二次根式的知識點匯總

1、二次根式的知識點匯總知識點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2. 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時，沒有意義。知識點三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因為二次根式（）表示a

2、的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。知識點四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。知識點五：二次根式的性質(zhì)知識點六：與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負(fù)實數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，&#

3、160;，而2、相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，無意義，而.知識點七：二次根式的運(yùn)算（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式=·（a0，b0）；（b0，a>0）（4）有理數(shù)的加法交換

4、律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算【例題精選】二次根式有意義的條件：例1：求下列各式有意義的所有x的取值范圍。解：（1）要使有意義，必須，由得，當(dāng)時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。（2）要使有意義，為任意實數(shù)均可，當(dāng)x取任意實數(shù)時均有意義。（3）要使有意義，必須的范圍內(nèi)。當(dāng)時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。小練習(xí)：（1）當(dāng)x是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當(dāng)x是多少時，+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（3）當(dāng)x是多少時，+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當(dāng)時，有意義。2. 使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個 A0 B1 C2 D無數(shù)3已知y=+5，求的值4

5、若+有意義，則=_5. 若有意義，則的取值范圍是。最簡二次根式例2：把下列各根式化為最簡二次根式：分析：依據(jù)最簡二次根式的概念進(jìn)行化簡，（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。解：同類根式：例3：判斷下列各組根式是否是同類根式：分析：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。解：分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個代數(shù)

6、式互為有理化因子，如與，均為有理化因式。解：求值：例5：計算：分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點內(nèi)容，必須掌握，要特別注意運(yùn)算順序和有意識的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。解：（1）原式化簡：例6：化簡：分析：應(yīng)注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式來進(jìn)行化簡，使運(yùn)算變得簡單。解：例7：化簡練習(xí)：解：化簡求值：例8：已知：求：的值。分析：如果把a(bǔ)，b的值直接代入計算的計算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到互為有理化因子可計算，然后將求值式子化為的形式。解：小結(jié)：顯然上面的解法非常簡捷，在運(yùn)算過程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算能力。類似

7、的解法在許多問題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識的總結(jié)和積累。例9：在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x24；【提示】先提取2，再用平方差公式【答案】 2（x）（x）x42x23【提示】先將x2看成整體，利用x2pxq（xa）（xb）其中abp，abq分解再用平方差公式分解x23【答案】（x21）（x）（x）例10、綜合應(yīng)用：如圖所示的RtABC中，B=90°，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動問：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）【專項訓(xùn)練】：一、選擇題：在以下所給出的四個

8、選擇中，只有一個是正確的。1、成立的條件是：ABCD2、把化成最簡二次根式，結(jié)果為：ABCD3、下列根式中，最簡二次根式為：ABCD4、已知t<1，化簡得：ABC2D05、下列各式中，正確的是：ABCD6、下列命題中假命題是：A設(shè)B設(shè)C設(shè)D設(shè)7、與是同類根式的是：ABCD8、下列各式中正確的是：ABCD三、1、化簡2、已知：求：拓展訓(xùn)練一、 分式，平方根，絕對值；1. 成立的條件是_2 當(dāng)a_時，；當(dāng)a_時，。3 若，則_；若，則_。4 把根號外的因式移入根號內(nèi)，結(jié)果為_。5 把-3根號外的因式移到根號內(nèi)，結(jié)果為_。6 xy，那么化簡為_10.若與是同類二次根式，則a=_，b=_。11.

9、求使為實數(shù)的實數(shù)的值為_。二、根式，絕對值的和為0；1. 若=0，則=_。2. 如果求的算術(shù)平方根。6.在ABC中，a，b，c為三角形的三邊，則=_。7.已知8.如果，則=_。三、分式的有理化1、已知x= ,y= ，求x2y2的值。5.已知，求下列各式的值； ； ； ;四、整數(shù)部分與小數(shù)部分1.的整數(shù)部分是_，小數(shù)部分是_。4.已知，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值。五、 根式，分式的倒數(shù)；1.已知x=4,求x的值。3. 若的值；六、轉(zhuǎn)換完全平方公式；1.已知，求的值3.已知x，y是實數(shù)，若axy-3x=y，求a的值；5、已知0 x1，化簡：6、化簡：1、； 2、；七、技巧性運(yùn)算1.2、計算的

10、結(jié)果是_4、已知，那么的值是_5、已知那么的值是_6、已知，求的值附：中考類型1、在實數(shù)范圍內(nèi)，有意義，則x的取值范圍是（）；Ax 0 Bx 0 Cx 0 Dx 0 2、使二次根式有意義的x的取值范圍是（）；ABCD；3一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為，則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是（）；ABCD4、在電路中，已知一個電阻的阻值R和它消耗的電功率P.由電功率計算公式可得它兩端的電壓U為（）；5、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（） A、；B、；C、；D 、且；6函數(shù)的自變量的取值范圍是（）ABC D函數(shù)中自變量的取值范圍是（ ） A；B；C 且； D且；二、二

11、次根式的運(yùn)算問題7、（09武漢市）二次根式的值是（）；AB或CD8、 (衡陽市2009年)下面計算正確的是（）；ABCD9、(09年安順市)下列計算正確的是（）；ABCD10、(09太原市)計算的結(jié)果等于11、(黔東南州2009年)_；12、(09山西省)計算：13、(09年襄樊市)計算：備用題、（09綏化市）計算： .三、二次根式與絕對值、0指數(shù)冪等的混合運(yùn)算14、(09黔東南州)方程，當(dāng)時，m的取值范圍是（）；A、；B、；C、；D、；15、（09嘉興市）當(dāng)時，代數(shù)式的值是_16、（09嘉興市）計算：17、(09臺州市)計算：四、二次根式與整式的化簡求值問題：18、（09廣州市）先化簡，再求

12、值：，其中19、（09孝感市）已知：求下列各式的值 （1）；（2）20、（09威海市）先化簡，再求值：，其中1、已知，求：的值；2、已知：，計算：（1） ；（2）五、二次根式與分式的化簡求值問題：21、（09黔東南州）先化簡，再求值：，其中；22、(09恩施)求代數(shù)式的值：，其中23、（09泰安市）先化簡、再求值：。24、（09黔東南州）先化簡，再求值：，其中；六、二次根式的探究規(guī)律問題：25、我們看幾個等式：=1×4+1=5;=2×5+1=11; =3×6+1=19；仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？能解釋這一規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想下面的結(jié)果：

13、=_.=（ ）×( ) ( )；=_.2011安徽，4，4分）設(shè)a=1，a在兩個相鄰整數(shù)之間，則這兩個整數(shù)是（ ）A1和2B2和3 C3和4 D4和5（2011山東煙臺，5,4分）如果，則（ ）Aa B. a C. a D. a2011安徽蕪湖，14，5分）已知、為兩個連續(xù)的整數(shù)，且，則2011四川內(nèi)江，加試1，6分）若，則的值是（2011山東德州12,4分）當(dāng)時，=_2011四川內(nèi)江，加試3，6分）已知，則2011四川涼山州，25，5分）已知為有理數(shù)，分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且，則2011湖北黃岡，3，3分）要使式子有意義，則a的取值范圍為_下列運(yùn)算正確的是（ ）(黑龍江齊齊

14、哈爾09)A BC D若=(xy)2，則xy的值為( ) (09湖北荊門)(A) 1 (B)1 (C)2 (D)3化簡：已知，求：的值；我們看幾個等式：=1×4+1=5;=2×5+1=11; =3×6+1=19；仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？能解釋這一規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想下面的結(jié)果：=_.=（ ）×( ) ( )；=_.y=+2009，則x+y=化簡：的結(jié)果為（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4.已知a<0，那么2a可化簡為（ ）Aa Ba C3a D3a(2009年梅州市)如果，則=_.將根號外的a移到根號內(nèi)，得 (   )A. ；&#