2019屆江蘇省連云港市高三上學期期中考試數(shù)學試題(解析版)

1、第1頁共 17 頁2019 屆江蘇省連云港市高三上學期期中考試數(shù)學試題一、填空題1._已知集合A=1,3,B=1,2,m，若 B,則實數(shù) m =_【答案】3【解析】試題分析：“,二 3.【考點】本小題主要考查集合的關系，考查學生的邏輯推理能力 點評：集合的關系是常考的內(nèi)容，但難度一般較低2 .求 Iog21+ Iog42 = =_1【答案】【解析】根據(jù)對數(shù)運算公式，直接計算得出結(jié)果【詳解】1 1= + log ,2 = -log.2 =-原式.【點睛】本小題考查對數(shù)運算，直接利用對數(shù)運算公式可計算出結(jié)一匚=.金-13 .若 tan 厶，且角 a 的終邊經(jīng)過點 P(x, 1)，貝 U x=_【答

2、案】2【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，列方程，解方程求得的值【詳解】1 1tana = _ = _根據(jù)三角函數(shù)的定義，有，解得.果屬于基礎題其中解方程即可求得未知數(shù)【解析】第 2 頁共 17 頁【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義，利用三角函數(shù)的定義列方程，,r2 tmnct = - sina = - cos a =-的值屬于基礎題三角函數(shù)的定義是：.根據(jù)三角函數(shù)的定義，可以確定三角函數(shù)在各個象限的符號要注意正切值不存在的情況4命題：“x 1, x2 - 2 0 是_ 命題.(填 真”、假)”【答案】真【解析】利用特殊值，代入-驗證命題的真假性【詳解】如.時，故原命題為真命題【點睛】本小題主要考查

3、特稱命題真假性的判斷要使一個特稱命題成立，只需要舉出一個正面的例子來驗證即可，屬于基礎題x)(a + x)5.已知函數(shù) f(x) =x是奇函數(shù)，則 f(x) 1 或1VXV0【解析】現(xiàn)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求得的值，然后利用解不等式 【詳解】(1 + x)(a-x)+ X)(1x)(! + x)f(F)=- f(X)=-由于函數(shù)為奇函數(shù)，故,解得故,+ x) n- 0令.，解得 I 或-：； 0)截得的線段長為2、；2，則圓 C 的半徑 r =_【答案】2【解析】先求得雙曲線的漸近線，利用直線和圓相交所得弦長公式列方程，解方程求得的值.【詳解】由于雙曲線為等軸雙曲線，故漸近線為： ,不妨設漸近線為圓

4、的圓心為,【點睛】半徑為圓心到直線的距離為本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查直線和圓的位置關系,考查直線和圓相交所得弦2 2x - =1長公式對于雙曲線，漸近線為by =+-x日，對于雙曲線日b，漸近線為b.故弦長為第6頁共 17 頁10.若函數(shù) f(x) = 3sin(x+ )與 g(x) = 8tanx 的圖象在區(qū)間(0,)上交點的橫坐標為xO,則 cos2x0 的值為_1【答案】【解析】令一 ，化簡求得交點的一個表達式，然后代入求得.【詳解】3$in/x + -)二 Stanx22.令 f(x) -ECX) 即 2/3cosx =x - 8$inx 3(lsin x) = 8sinxsi

5、nxfl= 一COS2XA= l-2siri2xft= 1-23, 故【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)誘導公式， 考查同角三角函數(shù)關系，考查一元二次方程的解法， 以及二倍角公式誘導公式的口訣是“奇變偶不變，符號看象限”同角三角函數(shù)關系主sinx22tanx =-要是平方關系: I 和商數(shù)關系解一元二次方程可以首先考慮十字相乘法，不行的話再考慮公式法11.已知為正常數(shù)，：，若使：，則實數(shù) 的取值范圍是_ .【答案】(2,+)【解析】，當時，故需 I 由此解得 【詳解】由于 ，函數(shù)：. 在上單調(diào)遞增，當 時有最小值為在 時, 函數(shù)為增函數(shù)，要使存在，使得丨、,則需,解得【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)

6、的單調(diào)性，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直線和圓相交所得弦長的弦長公式為，其中：為圓心到直線的距離第7頁共 17 頁屬于中檔題2nAB = 3.AC = lA = AD- 一12 在三角形臓中，3是“的角平分線，則 AD，AB=_.9【答案】【解析】利用角平分線定理，將表示為* -的線性和的形式，由此求得向量的數(shù)量積【詳解】AB BD丄 - 亠 2 一 1 亠一=3,AD= AB + BD = AB + -0C = AB + -(AC-AB) = -A0 + -AC由角平分線定理得： 所以I-：，丄-m-1了 mi i 9AD AB = -AB + -AC AB = - x 3S

7、- x 3 x 1 x =-所以u 4)44w 8.【點睛】本小題考查三角形角平分線定理的應用，考查向量數(shù)量積在三角形中的處理方法角平分線定理是一個平面幾何的定理，在不少題目中都會運用到對于三角形中的向量運算，往往都化為已知的同起點的向量來運算如本題中的；，就轉(zhuǎn)化為：兩個向量的線性和來處理這樣處理后就可以利用已知條件來求解了2 2X V13 橢圓的兩個頂點 UEEt 小過A,B分別作與二垂直的直線交橢圓丁與若BC3AD,則橢圓的離心率 _ .【答案】：【解析】ba直線的斜率為 ，故直線_川的斜率都為，利用點斜式寫出直線 -川的方程，聯(lián) 立直線方程和橢圓方程， 求得的坐標，根據(jù)向量* 列方程，化

8、簡可求得橢圓的 離心率.【詳解】baay = x + b直線的斜率為，故直線_ 丁的斜率都為，所以直線 的方程為，直線，第8頁共 17 頁本小題主要考查直線和橢圓的位置關系利用直線方程和橢圓方程聯(lián)立,標，對運算能力有一個很大的要求屬于難題.B nAAB + BC = 4ftan-=-24 一如，則當角 B 最大時，三角形點的面積為【答案】-2a3b2b5-a4b的方程為.將直線：的方程代入橢圓方程，求得點的坐標為,a4+ b4a4+ b4；/a -ab -2a b將直線，的方程代入橢圓方程，求得4 .I 4 4. 41D 點的坐標為 5+b a +b/,由于 BC3AD，即/-2a-2a4b/

9、-2ab4-2a2b?-2a3b2-6ab- 亠4. 4* 4.BC = 3AD，也即 a + b a + b4.44.42，即；匕：；上，化簡得：故離求得交點的坐14 在三角形中,3心率為第9頁共 17 頁【解析】第10頁共 17 頁B sinAtan=-將；幾汁化簡得到：illA 1-，用正弦定理轉(zhuǎn)化為 心-三+：-4 ,即卩而故，點在以：為焦點，長軸長為的橢圓上當，點位于橢圓的上頂點時，角取得最大值，進而求得三角形的面積【詳解】B sinAsinB sinAtan-=- - =-由？ 心，得 :-n-.A，得_，*：，由正弦定理得為-|：-，即 ，而汁一八，故點在以為焦點，長軸長為于橢圓

10、的上頂點時，角取得最大值，此時三角形 是等腰三角形【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查正弦定理邊角互化, 方法屬于難題 二、解答題n15 .已知向量日=(1, 2sin ,)= (sin( %,+1), 0eR。若丄二求 tan 啲值；n若/廠，且0(0,)，求B的值【答案】(1)tan0 =-; (2)0=.【解析】(1)利用兩個向量垂直的坐標表示， 列出方程， 化簡可求得 量平行的坐標表示，列出方程，化簡可求得！的值【詳解】(1)依題意，得：？= 0，即-的橢圓上當，點位橢圓的半焦距為，I/羋扌M ZJ15屆24考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想第11頁共 17 頁sin(0+ )+2sin0

11、= 0,展開，得：第12頁共 17 頁71sin0cos+cos0sin+2sin0 =0,化簡，得:n(2) 因為,所以，2sin0sin(0+ ) = 1,展開得：nn2sin0 (sin0cos+cos0sin)=1,I即：2sin20+2 sin0cos0 =2,即：1 cos20+ sin20= 2,n 1nnn 5n化為：sin (20)=：,因為0 (0 ,)，所以，20(：),n 7in所以，20=,解得：0=【點睛】本小題主要考查兩個向量垂直和兩個向量平行的坐標表示，還考查了三角恒等變換，以及特殊角的三角函數(shù)值等知識，屬于中檔題16 .設二次函數(shù) f(x) = ax2 +bx

12、+c,函數(shù) F(x) = f(x) x 的兩個零點為 m, n(m 0 的解集；1若 a 0,且 0 x m n 0當時，不等式 ：的解集為 I 或：;第14頁共 17 頁當時，不等式：的解集為八.（2）Ii I11）1* I x 11：:-J A . - 1 :0 xmn 0,且a K-m 0I： . I .I gp l：； : C .17 已知橢圓 C:：的離心率為，以短軸為直徑的圓被直線x+y 1 =0 截得的弦長為(1) 求橢圓 C 的方程；(2) 設 A, B 分別為橢圓的左、右頂點，D 為橢圓右準線 I 與 x 軸的交點，E 為 I上的另一個點，直線 EB 與橢圓交于另一點 F,是

13、否存在點 E,使肚川 m R)?若 存在，求出點 E 的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1)橢圓 C 的方程為：;(2)見解析.【解析】(1)利用直線和圓相交所得弦長公式建立方程， 可求得 ：，再結(jié)合離心率可求得的 值，由此求得橢圓的方程 ( 2)求出右準線方程，設出 點的坐標，寫出直線-的方程 并代入橢圓方程，求出 點的坐標，代入 【-，化簡后求得 點的坐標【詳解】(1) 圓心為(0,0 ),半徑為 R,，依題意，得：b = R,圓心到直線 x+y 1 = 0 的距離為：J，又弦長為 ,分 12所以，氏=3,所以,第15頁共 17 頁離心率 e= =：,即卩;，又了，解得：,+ 二1橢圓

14、 C 的方程為：-(2)依題意，有 A (- 2,0 ), B (2,0 ) , c= 1,【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查直線和橢圓的位置關系有關圓的弦長問題,主要通過圓的弦長公式來建立方程解決直線和橢圓的位置關系，直線和橢圓相交所得的交點坐標，可以通過聯(lián)立直線和橢圓的方程得到本小題還考查了向量共線的坐標表示屬于難題2 2J J4 3ty =-(x2)2消去可得 V “4t2-6x =-點 B(2,0)，F(xiàn)(x，y)是直線與橢圓的 2 個交點，所以，由韋達定理，得：2+ 3，2t -3所以,12t*= 代入 BE 方程，解得：12t-/ 2t -6 12t所以,F(，/2t2-

15、6t +3).因為心kFD(hER)，所以肚之陶，與共線, 所以12t t =- 6廠t2+ 3,所以 t=30E(43 間.第16頁共 17 頁18 規(guī)定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置，我們說球 A 是指該球的球心點 A.兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上 運動，目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向.所有的球都簡化為平面上半徑為1 的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面直角坐標系，解決下列問題：(1)如圖，設母球 A 的位置為(0,0),目標球 B 的位置為C(8,-4)處運動，求母球

16、 A 球心運動的直線方程;(2)如圖，若母球 A 的位置為(0, -2),目標球 B 的位置為(4, 0),能否讓母球 A 擊 打目標 B 球后，使目標 B 球向(8, - 4)處運動？若 A 的位置為(0, a)時，使得母球 A 擊打目標球 B 時，目標球 B(4,0)運動方向可以碰到目標球C(7 , -51：)，求 a 的最小值(只需要寫出結(jié)果即可)& 2 Q + 1y - -x【答案】(1) I;(2)不能;【解析】(1)求出直線：的方程，設出球心的坐標， 利用球心在直線：上以及卜沖匚列方程組, 可求得的值.,由此求得母球運動的直線方程.(2)計算:求得 為銳角, 同理,計算點 L 到線

17、段*的距離，判斷出不能( 3)要使最小，臨界條件為球從球的左上方，處撞擊球 后， 球從球 的右上方 處撞擊球列方程求得的坐標，過作傾斜角為,的直線，與軸相交于八：此二，由此求得的最小值【詳解】(4,0),要使目標球B 向第17頁共 17 頁(1)點 B ( 4,0 )與點 C (8, 4)所石室的直線方程為：x+ y 4= 0,依題意，知 A, B 兩球碰撞時，球 A 的球心在直線 x + y 4= 0 上，且在第一象限，此時| AB|= 2，設 A, B 兩球碰撞時球 A 的球心坐標為* ,f a + b- 4 = 0治嘰宀 2則有，解得：，.：,即：A, B 兩球碰撞時球 A 的球心坐標為

18、(- ,-),& 2& + 1y -產(chǎn)-x所以，母球 A 運動的直線方程為：I-(2)記，因為 =一二-V .亠一.,-門，所以、m 故為銳角，同理可知-也為銳角故 L 在直線上的投影在線段上，該點到 L 的距離小于，故球經(jīng)過該點之前就會與球碰撞，故不可能讓母球擊打目標球后，使目標球向：I 處運動(3)的最小值為-.-.要使得最小，臨界條件為球從球的左上方：處撞擊球，后，球II從球 的右上方處撞擊球.如下圖所示，設是球；的所有路徑中最遠離-的那條路徑跑丄 B C代叫衣歸&) + V(V + 5 於)=0上離球匚最近的點，則有,聯(lián)立(I+尸5耐皿,解得B麗 T 插,所有直線 CB 的傾斜角為卻

19、5“，所以直線心 E 的傾斜角為詐“,易得直 0Q.過；作傾斜角為的直線，交軸于點，易得：，就是一個符合題意的初始位置若：-：,則球會在達到之前就與球 碰撞，不合題意因此.的最小值為-2 玄第18頁共 17 頁需要有很強的理解和分析能力，屬于難題19 .對于函數(shù)與，若存在實數(shù) 滿足，且，則稱為f 何注兇的一個 T 點.證明：函數(shù)與：-一和-1不存在 r 的點；若函數(shù)： 與-存在的點，求的范圍；已知函數(shù)證明：存在正實數(shù)、，對于區(qū)間內(nèi)任意一個 皆是函數(shù) 匸丄心的點.【答案】（1）詳見解析；（2） I；（3）詳見解析.【解析】（1）通過證明卜：證得命題成立.（2）構(gòu)造函數(shù)禾用導數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性，

20、求得最小值，由此證得在 上恒成立.然后分成a1xiox0恒成立，所以，在定義域(0,+)內(nèi)，Xo 1 Inx0恒成立，當 X。1時，| X0 1 | = X0 1, | Inx0|= Inx0,因為 X0 1 Inx0恒成立，所以，| X0 1 | | Inx0|恒成立，為 的一個，點當 0vX0V1 時，| X0 1 |=( X0 1)， | Inx0|= Inx0，L由 X01Inx0，得：一(X01)w Inx0，即|X01|w|Inx0|，此時 *不是的一個，點所以， 的取值范圍為1，+8)a1m = e 十一(3)證明：取，因為，所以 ，下面證明所取正實數(shù)符合題意當a1x 0 且 f

21、(x)A。顯然成a1 1x e +-xl + -2了又因為當時，有，所以rmi ax2-a-(x-l)-l - ax?(-一-a all + -j-a = 1 0Kea+ -日丿 al.故當日時，他)AfiW 即心)|呂(耳)|第20頁共 17 頁m = e + 恒成立，即存在正實數(shù)，對于區(qū)間.內(nèi)任一個.皆是函數(shù)；的點【點睛】本小題主要考查新定義知識，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查了利用導數(shù)研究不等式等知識，綜合性很強，屬于難題eK1f(x) = g(x) = ax + - + 120 .已知函數(shù)(其中 )(1) 求的單調(diào)減區(qū)間；(2) 當 時, na 恒成立，求 的取值范圍；叫(3)設 Fk) = f 図皿).F%)只有兩個零點求勺的值【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為(一 8,0)和(0,1 ); (2)卩 2；( 3) 2.【解析】(1)先求得函數(shù)的定義域，然后求導，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.(2)構(gòu)造函數(shù) I：；廠-誨-一】，禾憫其二階導數(shù)研究它的單調(diào)性，由此求得的取值范圍.(3)化F(x)丸卞+ ? +專-簡 ,利用導數(shù)，研究零點分布的情況，由此求得的值.【詳解】(1)的定義域為 x |XM0,xex(x - l)eKf(x)=-