二次函數(shù)知識點(diǎn)與經(jīng)典例題詳解最終

1、二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y =ax2+bx +c （a ，b ，c 是常數(shù)， a 0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) a 0 ，而b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù) y =ax2 +bx +c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式： y=ax2的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。a 的符號開口方向頂點(diǎn)坐

2、標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上(0，0)y 軸x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí)， y 隨x 的增大而減??； x = 0 時(shí)， y 有最小值0 a 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x 0向上(0，c)y 軸x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x 0 時(shí)， y 隨x 的增大而減?。?x = 0 時(shí)， y 有最小值c a 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。?x 0向上(h ，0)X=hx h 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x h 時(shí)， y 隨x 的增大而減??； x =h 時(shí)， y 有最小值0 a h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x 0向上(h ，k )X=hx h

3、 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；xh 時(shí)， y 隨x 的增大而減?。?x =h 時(shí)， y 有最小值 k a h 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；x0時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為x= - b2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)為-b2a,4ac- b24a.當(dāng)x-b2a 時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x=-b2a時(shí)，y有最小值4ac- b24a .2. 當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為x=- b2a , 頂點(diǎn)坐標(biāo)為-b2a,4ac- b24a.當(dāng)x-b2a 時(shí),y隨 x的增大而減小;當(dāng)x=-b2a時(shí) , y有最大值4ac- b24a.六、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2 +bx+c（a，b，c為常數(shù)，

4、a0）；2. 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a，h，k為常數(shù)，a0）；3. 兩根式（交點(diǎn)式）：y=a(x-x1)(x-x2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式， 只有拋物線與 x 軸有交點(diǎn)，即b2- 4ac 0 時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù) a 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線開口向上， a 的值越大，開口越小，反之 a 的值越小，開口越大； 當(dāng) a 0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物

5、線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)c = 0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ； 當(dāng)c 0 時(shí)，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) A(x1，0)，B (x2，0 )(x1x2) ，其中的 x1，x 2是一元二次方程 ax2 +bx +c = 0(a 0)的兩根 當(dāng)D= 0 時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)D 0 時(shí)，圖象落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 ；2 當(dāng) a 0 時(shí)，圖象落在 x 軸的下方，無論 x 為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0.拋物線與y軸負(fù)半軸相交 c0.對稱軸x=-2a在y軸右側(cè)b0 時(shí),圖象過一、三象限;當(dāng) a0 時(shí), 直線

6、交 y 軸于正半軸; 當(dāng) c0 時(shí),二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的開口向上,而一次函數(shù) y= ax+c 應(yīng)過一、三象限,故排除 C;當(dāng) a0 即可.(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是一元二次方程的根.由根與系數(shù)的關(guān)系,求出 k 的值,可確定拋物線解析式; 由 P、Q 關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱得 n1=n2, 由 n1=m12+m1,n2=m22+m2得 m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0 可求得 m1+m2=-1.解:(1)證明:=(2k+1)2-4(-k2+k)=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.8k2+10,即0,拋物線與 x 軸

7、總有兩個(gè)不同的交點(diǎn). (2)由題意得 x1+x2=-(2k+1), x1 x2=-k2+k.x12+x22=-2k2+2k+1,(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2-2k= - 2k2+2k+1.8k2=0,k=0,拋物線的解析式是 y=x2+x.點(diǎn) P、Q 關(guān)于此拋物線的對稱軸對稱,n1=n2.2又 n1=m12+m1,n2=m 2+m2.2m12+m1=m 2+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.P、Q 是拋物上不同的點(diǎn),m1m2,即 m1-m20.m1+m2+1=0 即 m1+m2=

8、-1.點(diǎn)評:本題考查二次函數(shù)的圖象(即拋物線)與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)經(jīng)常與一元二次方程相聯(lián)系并聯(lián)合命題是中考的熱點(diǎn).二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1. 二次函數(shù)y =x2-4x-7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(2,11)B.（2，7）C.（2，11）D.（2，3）2. 把拋物線y =-2x2向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是（）A. y =-2(x +1)2B. y =-2(x -1)2C. y =-2x2 +1D. y =-2x2 -13.函數(shù)y =kx2-k和y =k(k0)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()x4.已知二次函數(shù) y =ax2+bx+c(a0)的

9、圖象如圖所示,則下列結(jié)論: a,b 同號; 當(dāng) x=1和 x=3時(shí),函數(shù)值相等; 4a+b=0當(dāng) y =-2時(shí), x的值只能取 0.其中正確的個(gè)數(shù)是( )A.1個(gè)B.2個(gè)C. 3個(gè)D.4個(gè)5.已知二次函數(shù)y =ax2+bx+c(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于 x 的一元二次方程ax2 +bx +c = 0 的兩個(gè)根分別是 x1= 1.3和x2=（）-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.36. 已知二次函數(shù) y =ax2 +bx +c 的圖象如圖所示，則點(diǎn)(ac, bc) 在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限7.方程2x-x2= 2x 的正根的

10、個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè).3個(gè)8.已知拋物線過點(diǎn) A(2,0),B(-1,0),與 y 軸交于點(diǎn) C,且 OC=2.則這條拋物線的解析式為A. y =x2 -x - 2B. y =-x2 +x + 2C. y =x2 -x - 2 或 y =-x2 +x + 2D. y =-x2 -x - 2 或 y =x2 +x + 2二、填空題9二次函數(shù)y =x2+bx+3的對稱軸是x=2，則b= 。10已知拋物線y=-2（x+3）+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是11一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點(diǎn)（1，2），當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式

11、是（只寫一個(gè)即可）。12拋物線y =2(x-2)2-6的頂點(diǎn)為C，已知直線y =-kx+3過點(diǎn)C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。13.二次函數(shù)y=2x2-4x-1的圖象是由y=2x2+bx+c的圖象向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位得到的,則b=,c=。14如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在線段 AB 上離中心 M 處 5 米的地方，橋的高度是(取3.14).三、解答題：15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是 x + 3 = 0 ,圖象經(jīng)過(1,-6),且與 y 軸的交點(diǎn)為(0,52).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng) x 為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的

12、函數(shù)值為 0?(3)當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)變化時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大?16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度 h（米）和時(shí)間 t（秒）符合關(guān)系式 h=v0t- 12gt2（0t2），其0中重力加速度 g 以 10 米/秒 2 計(jì)算這種爆竹點(diǎn)燃后以 v=20 米/秒的初速度上升，（1）這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地 15 米？（2）在爆竹點(diǎn)燃后的 1.5 秒至 1.8 秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.17.如圖，拋物線 y =x2+bx-c經(jīng)過直線 y =x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn) A、B，此拋物線與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 C，拋物線頂點(diǎn)為 D.（1）求

13、此拋物線的解析式；（2）點(diǎn) P 為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，求使 SDAPC ：SDACD =5：4 的點(diǎn) P的坐標(biāo)。18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸該建材店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降 10 元時(shí)，月銷售量就會增加 7. 5 噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用 100 元設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）（1）當(dāng)每噸售價(jià)是 240 元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；（2）求出y與x的函

14、數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額也最大”你認(rèn)為對嗎？請說明理由二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1、心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力 y 與提出概念所用的時(shí)間 x（分）之間滿足函數(shù)關(guān)系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0x30).（1）當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？當(dāng) x 在什么范圍內(nèi)時(shí)， 學(xué)生的接受能力逐步減弱？（2）第 10 分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？（3）第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？A2、如圖,已知ABC 是一等腰三角形鐵板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=2

15、4cm.若在ABC上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,點(diǎn) D、G 分別在邊 AB、AC 上. 問矩形 DEFG 的最大面積是多少?GDCBFE3、如圖,ABC 中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始,沿 AB 邊向點(diǎn) B以每秒1cm 的速度移動;點(diǎn)Q 從點(diǎn)B 開始,沿著BC 邊向點(diǎn)C 以每秒2cm 的速度移動.如果P,Q 同時(shí)出發(fā),問經(jīng)過幾秒鐘PBQ 的面積最大?最大面積是多少? C Q A P B4、如圖，一位運(yùn)動員在距籃下 4 米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為 2.5 米時(shí)，達(dá)到最大高度 3.5 米，然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知

16、籃圈中心到地面的距離為 3.05 米.(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式;yxx4m3.05M(0,3.5)0(2)該運(yùn)動員身高 1.8 米，在這次跳投中，球在頭頂上方 0.25 米處出手，問：球出手時(shí)， 他跳離地面的高度是多少.4 mx3.05 my5、如圖，要建一個(gè)長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m 長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為 x m.(1)要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少 m？ X (2)如果中間有 n(n 是大于 1 的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應(yīng)為多少m？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？6、某商場以每件

17、 20 元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷售量 m(件)與每件的銷售價(jià) x(元)滿足關(guān)系：m=1402x.(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤 y 與每件的銷售價(jià) x 間的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題參考答案一，選擇題、1A2C3A4B5D6B7C8C 二、填空題、9b =-410 x-311如 y=-2x2+4, y=2x+4等（答案不唯一）12113-871415三、解答題15(1)設(shè)拋物線的解析式為 y =ax2 +bx +c ,由題意可得-b2a=-3 a+b+c=-6c=

18、-52 解得 a=-12 ,b=-3, c=-52 所以 y =-12 x2 - 3x -52(2)x=-1或-5(2)x -316（1）由已知得，15=20t-1210t2，解得t1=3,t2=1當(dāng)t = 3 時(shí)不合題意，舍去。所以當(dāng)爆竹點(diǎn)燃后1秒離地15米（2）由題意得，h=-5t2+20t-5(t-2)2+20，可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)t=2，又拋物線開口向下，所以在爆竹點(diǎn)燃后的 1.5 秒至 108 秒這段時(shí)間內(nèi)，爆竹在上升17（1）直線y=x-3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A（3，0），B（0，-3）則9+3b-c=0-c=-3 解得b=-2 c=3 所以此拋物線解析式為y=x2-2x-3（2）拋物線的頂

19、點(diǎn)D（1，4），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C（1，0）.設(shè)P(a,a2-2a-3)，則(124a2-2a-3)：(1244)=5:4,化簡得a2-2a-3 =5 . 當(dāng) a2-2a-30 時(shí)， a2-2a-3=5得 a=4, a=-2P（4，5）或 P（2，5）當(dāng) a2-2a-30 時(shí)， -a2+2a+3=5即 a2+2a+2=0，此方程無解綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，5）或（2，5）18（1）45+260-240107.5=60（噸）（2）y=(x-100)(45+260-x107.5)，化簡得：y=-34x2 +315x-24000（3）y=-34x2+315x-24000=-34(x-2

20、10)2 +9075紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸 210 元（4）我認(rèn)為，小靜說的不對理由：方法一：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x為210元，而對于月銷售額W =x(45 +260-x10 7.5) =-34(x -160)2 +19200 來說，當(dāng) x 為 160 元時(shí)，月銷售額 W 最大當(dāng) x 為 210 元時(shí)，月銷售額 W 不是最大小靜說的不對方法二：當(dāng)月利潤最大時(shí)，x 為 210 元，此時(shí)，月銷售額為 17325 元； 而當(dāng) x 為 200 元時(shí)，月銷售額為 18000 元1732518000，當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額 W 不是最大小靜說的不對二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練參考答案1、（1）0x13，13x30；（2）59；（3）13.2、解：過 A 作 AMBC 于 M,交 DG 于 N,則 AM=202-122=16cm.設(shè) DE=xcm, S 矩形=ycm2,則由ADGABC,故 ANAM=DGBC,即=16-x16,故DG24= 32(16-x).y=DGDE= 32(16-x)x=- 32(x2-16x)=- 32(x-8)2+96,從而當(dāng) x=8 時(shí),y 有最大值 96.即矩形 DEFG 的最大面積是 96cm2.3、設(shè)第 t 秒時(shí),PBQ 的面積為 ycm2.則AP=tcm,PB=(6-t)cm;又 BQ=2t.y=