不等式知識(shí)點(diǎn)與題型總結(jié)

1、不等式一、知識(shí)點(diǎn)：1. 實(shí)數(shù)的性質(zhì)：；2. 不等式的性質(zhì)：性 質(zhì)內(nèi) 容對(duì)稱性，傳遞性且加法性質(zhì)；且乘法性質(zhì)；，且乘方、開(kāi)方性質(zhì)；倒數(shù)性質(zhì)3. 常用基本不等式：條 件結(jié) 論等號(hào)成立的條件，基本不等式： 常見(jiàn)變式： ； 4.利用重要不等式求最值的兩個(gè)命題：命題1：已知a，b都是正數(shù)，若ab是實(shí)值P，則當(dāng)a=b=時(shí)，和ab有最小值2.命題2：已知a，b都是正數(shù)，若ab是實(shí)值S，則當(dāng)a=b=時(shí)，積ab有最大值.注意：運(yùn)用重要不等式求值時(shí)，要注意三個(gè)條件：一“正”二“定”三“等”，即各項(xiàng)均為正數(shù)，和或積為定值，取最值時(shí)等號(hào)能成立，以上三個(gè)條件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：設(shè)a0,x1x2是方程ax

2、2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根，且x1x2，則有0=00解集xxx2xxx1 Rax2+bx+c0解集xx1x0；ax2+bx+c06. 絕對(duì)值不等式（1）xa（a0）的解集為：xaxa；xa（a0）的解集為：xxa或xa。（2）7. 不等式證明方法：基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法輔助方法：換元法（三角換元、均值換元等）、放縮法、構(gòu)造法、判別式法特別提醒：不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，最常用的思路是用分析法探求證明途徑，再用綜合法加以敘述。我們?cè)诶貌坏仁降男再|(zhì)或基本不等式時(shí)要注意等號(hào)、不等號(hào)成立的條件。例：解下列不等式：(1)；

3、 (2)；(3)； (4)解：(1)方程的解為根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是(2)不等式兩邊同乘以，原不等式可化為方程的解為根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集是(3)方程有兩個(gè)相同的解根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集為(4)因?yàn)?，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)解，根據(jù)的圖象，可得原不等式的解集為練習(xí)1. （1）解不等式；（若改為呢？）（2）解不等式；解:(1)原不等式 (該題后的答案:).(2)即.8、最值定理設(shè)、都為正數(shù)，則有 若（和為定值），則當(dāng)時(shí)，積取得最大值 若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值即：“積定，和有最小值；和定，積有最大值”注意：一正、二定、三相等幾種常見(jiàn)解不等式的解法重難點(diǎn)歸納解不等式對(duì)學(xué)生

4、的運(yùn)算化簡(jiǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾個(gè)問(wèn)題(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法(2)掌握用零點(diǎn)分段法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法(3)掌握無(wú)理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式的幾種基本類型的解法(4)掌握含絕對(duì)值不等式的幾種基本類型的解法(5)在解不等式的過(guò)程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不等式(6)對(duì)于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論典型題例示范講解例1：如果多項(xiàng)式可分解為個(gè)一次式的積，則一元高

5、次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況當(dāng)分式不等式化為時(shí)，要注意它的等價(jià)變形用“穿根法”解不等式時(shí)應(yīng)注意：各一次項(xiàng)中的系數(shù)必為正；對(duì)于偶次或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下圖不等式左右兩邊都是含有的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解例：解不等式：（1）；（2）解：（1）原不等式可化為把方程的三個(gè)根順次標(biāo)上數(shù)軸然后從右上開(kāi)始畫(huà)線順次經(jīng)過(guò)三個(gè)根，其解集如下圖的陰影部分原不等式解集為（2）原不等式等價(jià)于原不等式解集為解下列分式不等式：例：（1）； （2）（1）解：原不等式等價(jià)于用“穿根法”原不等式解集為。（2）解

6、法一：原不等式等價(jià)于 原不等式解集為。解法二：原不等式等價(jià)于用“穿根法”原不等式解集為例2：絕對(duì)值不等式，解此題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，而去絕對(duì)值符號(hào)有兩種方法：一是根據(jù)絕對(duì)值的意義二是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：或，因此本題有如下兩種解法例：解不等式解：原不等式等價(jià)于 即例3：已知f(x)是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0時(shí)0(1)用定義證明f(x)在1，1上是增函數(shù)；(2)解不等式f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1對(duì)所有x1，1，a1，1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍技巧與方法(1)問(wèn)單調(diào)性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關(guān)鍵，(3)問(wèn)利用單調(diào)性

7、把f(x)轉(zhuǎn)化成“1”是點(diǎn)睛之筆(1)證明任取x1x2，且x1，x21，1，則f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上為增函數(shù)(2)解f(x)在1，1上為增函數(shù)， 解得x|x1，xR(3)解由(1)可知f(x)在1，1上為增函數(shù)，且f(1)=1，故對(duì)x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1對(duì)所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，記g(a)=t22at，對(duì)a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，

8、g(1)0，解得，t2或t=0或t2t的取值范圍是t|t2或t=0或t2例5：解關(guān)于x的不等式1(a1)解原不等式可化為0，當(dāng)a1時(shí)，原不等式與(x)(x2)0同解由于原不等式的解為(，)(2，+)當(dāng)a1時(shí)，原不等式與(x)(x2) 0同解由于,若a0，,解集為(，2)；若a=0時(shí)，解集為；若0a1，,解集為(2，)綜上所述 當(dāng)a1時(shí)解集為(，)(2，+)；當(dāng)0a1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)a0時(shí)，解集為(，2）例6 設(shè)，解關(guān)于的不等式分析：進(jìn)行分類討論求解解：當(dāng)時(shí)，因一定成立，故原不等式的解集為當(dāng)時(shí)，原不等式化為；當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的

9、解集為說(shuō)明：解不等式時(shí)，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，原不等式化為，此時(shí)不等式的解集為，所以解題時(shí)應(yīng)分與兩種情況來(lái)討論的解是例8 解關(guān)于的不等式分析：不等式中含有字母，故需分類討論但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然后寫(xiě)出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論解：原不等式可化為(1)當(dāng)（即或）時(shí)，不等式的解集為：；(2)當(dāng)（即）時(shí)，不等式的解集為：；(3)當(dāng)（即或1）時(shí)，不等式的解集為：說(shuō)明：對(duì)參數(shù)進(jìn)行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開(kāi)始就對(duì)參數(shù)加以分類、討論比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根

10、，因此不等式的解就是小于小根或大于大根但與兩根的大小不能確定，因此需要討論，三種情況例9 不等式的解集為，求與的值分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，的兩根為，解法一：設(shè)的兩根為，由韋達(dá)定理得：由題意：，此時(shí)滿足，解法二：構(gòu)造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應(yīng)為同解不等式，故需滿足：，例10 解關(guān)于的不等式分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因?yàn)楹凶帜赶禂?shù)，所以還考查分類思想解：分以下情況討論(1)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋海?2)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋寒?dāng)時(shí)，式變?yōu)椋坏仁降慕鉃榛虍?dāng)時(shí)，式變?yōu)椋?dāng)時(shí)，此時(shí)的解為當(dāng)時(shí)，此時(shí)的解為說(shuō)明：解本

11、題要注意分類討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，就本題來(lái)說(shuō)有三級(jí)分類：分類應(yīng)做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏另外，解本題還要注意在討論時(shí)，解一元二次不等式應(yīng)首選做到將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解例11解不等式分析：無(wú)理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉(zhuǎn)化為或，而等價(jià)于：或解：原不等式等價(jià)于下面兩個(gè)不等式組：由得，由得，所以原不等式的解集為，即為說(shuō)明：本題也可以轉(zhuǎn)化為型的不等式求解，注意：例12.已知關(guān)于的不等式的解集是，求實(shí)數(shù)之值解：不等式的解集是是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理知：練習(xí)已知不等式的解集為求不等式的解集解：由題意 ， 即代入不等式得： 即，所求不等式的解集為1).恒成立問(wèn)題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上如（1）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_（答：）；（2）不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_（答：）；（3）若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的取值范圍_（答：（,）；（4）若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_（答：）；（