2020屆江蘇省鎮(zhèn)江市九校高三下學期3月模擬考試數(shù)學試題(解析版)

1、5第 1 1 頁共 3030 頁2020 屆江蘇省鎮(zhèn)江市九校高三下學期3 月模擬考試數(shù)學試題一、填空題1 1 .已知全集U=2廠1,0,1,2，集合A=-2,-1,1,則euA=_ _【答案】0,2【解析】根據(jù)補集的定義求解即可【詳解】解：QU=-2-1,0,1,2,A=-2-1,1,euA=0,2.故答案為0,2.【點睛】本題主要考查了補集的運算，屬于基礎(chǔ)題2 2已知復數(shù)z 1-i a i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)【答案】-1【解析】利用復數(shù)的乘法求解 z z 再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可【詳解】解：復數(shù)z=-i a i=a 1a i為純虛數(shù)，a 1=0,1- a 0,解得a -1.故答

2、案為：-1.【點睛】本題主要考查了根據(jù)復數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題3 3 .數(shù)據(jù)1,3,5,7,9的標準差為 _ .【答案】22【解析】先計算平均數(shù)再求解方差與標準差即可【詳解】a的值為_第2 2頁共 3030 頁1 3 5 7 9解：樣本的平均數(shù)x5, ,第3 3頁共 3030 頁12 2 2 2 2這組數(shù)據(jù)的方差是S21 53 55 57 59 55S2=8,標準差S=2 2, ,故答案為：22【點睛】本題主要考查了標準差的計算 ，屬于基礎(chǔ)題4 4函數(shù) f f x x 7 7l l 2 2x的定義域是_ .【答案】，0【解析】由1 2x0,得2x1，所以x 0，所以原函數(shù)定義域為

3、,0，故答案為，05 5.在一底面半徑和高都是2m的圓柱形容器中盛滿小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中現(xiàn)從中隨機取出的2m3種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是 _.1【答案】-4【解析】求解2m3占圓柱形容器的的總?cè)莘e的比例求解即可【詳解】 解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率1故答案為：丄.4【點睛】本題主要考查了體積類的幾何概型問題，屬于基礎(chǔ)題. .6 6如圖是一個算法偽代碼，則輸出的i的值為_ |: :M M; ;111 1Wlhilu: :；1 1*Lnd WhJIc:Ftinrt2_J2224第4 4頁共 3030 頁【答案】5 5【解【解析】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果第5

4、5頁共 3030 頁【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得S 9 1 2 3 410, ,結(jié)束循環(huán)，輸出 i i 4 4 1 1 5.5.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析與運算能力，屬基礎(chǔ)題【點睛】本題主要考查了雙曲線的準線方程求解，屬于基礎(chǔ)題a2a58 8設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項的和，S3.S9.S6成等差數(shù)列，則的值為_a8【答案】2 2an的公比設(shè)為q,再根據(jù)S3,S9,S6成等差數(shù)列利用基本量法求解a?a5q,再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關(guān)系求解- 即可a8【詳解】 解：等比數(shù)列an的公比設(shè)為q,27 7 .在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線xb21 b 0經(jīng)過點（3,43,4）,則該

5、雙曲線【答案】x=3【解析】 代入3,4求解得b=. 2，再求準線方程即可【詳解】2解：Q雙曲線X2占1 b 0經(jīng)過點3,4b2Q2163它1, ,解得b2=2，即b=2.又a=1,c a2b2、3，故該雙曲線的準線方程為:x=故答案為:x=【解【解析】設(shè)等比數(shù)列的準線方程為_第6 6頁共 3030 頁S3,Sg, S成等差數(shù)列第7 7頁共 3030 頁可得2S9=S3S6,若q=1,則18ai=3ai6ai,“MN”是log?”log2N”成立的充分必要條件;若實數(shù)a滿足a24,則a 2.【答案】【解析】對, ,根據(jù)周期的定義判定即可對，根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質(zhì)判定即可對，舉出反例判定即可對，求

6、解不等式a24,再判定即可【詳解】解：因為當x= 時，sin xsinx,332顯然不成立，故q1,a11q9a11 q3化為32q=1 q ,解得q3=-1a2a5a8a1故答案為:【點本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運用, ,屬于中檔題. .9 9 .給出下列四個命題，其中正確命題的序號是.(寫出所有正確命題的序號)因為sinx-sinx,所以不是函數(shù)y=si nx的周期;對于定義在R上的函數(shù)f(x),若f -2f(2),則函數(shù)f x不是偶函數(shù);第8 8頁共 3030 頁所以由周期函數(shù)的定義知23不是函數(shù)y=sinx的周期，第9 9頁共 3030 頁故正確;對于定義在R上的函數(shù)f x

7、, ,若f 2 f 2，由偶函數(shù)的定義知函數(shù)f x不是偶函數(shù)，故正確；當M 1,N0時不滿足log2Mlog2N,則MN”不是 fog?”log?”，”成立的充分不必要條件,故錯誤；若實數(shù)a滿足a24,則-2 a 2,所以a 2成立，故正確.正確命題的序號是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題1010 .如圖，是一個四棱錐的平面展開圖，其中間是邊長為2的正方形，上面三角形是等邊三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，則此四棱錐的體積為_ .畫圖直觀圖可得該幾何體為棱錐，再計算高求解體積即可【解第1010頁共 3030 頁【詳解】是一個四棱錐的平面展開圖，其中間是邊長為2

8、的正方形解：如圖第1111頁共 3030 頁上面三角形是等邊三角形，左、右三角形是等腰直角三角形 此四棱錐S- ABCD中，ABCD是邊長為2的正方形,VSAD是邊長為2的等邊三角形,故CD AD，又CD SD, ,AD SD D故平面SAD平面ABCD, ,VSAD的高SE是四棱錐S- ABCD的高，此四棱錐的體積為：_1VS正方形ABCDSE3故答案為:【點睛】本題主要考查了四棱錐中的長度計算以及垂直的判定和體積計算等 1111.在平面直角坐標系xOy中，若函數(shù)f x_Inx- ax在x_1處的切線與圓C:x-2x y2-a_0存在公共點，則實數(shù)a的取值范圍為 _ .【答案】0,1 U 2

9、,【解析】 利用導數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)f x_Inx- ax在x_1處的切線, ,再根據(jù)切線與圓存在公共點，利用圓心到直線的距離滿足的條件列式求解即可【詳解】1解：由條件得到f xa，需要根據(jù)題3;第1212頁共 3030 頁又f 1 a, f 11 a即a x1=02o圓C方程整理可得：x 1y2a即有圓心C 1,0且a0即盲.a22a 2. .解得a 2或0va 1, ,故答案為：0,1 U 2,【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義求解切線方程的問題，同時也考查了根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題 ，屬于基礎(chǔ)題1212 .已知函數(shù)f x=ax bx cx,若關(guān)于x的不等式f xv0

10、的解集是b c,-10,2，則仝丄的值為_ .a【答案】-3【解析】根據(jù)題意可知ax2bx c=0的兩根為1,2, ,再根據(jù)解集的區(qū)間端點得出參數(shù)b c的關(guān)系，再求解乞丄即可a【詳解】解：因為函數(shù)f xax3bx2cx x ax2bx c, ,Q關(guān)于x的不等式f x 0的解集是，10,22ax bx c=0的兩根為：T 和2;bc所以有：1 2=-且12=；aab= a且c=-2a;所以函數(shù)在x=1處的切線為y=1- ax-1 -a=1- a1,所以圓心到直線的距離d2第1313頁共 3030 頁b c a 2aaa故答案為：-3【點睛】2第1414頁共 3030 頁本題主要考查了不等式的解集

11、與參數(shù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題 1313在邊長為4的菱形ABCD中，A=60 ,點P在菱形ABCD所在的平面內(nèi)若uuu umrPA=3,PC=. 21，則PB PD_【答案】1【解析】以菱形的中心為坐標原點建立平面直角坐標系，再設(shè)P x,y，根據(jù)uuu uur PA=3,PC=；21求出P的坐標，進而求得PBPD即可【詳解】解：連接AC,BD,設(shè)AC, BD交于點O,以點0為原點，則：A 2 .3,0 ,C(2.3,0), B(0,2), D(0,2),設(shè)P x, yQ PA 3, PC , 21,2才2,32-得,8-、3x 12,解得x21分別以直線0C, 0D為x, y軸, ,建立如圖所示

12、的平面直角坐標系第1515頁共 3030 頁17【答案】 一一, ,63【解析】 根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像 ，再根據(jù)存在唯一的整數(shù)x使得f x數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求解即可【詳解】x2,x 0畫出f x的圖象如下:uuu顯然得出的PBuuu是定值, ,uuu則PBuuu,PDuuuuuu故答案為:【點本題主要考查了建立平面直角坐標系求解向量數(shù)量積的有關(guān)問題， 屬于中檔題. .21414設(shè)函數(shù)f xk 17x 2 ,x 0,g x=kx-4，其中k 0若存3在唯一的整數(shù)x,使得f xg x，則實數(shù)k的取值范圍是k 17解：Q函數(shù)f x2,x0， 且k0,第1616頁共 3030 頁

13、5185Qg 3= kf 39, ,39存在唯一的整數(shù)x 3,使得f x g x2所以g 2 k f 24 k 63g 4=8k f 416k 6. .根據(jù)圖像可知3綜上所述, ,存在唯一的整數(shù)x 3,使得f x g故答案為： 口口, ,634 )XkXg為因，且存在唯一的整數(shù)X,使得故g X與fx在X 0時無交點k 17， 得k173；g x過定點4,03又由圖像可知，若存在唯一的整數(shù)x使得f x gx時x -，所以x 23，當 x x 4 4 時，f X g x恒成立. .x， 此時口3第1717頁共 3030 頁【點睛】4本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問題，需要根據(jù)題意分別分析定點

14、-,0右邊3的整數(shù)點中x 3為滿足條件的唯一整數(shù)，再數(shù)形結(jié)合列出x 2,4時的不等式求k的范 圍屬于難題二、解答題1515如圖，四棱錐P- ABCD中，底面ABCD是菱形，對角線AC, BD交于點O,M為棱PD的中點，MA MC求證：（1 1）PB/平面AMC;（2 2）平面PBD平面AMC【答案】（1 1）詳見解析；（2 2）詳見解析. .【解析】（1 1）連結(jié)OM ,根據(jù)中位線的性質(zhì)證明PB/OM即可. .證明AC BD, , ACAC PDPD 再證明AC平面 PBDPBD 即可【詳解】解：1證明：連結(jié)OM ,Q O是菱形ABCD對角線AC、BD的交點, ,O為BD的中點，Q M是棱PD

15、的中點，OM /PB,第1818頁共 3030 頁Q OM平面AMC , PB平面AMC,PB/平面AMC,2解：在菱形ABCD中, ,AC BD,且O為AC的中點，Q MA=MC,AC OM, ,Q OM BD=O, ,AC平面PBD,Q AC平面AMC, ,平面PBD平面AMC【點睛】本題主要考查了線面平行與垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題1616.在銳角三角形ABC中，角代B,C的對邊分別為a,b, c.已知tan A,tanB,tanC成 等差數(shù)列，cos代、,cosC,cos B成等比數(shù)列.(1) 求A的值；(2) 若VABC的面積為1,求c的值.【答案】(1 1)A= ; ( 2 2)c=3

16、. .4【解析】 根據(jù)tanA,tanB,tanC成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知tanC tan A B， 再利用兩角和的正切公式， 代入2tanB=tanA tanC,化簡可得2tan Atan B tan2A 3, ,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的性 質(zhì)可求得tanAtanB=2, ,聯(lián)立即可求解求A的值由可知tanB=2,tanC 3, ,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得b=再結(jié)合VABC的面積為1,利用面積公式求解即可. .3【詳解】解：1tan代tanB,tanC成等差數(shù)列，第1919頁共 3030 頁而tanCtan A B=tanA tanB, ,即2t

17、anB tanAtan Ata nB 1tan Atan Btan， 展開化簡可得2tanB=tanA tanC,第2020頁共 3030 頁得2ta n Ata n2B 2ta nB tan2Ata nB tan B, ,因為tanB 0, ,故2tan Atan B tan2A 3又cosA,、cosC, cosB成等比數(shù)列，可得cosAcosB=cosC=- cos( A B)=sinAsinB - cosAcosB, ,即sinAsinB=2cosAcosB可得tan Ata nB=2,聯(lián)立解得tanA=1（負的舍去） 可得銳角A=42由1可得tanB=2, tanC=3, ,sin

18、B22由tanB=c=2,sinB cosB=1,B為銳角, ,解得sinB=乙？,5223/103, sin C cos C=1,C為銳角，故可得sinC=, ,102_52 2cc, ,丄310又VABC的面積為1,可得V .A1222&彳可得一bcsinA=c1, ,2232解得c=3-【點睛】本題主要考查了等差等比中項的運用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系等同時也考查了正弦定理與面積公式在解三角形中的運用，屬于中檔題1717某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖.如圖，該弓形所在的因為tang匹cosCcsin B由正弦定理可得b=sin C第2121頁共

19、 3030 頁圓是以AB為直徑的圓，且AB 300米，景觀湖邊界CD與AB平行且它們間的距離 為50；2米開發(fā)商計劃從A點出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面第2222頁共 3030 頁和水面均平行)，橋面在湖面上的部分記作PQ設(shè)AOP 2(1)用 表示線段PQ,并確定sin 2的范圍;最大值.函數(shù)的單調(diào)性與最值即可【詳解】解：1過點Q作QH AB于點H ,則QH=50、2, ,在VAOP中, ,Q OA=OP=150, AOP=2OAP=-(2(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景,所以要將PQ的長度設(shè)計到最長，求PQ的【答C1)PQ=300sin50邁cos遼sin231; (2

20、 2)50：6米. .【解(1)(1)過點Q作QHAB于點H,再在VAOP中利用正弦定理求解AP再根據(jù)QHAQ=sin2求解AQ，進而求得PQ. .再根據(jù)PQ 0確定sin2的范圍即可根據(jù)(1)(1)有PQ 50.2 3.2sin再設(shè)fcos3 2sin1, ,求導分析第2323頁共 3030 頁2第2424頁共 3030 頁OPAP由正弦定理得：sin 2, ,sin -2AP=300sinAQ=QHsin 2502cosPQ=AP AQ=300s incosQ PQ=300sin0, ,因為cos 0, ,cos化簡得sin 2132 Q PQ=300sin50.2150 2 3、2sin

21、,coscos令f32sin1三sin21,且2 (0,),cos3f 3、2 cossincos 3、2tan22coscos2- sin2costancos322coscos3、2 tan21 tancos3、2 tan3tan因為(0,)，故cos2令f()=0,即tan3tan 3、20,(tan、-2)(ta n2,2tan3)0,記tan0=、2,0第2525頁共 3030 頁當0 v0時, ,f 0, f單調(diào)遞增;當0 時, ,f 0兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析f 2f X2的范圍即可. .(2)(2)求導分析g12x=ax2In x的單調(diào)性，再結(jié)合f x單調(diào)性，設(shè)禺禺X2,去

22、絕對值化簡可得f X-!g XifX2g X20，再構(gòu)造函數(shù)-g X, ,X0,寸a,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問題可知再換元表達a求解最大值即可【詳解】解:2.ax i小小 廠廠x 0, ,2bx0可得0可得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間i i、,，單調(diào)遞減區(qū)間、a aQX1X20,X20, ,Xi0或Xiv0, ,若Xi0, ,因為Xi, ,故xi 丄丄, ,x2 丄丄, ,-aa由知f(x)在上單調(diào)遞增，f石2f x23fJ_、a 、aI f x f X2| |g Xig X2|,求b a的最大值.【答案】(1 1)單調(diào)遞增區(qū)間L ,單調(diào)遞減區(qū)間-1二-L； a a / ai詳見解析；(2 2).

23、.i6【解析】(i)(i)求導可得f x2.ax i2, x2bx20, ,再分別求解f x 0與x 0的解第3131頁共 3030 頁若x1l可得XiiaXi,因為為x20,x20, ,所以X2-Xi由f(x)在i.a,上單調(diào)遞增，f xi2 fx2fxi2 fXi=fxi綜上fXi2 f x220 xaxax2i0, ,g(x)在0,i上單調(diào)遞減, ,a不妨設(shè)Xi0, , ,xaa , ,可得Mfx)單調(diào)遞減, ,所以MXaxax2i i2bx22bx0,i上恒成立, ,、a即-2bx 0在0,i上恒成立，即一一所以ba, ,b_a2i6i6i所以-a的最大值.i6【點睛】第3232頁共

24、3030 頁本題主要考查了分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題，同時也考查了利用導數(shù)求解函數(shù)不等式以及構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的最值解決恒成立的問題需要根據(jù)題意結(jié)合定義域與單調(diào)性分析函數(shù)的取值范圍與最值等屬于難題2020.已知an,bn, Cn都是各項不為零的數(shù)列，且滿足a2b2anbnCnSn.n N*,其中Sn n 是數(shù)列 i ian的前n項和，Cn是公差為d d0的等差數(shù)列.(1 1) 若數(shù)列an是常數(shù)列，d 2,C23，求數(shù)列bn的通項公式；(2 2) 若ann(是不為零的常數(shù))，求證：數(shù)列bh是等差數(shù)列；(3 3) 若a1C1d k(k為常數(shù)，k k N*N*),bn=Cnkn 2,n N*.求證：

25、對任意n2,nN*,直虹1的恒成立.anan 1【答案】(1)bn=4n3； (2 2)詳見解析；(3 3)詳見解析. .【解【解析】(1)(1)根據(jù)d 2, ,c23可求得cn, ,再根據(jù)an是常數(shù)列代入aibi a?b2a.m CnSn,n N*,根據(jù)通項與前n項和的關(guān)系求解 0 即可. .取n 1，并結(jié)合通項與前n項和的關(guān)系可求得Snc-Sn%i=and,再根據(jù)n n 1anSnSn 1化簡可得S.idnCn=ng, ,代入Sn 1化簡即可知233bnbn 1d n 3再證明 d dd也成立即可. .22由當n 2時，Sn-1(CnCn-1) a“Cn=a“bn，代入所給的條件化簡可得【

26、詳解】1解：Q d=2,C2=3,Cn=2n-1.Q an是各項不為零的常數(shù)列Sn=kan,Sn=Srr1an=k 1 an, ,進而證明可得ank 1an 1, ,即數(shù)列an是等比k數(shù)列. .繼而求得ann 2, ,再根據(jù)作商法證明bnanbn 1an 1即可. .第3333頁共 3030 頁ai=a2=an,則Sn=nai, ,則由cnSn=a1b1a2b2anbn, ,及Cn=2n-1,得n 2n-1=b b?bn, ,當n 2時，1 23=bi bb-1, ,兩式作差，可得bn=4n-3.當n=1時，D D=1滿足上式，則bn=4n-3；2證明：Q ab a2b2兩式相減得：SnCnS

27、rr1Cn-1anbn,anCn=anbn即Sdn Cn=n bn.又Sn 1n n 1 d ncnn bn, ,2即d Cnbn.2當n 3時, ,n- dCn 1bn 1, ,23兩式相減得：bnbn 1d n 3.23數(shù)列bn從第二項起是公差為d的等差數(shù)列.2又當n=1時, ,由S1Ci= a1bi,得C1=bi, ,anbn=CnSn, ,當n2時, ,a1b1a2b2即Sn-1anCnSrr1Cn1ani，Sn1CnCn-1第3434頁共 3030 頁當n=2時, ,由b2C2C1b13d, ,得b223故數(shù)列bn是公差為2 d的等差數(shù)列;23證明：由2，當n 2時, ,第3535頁

28、共 3030 頁bn=Cnkd, ,即卩即卩bn-Cn=kd, ,Sn-id=an?kd,即S-1=ka*2bn= Cik=cnkd=cn 1 k k又C2=2k, b=k, b2=ka2=1, ,bn 1anan 1bn【點睛】列的遞推公式繼而求解通項公式或證明等差數(shù)列等同時也考查了數(shù)列中的不等式證明等，需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項，再利用作商法證明屬于難題丨的一個特征向量為 tltl, ,屬于特征值怯的一個特征向量為求矩陣Sn-1Cn_ Cn-1寺寺4= Rbn，即Sv= %C.Si=Sn1an=k 1 an, ,k 1 an_1=kan,即a.an故從第二項起數(shù)列an是等比數(shù)

29、列, ,當n 2時, ,a.n 2k 1a2k-另外，由已知條件可得aiaia2C2=a1 bia2b2, ,bn令dnan故對任n 2, nN*,直an乩恒成立.an 1本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運用，需要熟練運用通項與前n項和的關(guān)系分析數(shù),刊br2121已知二階矩陣負弋jJjJ, ,矩陣亠屬于特征值卜 1 1第3636頁共 3030 頁【答案】【解析】 運用矩陣定義列出方程組求解矩陣【詳解】由特征值、特征向量定義可知，4 旳-Z，毗仙一川得此舌同理可得慨;雷十解得，h h * *，f f i|i|因此矩陣A議 可【點睛】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即

30、可求出結(jié)果,較為簡單2222 .選修 4-44-4:坐標系與參數(shù)方程X 2 cos在平面直角坐標系 xOyxOy 中，已知曲線 C C 的參數(shù)方程為（a 為參數(shù)）以直y sin角坐標系原點 0 0 為極點，x x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線I I 的極坐標方程為cos（ -） 2.2，點 P P 為曲線 C C 上的動點，求點 P P 到直線 I I 距離的最大值.42【答案】（1）鄉(xiāng)y21,x y4（2 2）dmax2、2-1042cos（2）2 2化簡為PCT SZ，即為X+y=4.再利用點到直線距離公式得：設(shè)點 P P 的坐標為（2cos2cos a sinsin a,得 P P

31、 到直線 I I 的距離2cos sin 4（1010 分）【解析】試題分析：利用cos X, siny將極坐標方程化為直角坐標方程:試題解析：解:cos（一）22化簡為 p cos4cos40 p sinsin=94 4,4則直線 I I 的直角坐標方程為 x x + y y= 4 4. （4 4 分）設(shè)點 P P 的坐標為（2cos2cos asinsin a ,得 P P 到直線 I I 的距離d dmax=2cos sin 4第3737頁共 3030 頁【考點】極坐標方程化為直角坐標方程，點到直線距離公式第3838頁共 3030 頁【答案】1【解【解析】試題分析：由柯西不等式得1 _3

32、；_“二3#(3a 2)(3b 2)(3c 2) 9，所以- (3a 2)(3b 2)(3c 2)1 1 1 ,13a 2 3b 2 3c 2試題解析：因為a, b, c均為正數(shù)，且a b c 1，所以(3a 2)(3b 2)(3c 2)9.當且僅當a b c3時，上式等號成立., 111從而1.3a 23b 23c2故一1一111的最小值為1.此時a b c -3a 2 3b 2 3c 23【考點】柯西不等式2424.如圖， 在正四棱錐P- ABCD中， 底面正方形的對角線AC, BD交于點0且0P=1AB.2(2)求銳二面角B PD C的大小.2323.若正數(shù)a,b,c滿足a b c1，求

33、3a 21 13b 2 3c 2的最小值. .13a 21 13b 2 3c 2(3a 2) (3b 2)(3c 2)于是由均值不等式可知1_ _J_13a 2 3b 2 3c 2(3a 2) (3b 2) (3c 2)33：(3a 2)(3b 2)(3c 2)【答(1)601(3a 2)(3b 2)(3c 2)(1)求直線BP與平面PCD所成角的正弦值;第3939頁共 3030 頁【解析】(1)(1)以O(shè)E,OF,OP分別為x軸, ,y軸,z,z 軸, ,建立空間直角坐標系，設(shè)底面正方形 邊長為2,再求解BP與平面PCD的法向量，繼而求得直線BP與平面PCD所成角的正 弦值即可. .(2)(

34、2)分別求解平面BPD與平面PDC的法向量，再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可【詳解】解：1在正四棱錐P- ABCD中, ,底面正方形的對角線AC,BD交于點0,所以0P平面ABCD ,取AB的中點E, BC的中點F,所以0P,0E,0F兩兩垂直，故以點0為坐標原點，以0E,0F ,0P分別為x軸, ,y軸，z z 軸，建立空間直角坐標系.設(shè)底面正方形邊長為2,1因為0P= AB,2所以0P=1,所以B 1,1,0 ,C -1,1,0 ,D -1-1,0 ,P 0,0,1UJU所以B=-1,1, ,r設(shè)平面PCD的法向量是n x, y, z, ,UJUurn因為CD 0, 2,0, ,CP1

35、廠1,1, ,uuu ruuu r所以CD n2 y=0, ,CP n= y z=0, ,取x=1,則y=0, z=-1, ,r所以n 1,0, 1第4040頁共 3030 頁所以直線BP與平面PCD所成角的正弦值為 二6.32設(shè)平面BPD的法向量是n x,y,zUJCmu因為BP-h1,1，BD -2,-2,1, ,uuu ruuu r所以BP n= y z=0, BD n=-2x-2y=0, , 取x=1,則y=-1,z=0,所以n i, 1,0, ,r由1知平面PCD的法向量是n 1,0, 1, ,ur ru rm n 1所以cos=LT. r=-nilN2所以=60, ,所以銳二面角B- PD- C的大小為60【點睛】本題主要考查了建立平面直角坐標系求解線面夾角以及