線代試題與答案

1、天津工業(yè)大學（20112012 學年第2學期） 線性代數(shù)模擬試卷(2012.6理學院)一、 填空1、 設為3階方陣，為其伴隨矩陣，且，則 解：2、 設為3階方陣， ，則解： 3、 設矩陣則， 則 解：， 4、 設矩陣則， 則 解：， 5、 已知3維向量, 且行列式=,則行列式= ;向量組, 的秩= ;答案：6、 已知3維向量, 且行列式=,則行列式= ;向量組, 的秩= ;答案：7、 階矩陣有特征值，則的特征值為 ， .解： ，8、 階矩陣的特征值為，則的特征值為 ， 答案：，9、 若階矩陣有特征值，則的特征值為 ,矩陣的行列式 答案：，10、 設矩陣為正交矩陣，則 ， .答案：11、 當 時

2、， 答案： 12、 設是的基礎解系，為的一個解向量，則 ，向量組 必線性 ；答案：，無關13、 設是的基礎解系，為的個列向量，若，則方程組的通解為 答案：，其中為任意常數(shù)14、設階矩陣的各行元素之和均為零，且則的通解為 答案： ， （）15、設為四階方陣, 且秩(A) = 2, 則齊次線性方程組A*x = 0(A*是A的伴隨矩陣)的基礎解系所包含的解向量的個數(shù)為_.解. 因為矩陣A的秩, 所以, A*x = 0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為40 = 4.16、設a1, a2, as是非齊次線性方程組的解, 若C1a1 + C2a2 + + Csas也是的一個解, 則C1 + C2 + + Cs

3、= _.解. 因為(C1a1 + C2a2 + + Csas), 所以, . 二、 計算行列式1、 解：2、計算解答：3、 提示：含零元素較多的兩條線行列式，可按行（列）展開.解：按第一列展開得 三、抽象矩陣求逆1、 證明：可逆，并求答案： ，2、已知矩陣滿足，證明：（1）可逆，并求（2）可逆，并求（3）可逆，并求（2）可逆，并求解答：易有，所以，所以，所以，所以，所以四、解矩陣方程1、,且，求.解： 存在 等式兩邊同時右乘，則原式變形為 即 2、且，求.解： 存在 等式兩邊同時右乘，左乘則原式變形為 即 注：不易求，但卻容易求。3、已知矩陣的伴隨矩陣，且，求.解：等式兩邊同時右乘，左乘則原式

4、變形為 即 五、求向量組，的秩及其最大無關組，將其余向量用該最大無關組線性表示.解：對以為列構成的矩陣進行行初等變換，得 所以，為該向量組的極大無關組，且六、求線性方程組的通解取何值時，線性方程組 無解？有唯一解？有無窮解？并寫出通解.解：當即且時，方程組有唯一解當時，或，方程組無解，方程組有無窮解通解為：七、設有二次型（1）寫出二次型的矩陣表達式。（2）求一個正交變換，使二次型在正交變換下化成的標準形，并寫出標準形解：（1）二次型的矩陣形式為（2）所以的特征值為，可求得對應的特征向量分別為：對應的特征向量為，對應的特征向量為將正交化并規(guī)范化得則正交變換陣為，化原二次型為.八、特征值與特征向量

5、1、設為三階實對稱矩陣，且滿足， 已知向量, ,是對應特征值的特征向量，求，其中為自然數(shù)。t解： 由得，故有特征值又對應特征值的特征向量有兩個，故特征值為 對應，可求得特征向量，所以 2、設矩陣，求的特征值與特征向量，其中為的伴隨矩陣，為3階單位矩陣.分析 ：可先求出，進而確定及，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出的特征值與特征向量，再相應地確定的特征值與特征向量，最終根據(jù)與相似求出其特征值與特征向量.解法一：經(jīng)計算可得 ， 從而 ，故的特征值為當時，解，得線性無關的特征向量為，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù).當時，解，得線性無關的特征向量為，所以屬于特征值

6、的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設的特征值為，對應特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 .于是有 ，因此，為的特征值，對應的特征向量為.由于，故的特征值為當時，對應的線性無關特征向量可取為， 當時，對應的一個特征向量為由 ，得，.因此，的三個特征值分別為9，9，3.對應于特征值9的全部特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù)；對應于特征值3的全部特征向量為，其中是不為零的任意常數(shù).注： 設，若是的特征值，對應特征向量為，則與有相同的特征值，但對應特征向量不同，對應特征值的特征向量為.3、（2011研）A為3階實對稱矩陣，A的秩為2，且求（1）A的特征值與特征向量 （2） 矩陣A答

7、案：（1）A的特征值為，所對應的特征向量為，因為A的秩為2，所以A 的另外一個特征值為，又因為A為3階實對稱矩陣，其特征向量兩兩正交，所以特征值為對應的特征向量為（2）4、設三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（II）求矩陣. 【分析】本題考查實對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質. 【詳解】（I）， 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特征值所對應的特征向量正交，可得. 即 ，解方程組可得的屬于1的特征向量

8、 ，其中為不全為零的任意常數(shù). 由前可知的屬于2的特征向量為 ，其中不為零.（II）令，由（）可得，則 .【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，要想方設法將題設條件轉化為的形式. 請記住以下結論：（1）設是方陣的特征值，則分別有特征值 可逆），且對應的特征向量是相同的. （2）對實對稱矩陣來講，不同特征值所對應的特征向量一定是正交的5、設矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.【分析】 可先求出，進而確定及B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值與特征向量，再相應地確定A*的特征值與特征向量，最終根據(jù)

9、B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】 方法一：經(jīng)計算可得 ， ， =.從而 ，故B+2E的特征值為當時，解，得線性無關的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù).當時，解，得線性無關的特征向量為 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設A的特征值為，對應特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，為B+2E的特征值，對應的特征向量為由于 ，故A的特征值為當時，對應的線性無關特征向量可取為， 當時，對應的一個特征向量為 由 ，得，.因此，B+2E的三個特征值分別為9，9，3.對應于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù)；對應于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數(shù).【評注】 設，若是A的特征值，對應特征向量為，則B與A有相同的特征值，但對應特征向量不同，B對應特征值的特征向量為九、設是非齊次線性方程組的一個解,是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系，證明： 線性無關 線性無關.證明： 方法一：用線性無關的定義證明 設有，使得 將此式左乘得： 即： 由于： 可知： 帶入式得： 由于是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系，故有 所以可知：線性無關