經(jīng)常寫為 (2-47)拉氏變換有其逆運(yùn)算，稱為拉氏反變換，表示為 (2-48)上式為復(fù)變函數(shù)積分，積分圍線為由到的閉曲線。二、常用信號(hào)的拉氏變換 系統(tǒng)分析中常用的時(shí)域信號(hào)有脈沖信號(hào)、階躍信號(hào)、正弦信號(hào)等。現(xiàn)復(fù)習(xí)一些基本時(shí)域信

2、號(hào)拉氏變換的求取。(1)單位脈沖信號(hào) 理想單位脈沖信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 (2-49)且 (2-50)所以 (2-51)說明： 單位脈沖函數(shù)可以通過極限方法得到。設(shè)單個(gè)方波脈沖如圖2-13所示，脈沖的寬度為，脈沖的高度為，面積為1。當(dāng)保持面積不變，方波脈沖的寬度趨于無窮小時(shí)，高度趨于無窮大，單個(gè)方波脈沖演變成理想的單位脈沖函數(shù)。在坐標(biāo)圖上經(jīng)常將單位脈沖函數(shù)表示成單位高度的帶有箭頭的線段。由單位脈沖函數(shù)的定義可知，其面積積分的上下限是從到的。因此在求它的拉氏變換時(shí)，拉氏變換的積分下限也必須是。由此，特別指明拉氏變換定義式中的積分下限是,是有實(shí)際意義的。所以，關(guān)于拉氏變換的積分下限根據(jù)應(yīng)用的實(shí)際情況有

3、，三種情況。為不丟掉信號(hào)中位于處可能存在的脈沖函數(shù)，積分下限應(yīng)該為。 (2)單位階躍信號(hào) 單位階躍信號(hào)的數(shù)學(xué)表示為 (2-52) 又經(jīng)常寫為 (2-53)由拉氏變換的定義式，求得拉氏變換為 (2-54)因?yàn)?階躍信號(hào)的導(dǎo)數(shù)在處有脈沖函數(shù)存在，所以單位階躍信號(hào)的拉氏變換，其積分下限規(guī)定為。(3)單位斜坡信號(hào)單位斜坡信號(hào)的數(shù)學(xué)表示為 (2-55) 圖2-15單位斜坡信號(hào) 另外，為了表示信號(hào)的起始時(shí)刻，有時(shí)也經(jīng)常寫為 (2-56)為了得到單位斜坡信號(hào)的拉氏變換，利用分部積分公式 得 (2-57)(4)指數(shù)信號(hào)指數(shù)信號(hào)的數(shù)學(xué)表示為 (2-58)拉氏變換為 (2-59) (5)正弦、余弦信號(hào) 正弦、余弦

4、信號(hào)的拉氏變換可以利用指數(shù)信號(hào)的拉氏變換求得。由指數(shù)函數(shù)的拉氏變換，可以直接寫出復(fù)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換為 (2-60)因?yàn)?(2-61)由歐拉公式 (2-62)有 (2-63)分別取復(fù)指數(shù)函數(shù)的實(shí)部變換與虛部變換，則有：正弦信號(hào)的拉氏變換為 (2-64)同時(shí)，余弦信號(hào)的拉氏變換為(2-65)常見時(shí)間信號(hào)的拉氏變換可以參見表2-1。表2-1常見函數(shù)的拉普拉斯變換表 三、拉氏變換的一些基本定理(1)線性定理 若函數(shù)的拉氏變換分別為，則 (2-66)(2)延遲定理 若函數(shù)的拉氏變換為，則 (2-67)信號(hào)與它在時(shí)間軸上的平移信號(hào)的關(guān)系見圖2-18所示。該定理說明了時(shí)間域的平移變換在復(fù)數(shù)域有相對(duì)應(yīng)的衰減

5、變換。 應(yīng)用延遲定理，可以簡(jiǎn)化一些信號(hào)的拉氏變換的求取。 例2-9 周期鋸齒波信號(hào)如圖2-18所示，試求該信號(hào)的拉氏變換。 解：該信號(hào)為周期信號(hào)。因此，已知信號(hào)第一周期的拉氏變換為時(shí)，應(yīng)用拉氏變換的延遲定理，得到周期信號(hào)的拉氏變換為 鋸齒波信號(hào)第一周期的拉氏變換為 所以，鋸齒波信號(hào)的拉氏變換為 (3)衰減定理 若函數(shù)的拉氏變換為，則 (2-68)該定理說明了時(shí)間信號(hào)在時(shí)間域的指數(shù)衰減，其拉氏變換在變換域就成為坐標(biāo)平移。當(dāng)時(shí)間函數(shù)帶有指數(shù)項(xiàng)因子時(shí)，利用拉氏變換的衰減定理，可以簡(jiǎn)化其拉氏變換的求取計(jì)算。 例2-10 試求時(shí)間函數(shù)的拉氏變換。 解： 因?yàn)檎液瘮?shù)的拉氏變換為 所以，應(yīng)用拉氏變換的衰減

6、定理可以直接寫出 另外，衰減定理與延遲定理也表明了時(shí)間域與變換域的對(duì)偶關(guān)系。(4)微分定理 若函數(shù)的拉氏變換為，且的各階導(dǎo)數(shù)存在，則各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為 (2-69)(2-70)(2-71)當(dāng)所有的初值(各階導(dǎo)數(shù)的初值)均為零時(shí)，即 則 (2-72)(2-73) (2-74)證明：(在此只證明一階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換，其余請(qǐng)讀者自證)由拉氏變換的定義式 利用分部積分公式 令 則 所以 證畢。(5)積分定理 若函數(shù)的拉氏變換為，則 (2-75)定理的證明同樣采用分部積分公式可以證得，請(qǐng)讀者自證。式中 為函數(shù)的在時(shí)刻的積分值。積分定理與微分定理互為逆定理。(6)初值定理 若函數(shù)的拉氏變換為，且在處有初值

7、，則 (2-76)即時(shí)域函數(shù)的初值，可以由變換域求得。證明 由微分定理令即可證得。 注意，拉氏變換的初值定理是滿足拉氏變換的定義的，因此由初值定理所求得的時(shí)間信號(hào)的初值為，而不是或者。例如階躍信號(hào)，可以利用拉氏變換的初值定理求得其初值為 (7)終值定理 若函數(shù)的拉氏變換為，且存在，則 (2-77)即時(shí)域函數(shù)的終值，也可以由變換域求得。證明：由微分定理 兩邊對(duì)取極限 因?yàn)?，所以方程左邊方程右?所以 證畢。 (8)卷積定理若時(shí)域函數(shù)分別有拉氏變換，時(shí)域函數(shù)的卷積分為 (2-78)又常表示為 (2-79)則其拉氏變換為 (2-80)這表明時(shí)域函數(shù)卷積分在變換域成為變換域函數(shù)的乘積。證明可參考其他教

8、材。時(shí)域函數(shù)在變換域中表示有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)。一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)化了函數(shù)，例如指數(shù)函數(shù)和正、余弦函數(shù)都是時(shí)域中的超越函數(shù)，在變換域中成為有理函數(shù)表示；另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)化了運(yùn)算，如時(shí)域函數(shù)的卷積分在變換域中成為變換域函數(shù)的乘積。 常用的拉氏變換基本定理可以參見表2-2。表2-2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)表 四、拉普拉斯反變換 拉普拉斯變換將時(shí)域函數(shù)變換為復(fù)變函數(shù)，相應(yīng)地它的逆運(yùn)算可以將復(fù)變函 數(shù)變換回原時(shí)域函數(shù)。拉氏變換的逆運(yùn)算稱為拉普拉斯反變換，簡(jiǎn)稱拉氏反變換。由復(fù)變函數(shù)積分理論，拉氏反變換的計(jì)算公式為 (2-81)上式的拉氏反變換，由于是復(fù)變函數(shù)的積分，計(jì)算復(fù)雜，一般很少采用。所以已知反求時(shí)，通常采用的方法是

9、部分分式法。 由于工程中常見的時(shí)間信號(hào)，它的拉氏變換都是s的有理分式。因此，可以將分解為一系列的有理分式之和，再利用拉氏變換表確定出所有的有理分式項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)，合成時(shí)域函數(shù)。上述過程遵循的是拉氏變換的線性定理。 拉氏變換通常為s的有理分式，可以表為 (2-82) 式中，是分子多項(xiàng)式，是分母多項(xiàng)式，系數(shù)和均為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)，而且。 在復(fù)變函數(shù)理論中，分母多項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的方程，其所有的解 稱為的極點(diǎn)。這樣可以表示為 (2-83)由復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理，可以確定的各分式，求得拉氏反變換為 (2-84)下面分別討論各種計(jì)算情況。 1全部為單根 可以分解為 (2-85)其中 (2-86)為復(fù)變函數(shù)對(duì)于

10、極點(diǎn)的留數(shù)。則拉氏反變換為(2-87)例2-11 已知： ，求拉氏反變換。 解：將分解為部分分式 極點(diǎn)為：，則對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的留數(shù)為 則分解式為 查拉氏變換表可得 2有重根 只考慮一個(gè)單根情況，設(shè)為單根，為重根，則可以展開為 (2-88)式中，與單根相對(duì)應(yīng)的系數(shù)的求法與前述相同。與重根相對(duì)應(yīng)的各系數(shù)，由留數(shù)定理可得計(jì)算公式如下： (2-89) (2-90)因?yàn)?所以，拉氏反變換為 (2-91)例2-12 求的拉氏反變換。 解：可以分解為 系數(shù)C1，C2，分別對(duì)應(yīng)單根，由前述單根情況計(jì)算為 系數(shù)分別對(duì)應(yīng)二重根s3=-1 于是，的分解式為 查表求得拉氏反變換為 3A(s)=0有共軛復(fù)數(shù)根 時(shí)域函數(shù)有共軛

11、復(fù)數(shù)根時(shí)，可以將其作為單根(互不相同)來看待。但是在分解時(shí)，涉及到復(fù)數(shù)運(yùn)算，計(jì)算繁瑣。拉氏變換中有如下的變換對(duì)： 上述變換對(duì)的分母都是共軛復(fù)數(shù)形式的二次三項(xiàng)式，相對(duì)應(yīng)的反變換均為正余弦型。所以，除了可以按照單根情況計(jì)算外，還可以按照下述例題的計(jì)算步驟進(jìn)行計(jì)算。 例2-13 已知，試求其拉氏反變換。解：因?yàn)榉肿佣囗?xiàng)式的次數(shù)與分母多項(xiàng)式的次數(shù)相等，必然存在常數(shù)項(xiàng)，而常數(shù)項(xiàng)的拉氏反變換為脈沖函數(shù)，所以有： 第一步，將分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式，分離常數(shù)項(xiàng)為 第二步，將余式的二次三項(xiàng)式按照上述拉氏變換表整理為 第三步，寫出拉氏反變換。 因?yàn)?所以五、拉氏變換法求解微分方程 列出控制系統(tǒng)的微分方程之后，就

12、可以求解該微分方程，利用微分方程的解來分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。微分方程的求解方法，可以采用數(shù)學(xué)分析的方法來求解，也可以采用拉氏變換法來求解。采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進(jìn)行運(yùn)算的，許多情況下應(yīng)用更為方便。拉氏變換法求解微分方程步驟如下： (1)方程兩邊作拉氏變換。 (2)將給定的初始條件與輸入信號(hào)代入方程。 (3)寫出輸出量的拉氏變換。 (4)作拉氏反變換求出系統(tǒng)輸出的時(shí)間解。 例2-14 濾波電路如圖2-19所示，輸入電壓信號(hào)，電容的初始電壓分別為0V和1V時(shí)，分別求時(shí)域解。解：RC電路的微分方程為 方程兩邊作拉氏變換 由拉氏變換的線性定理得 由拉氏變換的微分定理得 將系統(tǒng)參數(shù)值帶入整理得

13、 輸出的拉氏變換為 （1）時(shí)，（2） 時(shí)， 拉氏變換及反變換公式1. 拉氏變換的基本性質(zhì)1線性定理齊次性疊加性2微分定理一般形式初始條件為0時(shí)3積分定理一般形式初始條件為0時(shí)4延遲定理（或稱域平移定理）5衰減定理（或稱域平移定理）6終值定理7初值定理8卷積定理2 常用函數(shù)的拉氏變換和z變換表序號(hào) 拉氏變換E(s)時(shí)間函數(shù)e(t)Z變換E(z)11(t)1234t5 67891011121314153 用查表法進(jìn)行拉氏反變換用查表法進(jìn)行拉氏反變換的關(guān)鍵在于將變換式進(jìn)行部分分式展開，然后逐項(xiàng)查表進(jìn)行反變換。設(shè)是的有理真分式 （）式中系數(shù)，都是實(shí)常數(shù)；是正整數(shù)。按代數(shù)定理可將展開為部分分式。分以下兩種情況討論。 無重根這時(shí)