二分法求函數(shù)零點(diǎn)教案

1、用二分法求方程的近似解、二分法的概念 對(duì)于在區(qū)間a, b上連續(xù)不斷且·< 0的函數(shù),通過不斷把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫二分法。、用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值的步驟：（）確定區(qū)間a, b, 驗(yàn)證：·< 0，確定精確度（）求區(qū)間(a , b)的中點(diǎn)（）計(jì)算 若=0, 則就是函數(shù)的零點(diǎn) 若·<，則令b =（此時(shí)零點(diǎn)x0(a, )） 若·<，則令a =（此時(shí)零點(diǎn)x0(, b)）（）判斷是否達(dá)到精確度即若 | a b | <,則得到零點(diǎn)的近似值為a（或b），否則重復(fù)（）（

2、）3、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件：若函數(shù)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相反，則此零點(diǎn)為函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，從圖象來看，若圖象穿過零點(diǎn)，則此零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)。否則為不變號(hào)零點(diǎn)。二分法只能求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)。例題講解：例1：下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（）解：應(yīng)選B，利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)。例2、 利用二分法求方程的一個(gè)近似解（精確到0.1）。解：設(shè)，則求方程的一個(gè)近似解，即求函數(shù)的一個(gè)近似零點(diǎn)。，取區(qū)間作為計(jì)算的初始區(qū)間。用二分法逐次計(jì)算，列表如下：端點(diǎn)（中點(diǎn)）坐標(biāo)計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值取區(qū)間區(qū)間的左右端點(diǎn)精確到0.1所取的近似值都是2.6，函數(shù)滿足題設(shè)的一個(gè)近

3、似零點(diǎn)是2.6故方程滿足題設(shè)的一個(gè)近似解是2.6例3、 二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：3210123460466406則使函數(shù)值大于0的自變量的取值集合是_。解：由上表提供數(shù)值大于0的自變量的取值集合是評(píng)析：開口方向是解題關(guān)鍵信息，零點(diǎn)是2，3，且開口向上，例4、已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為1（1）求函數(shù)的其他零點(diǎn)；（2）求函數(shù)值大于0時(shí)自變量的取值范圍。解：（1）由題意，設(shè)， 解得令，即，解得1，2，3 函數(shù)的其他零點(diǎn)是2，3（2）函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)將軸分成4個(gè)區(qū)間： ，作出函數(shù)的示意圖，觀察圖象得函數(shù)值大于0時(shí)自變量的取值范圍是：例5、求函數(shù)f(x)x25的負(fù)零點(diǎn)(精確度0.1)【解析】由于f(2)1&

4、lt;0， f(3)4>0，故取區(qū)間(3，2)作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如圖：區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值(或近似值)(3，2)2.51.25(2.5，2)2.250.0625(2.25，2)2.1250.484 4(2.25，2.125)2.187 50.214 8(2.25，2.187 5)2.218 750.077 1由于|2.25(2.187 5)|0.062 5<0.1，所以函數(shù)的一個(gè)近似負(fù)零點(diǎn)可取2.25.達(dá)標(biāo)練習(xí)：1下列函數(shù)零點(diǎn)不宜用二分法的是()Af(x)x38 Bf(x)lnx3 【答案】CCf(x)x22x2 Df(x)x24x12用二分法求方程f(x)0

5、在(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根在區(qū)間()A(1.25,1.5) B(1,1.25) C(1.5,2) D不能確定【解析】由題意知f(1.25)·f(1.5)<0，方程的根在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi)，故選A.3若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：f(1)2， f(1.5)0.625，f(1.25)0.984f(1.375)0.260，f(1.437 5)0.16， f(1.406 25)0.0542，那么方程x3x22x20的一個(gè)近似根(精確度0.1)為

6、_【解析】根據(jù)題意知函數(shù)的零點(diǎn)在1.406 25至1.437 5之間，因?yàn)榇藭r(shí)|1.437 51.406 25|0.031 25<0.1，故方程的一個(gè)近似根可以是1.437 5.答案不唯一，可以是1.437 5,1.406 25之間的任意一個(gè)數(shù)【答案】1.437 54、方程xln x的根的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3【解析】方法一：令f(x)ln xx， 則f(1)<0，f(e)1>0，f(x)在(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)又f(x)在定義域(0，)上為增函數(shù)，f(x)在定義域內(nèi)僅有1個(gè)零點(diǎn)方法二：作出yx與yln x的圖象觀察可知只有一個(gè)交點(diǎn)故選B.5、方程2x1x5的解所在的區(qū)

7、間是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)【解析】令f(x)2x1x5，則f(2)2251<0，f(3)22352>0，從而方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)有解故選C.6、利用計(jì)算器，算出自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.41.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556yx20.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2xx2的一個(gè)根所在區(qū)間為()A(0.6,1.0) B(1.4,1.8) C(1.8,2.2) D(2.6,3.0)【解】設(shè)f(x)2x

8、x2，由表格觀察出在x1.8時(shí)，2x>x2，即f(1.8)>0；在x2.2時(shí)，2x<x2，即f(2.2)<0.所以f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2xx2的一個(gè)根位于區(qū)間(1.8,2.2)內(nèi)故選C.7、函數(shù)f(x)ex的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B. C. D.【解析】f()2<0， f(1)e1>0， f()·f(1)<0， 故選B.二、填空題(每小題5分，共10分)8、用二分法求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗(yàn)證f(2)·f(4)<0，給定精確度0.01，取區(qū)間(2,4)的中點(diǎn)x13，計(jì)

9、算得f(2)·f(x1)<0，則此時(shí)零點(diǎn)x0_(填區(qū)間)【解析】由f(2)·f(3)<0可知 【答案】(2,3)9、用二分法求方程x32x50在區(qū)間2,3內(nèi)的實(shí)數(shù)根時(shí)，取區(qū)間中間x02.5，那么下一個(gè)有根區(qū)間是_【解析】f(2)<0，f(2.5)>0， 下一個(gè)有根區(qū)間是 (2,2.5)三、解答題(每小題10分，共20分)10、求方程2x33x30的一個(gè)近似解(精確度0.1)【解析】設(shè)f(x)2x33x3，經(jīng)試算，f(0)3<0，f(1)2>0，所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程2x33x30在(0,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，取(0,1)的中點(diǎn)0

10、.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x33x30在(0.5,1)內(nèi)有解如此繼續(xù)下去，得到方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，如下表：(a，b)(a，b)的中點(diǎn)f(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0因?yàn)閨0.687 5

11、0.75|0.062 5<0.1，所以方程2x33x30的精確度為0.1的一個(gè)近似解可取為0.75.11、求方程ln xx30在(2,3)內(nèi)的根(精確到0.1)【解析】令f(x)ln xx3，即求函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)的零點(diǎn)用二分法逐步計(jì)算列表如下：區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值2,32.50.416 32,2.52.250.060 92,2.252.1250.121 22.125,2.252.187 50.029 72.187 5,2.25由于區(qū)間2.187 5,2.25的長(zhǎng)度2.252.187 50.062 5<0.1，所以其兩個(gè)端點(diǎn)的近似值2.2就是方程的根下為學(xué)生卷用二分法求方程的

12、近似解、二分法的概念對(duì)于在區(qū)間a, b上連續(xù)不斷且·< 0的函數(shù),通過不斷把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫二分法。、用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值的步驟：（）確定區(qū)間a, b, 驗(yàn)證：·< 0，確定精確度（）求區(qū)間(a , b)的中點(diǎn)（）計(jì)算 若=0, 則就是函數(shù)的零點(diǎn) 若·<，則令b =（此時(shí)零點(diǎn)x0(a, )） 若·<，則令a =（此時(shí)零點(diǎn)x0(, b)）（）判斷是否達(dá)到精確度即若 | a b | <,則得到零點(diǎn)的近似值為a（或b），否則重復(fù)（）（）3、用二分法求函

13、數(shù)零點(diǎn)的條件：若函數(shù)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值符號(hào)相反，則此零點(diǎn)為函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，從圖象來看，若圖象穿過零點(diǎn)，則此零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)。否則為不變號(hào)零點(diǎn)。二分法只能求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)。例題講解：例1、下列函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（）例2、 利用二分法求方程的一個(gè)近似解（精確到0.1）。例3、 二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：3210123460466406則使函數(shù)值大于0的自變量的取值集合是_。例4、已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為1（1）求函數(shù)的其他零點(diǎn)；（2）求函數(shù)值大于0時(shí)自變量的取值范圍。例5、求函數(shù)f(x)x25的負(fù)零點(diǎn)(精確度0.1)達(dá)標(biāo)練習(xí)：1下列函數(shù)零點(diǎn)不宜用二分法的是()A

14、f(x)x38 Bf(x)lnx3 Cf(x)x22x2 Df(x)x24x12用二分法求方程f(x)0在(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根在區(qū)間()A(1.25,1.5) B(1,1.25) C(1.5,2) D不能確定3若函數(shù)f(x)x3x22x2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：f(1)2， f(1.5)0.625，f(1.25)0.984f(1.375)0.260，f(1.437 5)0.16， f(1.406 25)0.0542，那么方程x3x22x20的一個(gè)近似根(精確度0.1)為_4、方

15、程xln x的根的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D35、方程2x1x5的解所在的區(qū)間是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)6、利用計(jì)算器，算出自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.41.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556yx20.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2xx2的一個(gè)根所在區(qū)間為()A(0.6,1.0) B(1.4,1.8) C(1.8,2.2) D(2.6,3.0)7、函數(shù)f(x)ex的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B. C. D.二、填空題(每小題5分，共10分)