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1、天津工業(yè)大學(xué)(20112012 學(xué)年第2學(xué)期) 線性代數(shù)模擬試卷(2012.6理學(xué)院)一、 填空1、 設(shè)為3階方陣,為其伴隨矩陣,且,則 解:2、 設(shè)為3階方陣, ,則解: 3、 設(shè)矩陣則, 則 解:, 4、 設(shè)矩陣則, 則 解:, 5、 已知3維向量, 且行列式=,則行列式= ;向量組, 的秩= ;答案:6、 已知3維向量, 且行列式=,則行列式= ;向量組, 的秩= ;答案:7、 階矩陣有特征值,則的特征值為 , .解: ,8、 階矩陣的特征值為,則的特征值為 , 答案:,9、 若階矩陣有特征值,則的特征值為 ,矩陣的行列式 答案:,10、 設(shè)矩陣為正交矩陣,則 , .答案:11、 當(dāng) 時(shí)
2、, 答案: 12、 設(shè)是的基礎(chǔ)解系,為的一個(gè)解向量,則 ,向量組 必線性 ;答案:,無關(guān)13、 設(shè)是的基礎(chǔ)解系,為的個(gè)列向量,若,則方程組的通解為 答案:,其中為任意常數(shù)14、設(shè)階矩陣的各行元素之和均為零,且則的通解為 答案: , ()15、設(shè)為四階方陣, 且秩(A) = 2, 則齊次線性方程組A*x = 0(A*是A的伴隨矩陣)的基礎(chǔ)解系所包含的解向量的個(gè)數(shù)為_.解. 因?yàn)榫仃嘇的秩, 所以, A*x = 0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為40 = 4.16、設(shè)a1, a2, as是非齊次線性方程組的解, 若C1a1 + C2a2 + + Csas也是的一個(gè)解, 則C1 + C2 + + Cs
3、= _.解. 因?yàn)?C1a1 + C2a2 + + Csas), 所以, . 二、 計(jì)算行列式1、 解:2、計(jì)算解答:3、 提示:含零元素較多的兩條線行列式,可按行(列)展開.解:按第一列展開得 三、抽象矩陣求逆1、 證明:可逆,并求答案: ,2、已知矩陣滿足,證明:(1)可逆,并求(2)可逆,并求(3)可逆,并求(2)可逆,并求解答:易有,所以,所以,所以,所以,所以四、解矩陣方程1、,且,求.解: 存在 等式兩邊同時(shí)右乘,則原式變形為 即 2、且,求.解: 存在 等式兩邊同時(shí)右乘,左乘則原式變形為 即 注:不易求,但卻容易求。3、已知矩陣的伴隨矩陣,且,求.解:等式兩邊同時(shí)右乘,左乘則原式
4、變形為 即 五、求向量組,的秩及其最大無關(guān)組,將其余向量用該最大無關(guān)組線性表示.解:對(duì)以為列構(gòu)成的矩陣進(jìn)行行初等變換,得 所以,為該向量組的極大無關(guān)組,且六、求線性方程組的通解取何值時(shí),線性方程組 無解?有唯一解?有無窮解?并寫出通解.解:當(dāng)即且時(shí),方程組有唯一解當(dāng)時(shí),或,方程組無解,方程組有無窮解通解為:七、設(shè)有二次型(1)寫出二次型的矩陣表達(dá)式。(2)求一個(gè)正交變換,使二次型在正交變換下化成的標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出標(biāo)準(zhǔn)形解:(1)二次型的矩陣形式為(2)所以的特征值為,可求得對(duì)應(yīng)的特征向量分別為:對(duì)應(yīng)的特征向量為,對(duì)應(yīng)的特征向量為將正交化并規(guī)范化得則正交變換陣為,化原二次型為.八、特征值與特征向量
5、1、設(shè)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣,且滿足, 已知向量, ,是對(duì)應(yīng)特征值的特征向量,求,其中為自然數(shù)。t解: 由得,故有特征值又對(duì)應(yīng)特征值的特征向量有兩個(gè),故特征值為 對(duì)應(yīng),可求得特征向量,所以 2、設(shè)矩陣,求的特征值與特征向量,其中為的伴隨矩陣,為3階單位矩陣.分析 :可先求出,進(jìn)而確定及,再按通常方法確定其特征值和特征向量;或先求出的特征值與特征向量,再相應(yīng)地確定的特征值與特征向量,最終根據(jù)與相似求出其特征值與特征向量.解法一:經(jīng)計(jì)算可得 , 從而 ,故的特征值為當(dāng)時(shí),解,得線性無關(guān)的特征向量為,所以屬于特征值的所有特征向量為,其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時(shí),解,得線性無關(guān)的特征向量為,所以屬于特征值
6、的所有特征向量為,其中為任意常數(shù).方法二:設(shè)的特征值為,對(duì)應(yīng)特征向量為,即 . 由于,所以 又因 ,故有 .于是有 ,因此,為的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量為.由于,故的特征值為當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為, 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為由 ,得,.因此,的三個(gè)特征值分別為9,9,3.對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為,其中是不全為零的任意常數(shù);對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為,其中是不為零的任意常數(shù).注: 設(shè),若是的特征值,對(duì)應(yīng)特征向量為,則與有相同的特征值,但對(duì)應(yīng)特征向量不同,對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為.3、(2011研)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣,A的秩為2,且求(1)A的特征值與特征向量 (2) 矩陣A答
7、案:(1)A的特征值為,所對(duì)應(yīng)的特征向量為,因?yàn)锳的秩為2,所以A 的另外一個(gè)特征值為,又因?yàn)锳為3階實(shí)對(duì)稱矩陣,其特征向量?jī)蓛烧?,所以特征值為?duì)應(yīng)的特征向量為(2)4、設(shè)三階對(duì)稱矩陣的特征向量值,是的屬于的一個(gè)特征向量,記,其中為3階單位矩陣. (I)驗(yàn)證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特征向量;(II)求矩陣. 【分析】本題考查實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì). 【詳解】(I), 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ,. 所以的全部特征值為2,1,1 設(shè)的屬于1的特征向量為,顯然為對(duì)稱矩陣,所以根據(jù)不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交,可得. 即 ,解方程組可得的屬于1的特征向量
8、 ,其中為不全為零的任意常數(shù). 由前可知的屬于2的特征向量為 ,其中不為零.(II)令,由()可得,則 .【評(píng)注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量,此類問題一般用定義求解,要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為的形式. 請(qǐng)記住以下結(jié)論:(1)設(shè)是方陣的特征值,則分別有特征值 可逆),且對(duì)應(yīng)的特征向量是相同的. (2)對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣來講,不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量一定是正交的5、設(shè)矩陣,求B+2E的特征值與特征向量,其中為A的伴隨矩陣,E為3階單位矩陣.【分析】 可先求出,進(jìn)而確定及B+2E,再按通常方法確定其特征值和特征向量;或先求出A的特征值與特征向量,再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量,最終根據(jù)
9、B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】 方法一:經(jīng)計(jì)算可得 , , =.從而 ,故B+2E的特征值為當(dāng)時(shí),解,得線性無關(guān)的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ,其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時(shí),解,得線性無關(guān)的特征向量為 ,所以屬于特征值的所有特征向量為,其中為任意常數(shù).方法二:設(shè)A的特征值為,對(duì)應(yīng)特征向量為,即 . 由于,所以 又因 ,故有 于是有 , 因此,為B+2E的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量為由于 ,故A的特征值為當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為, 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為 由 ,得,.因此,B+2E的三個(gè)特征值分別為9,9,3.對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為 ,其中是不全為零的任意常數(shù);對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為 ,其中是不為零的任意常數(shù).【評(píng)注】 設(shè),若是A的特征值,對(duì)應(yīng)特征向量為,則B與A有相同的特征值,但對(duì)應(yīng)特征向量不同,B對(duì)應(yīng)特征值的特征向量為九、設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解,是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明: 線性無關(guān) 線性無關(guān).證明: 方法一:用線性無關(guān)的定義證明 設(shè)有,使得 將此式左乘得: 即: 由于: 可知: 帶入式得: 由于是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,故有 所以可知:線性無關(guān)
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