兩個重要極限練習題(供參考)

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持1-7 兩個重要極限練習題教學過程：引入：考察極限lim匹x 0 x當 x 取負值趨近于 0 時，-x 0, -x0, sin(-x)0 .于是綜上所述，得sin x lim1.x 0lim泌1的特點：x 0 x(1) 它是“0理，即若形式地應用商求極限的法則，得到的結(jié)果是0(2) 在分式中同時出現(xiàn)三角函數(shù)和x 的幕.推廣 如果lim(x)=0,(a 可以是有限數(shù) X0, 或),x atanx求limx 0 x例 4 求limarcSinX.X 0X解 令 arcsinx=t，貝 UX=Sint 且X0 時 t 0.x(弧度)0.5

2、00.100.050.040.030.020.95850.99830.99960.99970.99980.99991，即limx 0竺=1問題 1:觀察當 x 0 時函數(shù)的變化趨勢:當 x 取正值趨近于 0 時，SinxXsi nxlimx 0 xlimx 0sin( x)(x)limsin xlimXsin x0X=1.sin x解l imta nX：=limcosxsin xlim1x 0Xx 0Xx 0Xcosx1.例 2 求limsin3x 3sin3x人00丁 =問-3廠(令23li叫sintt1COSX求lim2x 0 x2COSX2=P叫叫2X 2sin 2moH XX- 22(

3、XXsinsinlim -22x 02XX22sinx1lim lim一x 0Xx 0cosx12X一2文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持考察極限lim(1 -)xexx問題 2：觀察當 x +時函數(shù)的變化趨勢:x121010001000010000010000022.252.5942.7172.71812.71822.71828當 x 取正值并無限增大時，(1丄)x是逐漸增大的，但是不論x 如何大，(1丄)x的值xx總不會超過 3 實際上如果繼續(xù)增大 x 即當 x +時，可以驗證(1丄)x是趨近于一個確x定的無理數(shù) e= 2.8. 當 x -時，函數(shù)(1丄)x有類

4、似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e x綜上所述，得1xlim (1)x=e.xxlim(1 -)x=e的特點：x(1)lim(1+無窮小)無窮大案；(2)“無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù).推廣 (1)若lim(x)=,(a 可以是有限數(shù) X0, 或)，則x a1(x)1(x)lim(1)()lim 1=e;x a(x)x(x)(2)若lim(x)=0,(a 可以是有限數(shù) x,或)，則x a11lim1x(x)lim 1x(x)=e.x ax 0變形令1=t,則 x時 t 0,代入后得到1lim 1 text 0如果在形式上分別對底和幕求極限，得到的是不確定的結(jié)果1 ,因此通常稱之為

5、 1 不定型.例 6 求lim(1 -)x所以xim0arcs訕t 0tsint求limx 0tanx sinx3XXi叫tanx sinx沁sinx=limx 0cosxsi nxlim x 01 cosxcosxlimsi nxlim1x 0 xx 0cosxcosxx3lim -x 0文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持2解 令- -=t,1解 設 t=tanx,U - = cotx.t當 x 0 時 t 0,1于是lim(1 ta nx)cotx=lim(1 t)t=e.x 0t 0小結(jié)：兩個重要極限在求極限過程中有著很重要的作用，特別要注意其變式。 作業(yè)：見

6、首頁 2-1 導數(shù)的概念教學過程： 引入：一、兩個實例實例 1 瞬時速度考察質(zhì)點的自由落體運動.真空中，質(zhì)點在時刻t=0 到時刻 t 這一時間段內(nèi)下落的路程s 由公式 s =lgt2來確定.現(xiàn)在來求 t=1 秒這一時刻質(zhì)點的速度.2當 t 很小時，從 1 秒到 1+ t 秒這段時間內(nèi)，質(zhì)點運動的速度變化不大，可以這段時間 內(nèi)的平均速度作為質(zhì)點在 t=1 時速度的近似.t (s)s(m)s(m/s)t0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.8000

7、49于是lim(1x分=xlim(1t 0例 7求lim(3x2X)xx解令3 x=1 + u，則 x=22 x當 x時 u0，于是lim (3x2XQx=lim(1u 0=lim(1u 0例 8求lim(1x 0cotxtanx)2 1t)Tlim(1 t)12=e 三t 01u112-一2u)ulim(1 u)u(1 u)21u)1lim(1 u)2=e-1.u 0當 x 時 t 0,文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持上表看出，平均速度 隨著 t 變化而變化，當t9.8m/s .考察下列各式：s =2g (1+ t)21g 12=g2 t+( t)2,22 22

8、亠1g(2+t2思考：當 t 越來越接近于 0 時，仝越來越接近于 1 秒時的 速度”現(xiàn)在取 t 0 的極t限，得s1lim lim g 2 tg=9.8(m/s).0t02為質(zhì)點在t=1 秒時速度為瞬時速度.一般地，設質(zhì)點的位移規(guī)律是s=f(t)，在時刻 t 時時間有改變量t, s 相應的改變量為s=f(t+ t)-f(t),在時間段 t 到 t+ t 內(nèi)的平均速度為s f t t f tv=tt對平均速度取t 0 的極限，得v(t)=limslimt，t 0tt 0t稱 v(t)為時刻 t 的瞬時速。 研究類似的例子實例 2曲線的切線設方程為 y=f(x)曲線為 L .其上一點 A 的坐標

9、為(X0,f(x0).在曲線上點 A 附近另取一點B,它的坐標是(X0+ x, f(X0+ x).直線 AB 是曲線的割線，它的傾斜角記作.由圖中的Rt ACB，可知割線 AB 的斜率AC x在數(shù)量上，它表示當自變量從x 變到 x+ x 時函數(shù) f(x)關(guān)于變量 x 的平均變化率(增長率或減小率).現(xiàn)在讓點 B 沿著曲線 L 趨向于點 A，此時 x 0, 過點 A 的割線 AB 如果也能趨向于一個極限位置-直線 AT ,我們就稱 L 在點 A 處存在切線 AT .記 AT 的傾斜角為，則 為的極限，若 90，得切線 AT 的斜率為ytan =limtan =lim -x 0 x 0 x在數(shù)量上

10、，它表示函數(shù)f(x)在 x 處的變化率.上述兩個實例，雖然表達問題的函數(shù)形式 y=f(x)和自變量 x 具體內(nèi)容不同，但本質(zhì)都是 要求函數(shù) y 關(guān)于自變量 x 在某一點 x 處的變化率.1.自變量 X 作微小變化x，求出函數(shù)在自變量這個段內(nèi)的平均變化率X 處變化率的近似;t 越小時，s越接近于一個定值一tt),tan=CBf xx f xlimdx 0X)f(x)xy=，作為點xx文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持2.對y求 x 0 的極限|im丄，若它存在，這個極限即為點x 處變化率的的精確值.x 0 x二、導數(shù)的定義1.函數(shù)在一點處可導的概念定義 設函數(shù) y=f

11、(x)在 xo的某個鄰域內(nèi)有定義.對應于自變量x 在 xo處有改變量 x ,函數(shù) y=f(x)相應的改變量為y=f(xo+ x)-f(xo)，若這兩個改變量的比當 x 0 時存在極限，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點 xo處可導，并把這一極限稱為函數(shù)y=f(x)在點xo處的導數(shù)(或變化率),記作y良xo或 f (xo)或空良x。或xx。即dx Iodxoy=f(xo)=譏丄li mof(xx)f(x)(2-1)x oxx ox比值丄表示函數(shù) y=f(x)在 xo到 xo+ x 之間的平均變化率，導數(shù)y |x xo則表示了函數(shù)x在點 xo處的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)在點 xo處的變化的快慢.

12、如果當 x o 時一的極限不存在，我們就稱函數(shù) y=f(x)在點 xo處不可導或?qū)?shù)不存在.x在定義中，若設 x=xo+ x，則(2-1)可寫成根據(jù)導數(shù)的定義，求函數(shù) y=f(x)在點 xo處的導數(shù)的步驟如下:第一步求函數(shù)的改變量y=f(xo+ x)-f(xo);第二步求比值y f (Xo x)f(Xo)；;XX第三步求極限 f (xo)=limXy0X例 1求 y =f (x)=x2在點 x=2 處的導數(shù).解 :y=f(2+ x)-f(2)=(2+x)2-22=4 x+( x)2；X0 x記作f (xo)據(jù)極限與左、右極限之間的關(guān)系f (xo)存在f (Xo),f (Xo)，且f (Xo)=

13、f (Xo)= f (X0).2.導函數(shù)的概念f(xo)=nf x f xox xo(2-2)yx所以 y |x=2=4.當limfx 0/ 24 x x ,=4+ x;xlim -=lim(4+ x)=4.x 0 xx 0f (Xo);當limXo _xL_x存在時，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點 xo 處的左導數(shù)，記作xf XoXf-x存在時，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點 xo處的右導數(shù),文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持如果函數(shù) y=f(x)在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)每一點處都可導， 就稱函數(shù) y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可 導.這時，對開區(qū)間(a,b)

14、內(nèi)每一個確定的值 xo都有對應著一個確定的導數(shù) f (xo),這樣就在 開區(qū)間(a,b)內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱為f(x)的導函數(shù)，記作等 f(x)文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持或 y 等.根據(jù)導數(shù)定義，就可得出導函數(shù)注意 (1) f(x)是 x 的函數(shù)，而 f(Xo)是一個數(shù)值(2) f(x)在點處的導數(shù) f(xo)就是導函數(shù) f(x)在點 xo處的函數(shù)值. 例 2 求 y =C (C 為常數(shù))的導數(shù).解 因為 y=C-C=0, y=0，所以 y =lim Y=0.x xx 0 x即(C) =0 常數(shù)的導數(shù)恒等于零).例 3 求 y=xn(

15、n N x R)的導數(shù).因為 y=(x+ x)n-xn= nxn-1x+cjxn-2(y= nxn-1+ C2xn-2x+.+( x)n-1,xlimy=cosx,x 0 x即(sinx) =cosx.用類似的方法可以求得y=cosx, (x R)的導數(shù)為(cosx) =-s inx.例 5 求 y=logax 的導數(shù)(a 0, a 1, x0).解 對 a=e、y =lnx 的情況，在 1-7 中已經(jīng)求得為(lnx) =1.x對一般的 a，只要先用換底公式得y=logax=M，以下與 1-7 完全相同推導，可得In a(logax) =1.x l n a三、導數(shù)的幾何意義方程為 y=f(x)

16、的曲線，在點 A(x0,f(x。)處存在非垂直切線AT 的充分必要條件是f(x)在 X。存在導數(shù) f(X0)，且 AT 的斜率 k=f(X0).導數(shù)的幾何意義-函數(shù)y = f(x)在 X0處的導數(shù) f(X0),是函數(shù)圖象在點(X0,f(X0)處切線yf (x)=y =limx0 x導函數(shù)也簡稱為導數(shù).f x x f x limx 0(2-3)x)2+.+( x)n,從而有y =lim -=limx 0 xx 0(xn) =n xn-1.可以證明，一般的幕函數(shù)(x ) = x-1. 1例如 G x ) =( x2) = x2例 4 求 y =sinx, (x解丄解丄= =沁沁nxn-1+C；xn

17、-2n-1n-1x+.+( x) = nxny=x , ( R, x0)的導數(shù)為L ；(1) =(X-1) =-X_2=-2.x xxR)的導數(shù)._Sinx，在 1-7 中已經(jīng)求得文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持的斜率，另一方面也可立即得到切線的方程為文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持4-2 換元積分法y-f(xo)=f (xo)(x_x0)過切點 A (xo,f(xo)且垂直于切線的直線，稱為曲線 當切線非水平(即 f (xo) 0)時的法線方程為y-f (xo)=-(x-xo)f (xo)(2-4) y=f(x)在點 A (xo,f

18、(xo)處的法線，則(2-5)例 6 求曲線 y=s inx 在點(_,丄)處的切線和法線方程.6 2=_2 .21. 3y- - = (x-),22 6y12母、236解 (sinx)=cosxx方所求的法線方程例 7 求曲線 y=Inx 平行于直線 y=2x 的切線方程.解 設切點為 A(X0, y0),則曲線在點 A 處的切線的斜率為 y(X0),=1x x0= 一，Xoy (xo)=(ln x)因為切線平行于直線 y =2x,，所以丄=2，即 xo=1；又切點位于曲線上,xo21因而 y0=ln=-ln2 .2故所求的切線方程為y+ln2=2(x-丄)，即 y=2x-1-ln2 .2四

19、、可導和連續(xù)的關(guān)系如果函數(shù) y=f(x)在點 X0處可導，則存在極限y=f(x0),則一=f(x0)+ (lim=0)，或 y= f(x。)x+xxx 0 x (lim=0),所以limy=limf (x。)x+ x=0.x 0這表明函數(shù) y=f(x)在點 xo處連續(xù).但 y=f(x)在點 xo處連續(xù)，在 xo處不一定是可導的. 例如：(1) y=|x|在 x=0 處都連續(xù)但卻不可導.只是切線是垂文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持教學過程復習引入1.不定積分的概念；2.不定積分的基本公式和性質(zhì)。新課：一、第一類換元積分法例如：cos2xdx，積分基本公式中只有: 如

20、下變換：cos2xdx cos2x d(2x)令2x=u丄coSudU口sin u+C2 2 2Isin2 x+C,2因為(Isin2 x+C) =cos2x，所以cosxdx=1sin2 x+C 是正確的.2 2定理 1 設 f(u)具有原函數(shù) F(u) ,(x)是連續(xù)函數(shù)，那么f (x) (x)dx=F (x)+ C.證明思路因為 F(u)是 f(u)的一個原函數(shù)，所以 F(u)=f(u);由復合函數(shù)的微分法得：d F (x)= F(u) (x) dx=f (x)(x) dx ,所以f (x) (x)dx=F (x)+ C.基本思想：作變量代換u= (x), (d (x)= (x) dx)

21、，變原積分為f(u)du，利用已知 f(u)的原函數(shù)是 F(u)得到積分，稱為 第一類換元積分法例 1 求(ax b)10dx, ( a, b 為常數(shù)).解因為 dx =丄 d(ax+b)，所以a(ax b)10dx1(ax b)10d(ax b)au=ax+b回代丄(ax+b)11+C .11a例 2 求lnxdx.x1解 因為dx =d (ln x)，所以x2例 3 求xexdx.解因為 xdx = -d (x2)，所以2cosxdx=sin x+C .為了應用這個公式，可進行令ax+b=u!a10111u du=u+C原式=ln xd (lnx)令lnx=uudu1u2+Cu=lnx回代

22、1(in x)2+C.22文檔來源為：從網(wǎng)絡收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持學生思考： 求dX.1+COS X第一類換元積分法計算的關(guān)鍵：把被積表達式湊成兩部分，一部分為d (x)，另一部分為(x)的函數(shù) f (x)，且 f(u)的原函數(shù)易于求得因此，第一類換元積分法又形象化 地被稱為湊微分法.常用微分式：1dx= d ( ax)；a1dx =d (ln| x|)；x12xdx = d( x )；211dx = d();2xx11sinsecsec解原式=dx =d (arcsin x);2xxdx = d (cos x);2xdx =d (tan x);xtan xdx =d (sec x)；十11求飛cosdx.xxcosd(1)x x.1sinxcosCSC求 _1a2dx2x,(a0).原式=-dxa$1(a)2例 8 求212dx.a x解原式=丄2a-1dx =2d ( . x );x1-dx =d (arctan x)；1