微分中值定理習(xí)題課

1、第三 微分中值定理習(xí)題課教學(xué)目的 通過(guò)對(duì)所學(xué)知識(shí)的歸納總結(jié)及典型題的分析講解，使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)有一個(gè)更深刻的理解和認(rèn)識(shí)教學(xué)重點(diǎn) 對(duì)知識(shí)的歸納總結(jié)教學(xué)難點(diǎn) 典型題的剖析教學(xué)過(guò)程 一、知識(shí)要點(diǎn)回顧1費(fèi)馬引理2微分中值定理：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理3微分中值定理的本質(zhì)是:如果連續(xù)曲線(xiàn)弧上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線(xiàn)，則這段弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線(xiàn)在點(diǎn)C處的切線(xiàn)平行于弦AB4羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的條件是充分的，但不是必要的即當(dāng)條件滿(mǎn)足時(shí)，結(jié)論一定成立；而當(dāng)條件不滿(mǎn)足時(shí)，結(jié)論有可能成立，有可能不成立如，函數(shù)在上不滿(mǎn)足羅爾定理的第一個(gè)條件，并且定理的結(jié)論對(duì)其也是不成

2、立的而函數(shù)在上不滿(mǎn)足羅爾定理的第一和第三個(gè)條件，但是定理的結(jié)論對(duì)其卻是成立的5泰勒中值定理和麥克勞林公式6常用函數(shù)、的麥克勞林公式7羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理間的關(guān)系8、型未定式9洛必達(dá)法則10、型未定式向或型未定式的轉(zhuǎn)化二、練習(xí)1. 下面的柯西中值定理的證明方法對(duì)嗎？錯(cuò)在什么地方？ 由于、在上都滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，故存在點(diǎn)，使得, . 又對(duì)任一 ，所以上述兩式相除即得.答 上述證明方法是錯(cuò)誤的因?yàn)閷?duì)于兩個(gè)不同的函數(shù)和，拉格朗日中值定理公式中的未必相同也就是說(shuō)在內(nèi)不一定存在同一個(gè)，使得式和式同時(shí)成立例如，對(duì)于，在上使拉格朗日中值定理成立的；對(duì)，在上使拉格朗日

3、中值定理成立的，兩者不等2. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在二階導(dǎo)數(shù)，且.試證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使還至少存在一點(diǎn),使分析 單純從所要證明的結(jié)果來(lái)看，首先應(yīng)想到用羅爾定理由題設(shè)知，且在上滿(mǎn)足羅爾定理的前兩個(gè)條件，故在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使至于后一問(wèn)，首先得求出，然后再考慮問(wèn)題，且這樣根據(jù)題設(shè)，我們只要在上對(duì)函數(shù)再應(yīng)用一次羅爾定理，即可得到所要的結(jié)論證 由于在上存在二階導(dǎo)數(shù)，且，在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使由于 ， 且，在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，故在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使由于，所以3.設(shè)為滿(mǎn)足方程的實(shí)數(shù)，試證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根分析 證明一個(gè)方程在某個(gè)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根的問(wèn)題，就同學(xué)們目前所

4、掌握的知識(shí)來(lái)看主要有兩種方法，一種是用零點(diǎn)定理，另一種是用羅爾定理.要用零點(diǎn)定理,函數(shù)，需要滿(mǎn)足在上連續(xù)，且但，因此這種方法并不能直接應(yīng)用換一種方法，就應(yīng)考慮羅爾定理，而要用羅爾定理解決上述問(wèn)題，就得設(shè)，并將的原函數(shù)求出來(lái)，然后對(duì)原函數(shù)應(yīng)用羅爾定理在這個(gè)問(wèn)題中的原函數(shù)求起來(lái)很容易，求出后，根據(jù)題設(shè)條件，對(duì)在上應(yīng)用羅爾定理即可得到所要的結(jié)論證 引入輔助函數(shù)因?yàn)樵谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即.于是方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根4. 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且試證明曲線(xiàn)?。荷现辽儆幸稽c(diǎn)處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)分析 由于直線(xiàn)的斜率為，所以上述命題的本質(zhì)是要證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使得由于，因此若

5、設(shè)，則要證上述命題，只須證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使得即可這是一個(gè)用羅爾定理解決的問(wèn)題在上滿(mǎn)足羅爾定理的前兩個(gè)條件沒(méi)問(wèn)題，只是由題設(shè)我們還不能直接得到所滿(mǎn)足的是羅爾定理的第三個(gè)條件.但是我們注意在上連續(xù)，而，且1介于-1和2之間因此由介值定理知，在內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得這樣在上對(duì)應(yīng)用羅爾定理即可證得所要的結(jié)果證 引入輔助函數(shù)在上連續(xù),且.由介值定理知,在內(nèi)比存在一點(diǎn)，使得又，且在上滿(mǎn)足羅爾定理的前兩個(gè)條件,故在內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得，即由于，所以5. 設(shè)在上可導(dǎo)，試證明在內(nèi)必存在一點(diǎn),使得象上述這種含有中值的等式,一般應(yīng)考慮用微分中值定理去證明方法一 用羅爾定理證分析 要用羅爾定理證明一個(gè)含有中值的等式，第一

6、步要將等式通過(guò)移項(xiàng)的方法化為右端僅為零的等式，即第二步將等式左端中的都換為，并設(shè)第三步是要去確定的原函數(shù)，并在相應(yīng)的區(qū)間上對(duì)應(yīng)用羅爾定理即可本問(wèn)題中的原函數(shù)為證 引入輔助函數(shù)由題設(shè)知，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，在內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得，即.方法二 用拉格朗日中值定理證 分析 要用拉格朗日中值定理證明一個(gè)含有中值的等式，第一步要將含有的項(xiàng)全部移到等式的右端，其余的項(xiàng)全部移到等式的左端,即作如下恒等變形： . (3)第二步是把等式右端中的都換為,并設(shè).第三步是要去確定的原函數(shù).本問(wèn)題中的原函數(shù)為.第四步確定了的原函數(shù)后,針對(duì)相應(yīng)的區(qū)間,驗(yàn)證(3)式左端是否為或.若是,則只要對(duì)在上應(yīng)用拉格朗

7、日中值定理即可得到所要的結(jié)論;否則,需另辟新徑,考慮用羅爾定理或柯西中值定理等其它方法去解決問(wèn)題.在本問(wèn)題中,由于,所以.因此,本問(wèn)題可通過(guò)對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理來(lái)證明.證 引入輔助函數(shù).由題設(shè)知,在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,故在內(nèi)必存在一點(diǎn),使得,.又由題設(shè)知,所以有,.方法三 用柯西中值定理證分析 用柯西中值定理證明一個(gè)含有中值的等式,其第一步也是將含有的項(xiàng)全部移到等式的右端,其余的項(xiàng)全部移到等式的左端.即將作如下恒等變形:.第二步是把等式右端化為分式形式，即作如下變形：  . (4)第三步把(4)式右端中的全都換為，并設(shè)分子函數(shù)為，分母函數(shù)為即設(shè) 第四步是求和的原函數(shù)

8、和本問(wèn)題中的和分別為第五步針對(duì)區(qū)間，驗(yàn)證式左端是否為或若是，則只要對(duì)和在上應(yīng)用柯西中值定理即可證得所要的結(jié)論；否則需另辟新徑，考慮使用拉格朗日中值定理或羅爾定理等其它方法在本問(wèn)題中，由于，所以=故本問(wèn)題可通過(guò)對(duì)函數(shù)和在上應(yīng)用柯西中值定理來(lái)證明證 引入輔助函數(shù)由題設(shè)知，和在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)，由柯西中值定理知，在內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得=又由題設(shè)知，所以有即.總結(jié) 練習(xí)5中方法一、方法二及方法三的分析，是用羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理證明含有中值這種等式的一般方法和思路，同學(xué)們一定要掌握其要領(lǐng)至于在遇到具體問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)用哪個(gè)定理去證明，這要視具體問(wèn)題而定，甚至于要嘗試著去做但有時(shí)經(jīng)過(guò)

9、移項(xiàng)變形后，其特點(diǎn)往往是很明顯的這時(shí)根據(jù)羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理結(jié)論的特點(diǎn)，是比較容易做出選擇的在運(yùn)用羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理證明含有中值的等式時(shí)，求一些函數(shù)的原函數(shù)是不容易的，這時(shí)掌握幾種常見(jiàn)函數(shù)如等的導(dǎo)數(shù)，是非常有用的下面我們應(yīng)用練習(xí)5中介紹的方法和思路再討論一個(gè)問(wèn)題6. 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證明在內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得分析 移項(xiàng)變形得 . (5)上式的特點(diǎn)是等式左端恰好是兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的增量之比，這恰好是柯西中值公式的特點(diǎn)因此，我們決定用柯西中值定理去證明把(5)式右端化為分式形式，得 (6)把(6)式右端的都換成，并設(shè) 則和的原函數(shù)為 而(6)式左端恰

10、好是 證 引入輔助函數(shù)由題設(shè)知，和在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)，故由柯西中值定理知，在內(nèi)至少存在一個(gè)，使得即.7. 設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，.證明存在，使.證 由于函數(shù)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故我們可以求出函數(shù)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的一階麥克勞林公式：(在與之間)將帶入上式得，；，將上述兩式相加得若，則和都可作為，使，；若，則介于與之間，即介于與之間由于在上連續(xù)，因而也在上連續(xù)，故由介值定理知，在內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得綜上所述，必存在，使總結(jié) 用泰勒中值定理去證明含有中值的等式，也是一種常用的方法，尤其在題設(shè)的函數(shù)存在較高階的導(dǎo)數(shù)，并且已知其多點(diǎn)函數(shù)值時(shí)，更應(yīng)注意應(yīng)用練習(xí)7的方法去證明8. 求函數(shù)按的冪

11、展開(kāi)的帶有拉格朗日余項(xiàng)的3階泰勒公式解 ，故因此，所求3階泰勒公式為,其中介于與之間9. 求函數(shù)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林公式分析 的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林公式我們是已知的，這時(shí)求函數(shù)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林公式可以采用下面的所謂間接方法解 由于，所以又因?yàn)椋允钱?dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小故上式即為的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林公式總結(jié) 理論上可以證明，任何一個(gè)函數(shù)的同階泰勒公式在形式上是唯一的因此，我們可以利用一些已知的函數(shù)的泰勒展開(kāi)式，通過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算去獲得另外一些函數(shù)的泰勒展開(kāi)式只要所獲函數(shù)展開(kāi)式的形式與泰勒公式的形式一致，則它就是該函數(shù)的泰勒公式這就是獲得某些函數(shù)泰勒公式的間接

12、方法在運(yùn)用泰勒公式的間接展開(kāi)方法時(shí)，必須熟記一些常見(jiàn)函數(shù)的泰勒公式，如等10. 利用泰勒公式求極限解 由于是求時(shí)的極限，故分子和分母中的函數(shù)都要用麥克勞林公式去表示利用函數(shù)的麥克勞林公式，求出函數(shù)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的二階麥克勞林公式.若將上式代入函數(shù)的分母，則分母是一個(gè)最高冪為次的多項(xiàng)式因此需將函數(shù)和都用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的四階麥克勞林公式來(lái)表示的四階麥克勞林公式可直接給出，而的四階麥克勞林公式可利用的麥克勞林公式間接獲得，它們是，因此11. 求極限分析 雖然本題是型未定式，可以直接應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限但如果先將極限形式作一些簡(jiǎn)化，然后再使用洛必達(dá)法則可使求解過(guò)程大幅度簡(jiǎn)化解 =12. 求解 所

13、求極限為型未定式，通分化為型· .13. 求分析 這是一個(gè)型未定式，轉(zhuǎn)化為型未定式，雖然原極限已轉(zhuǎn)化為型未定式，但因?yàn)槭钦麛?shù)，不是連續(xù)變量，故不能直接應(yīng)用洛必達(dá)法則先把換成連續(xù)自變量，再應(yīng)用洛必達(dá)法則，得因?yàn)闀r(shí)，必有，所以總結(jié) 數(shù)列的極限既使是未定式也不能直接應(yīng)用洛必達(dá)法則，只有將數(shù)列中的換為連續(xù)自變量后，才能應(yīng)用洛必達(dá)法則2. 驗(yàn)證極限存在, 但不能用洛必達(dá)法則得出. 解 , 極限是存在的. 但不存在, 不能用洛必達(dá)法則. 3. 驗(yàn)證極限存在, 但不能用洛必達(dá)法則得出. 解 , 極限是存在的. 但不存在, 不能用洛必達(dá)法則. 4. 討論函數(shù)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性. 解 , , 因?yàn)?, 而 , 所以 . 因此f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù).14. 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求分析 所求極限為型未定式，一般情況下是將該極限轉(zhuǎn)化為或型未定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則去求解但是注意到，且0，所以因此，只須求出極限即可解