平方差公式與完全平方公式知識點總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上乘法公式的復(fù)習一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 歸納小結(jié)公式的變式，準確靈活運用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增項變化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2

2、=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz完全平方公式活用: 把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例1已知，求的值。例2已知，求的值。解： =， 例3 已知，求的值。解：三、學習乘法公式應(yīng)注

3、意的問題 （一）、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數(shù)”例1 計算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本題兩個因式中“-5”相同，“2x2”符號相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”則是公式中的b例2 計算(-a2+4b)2分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4b-a2)2時，則“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3 計算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、“5

4、”兩項同號，“y”、“z”兩項異號，因而，可運用添括號的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式例5 計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項（2-1），則可運用公式，使問題化繁為簡（三）、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍例6 計算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3

5、)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y（四）、注意公式的變換，靈活運用變形公式 例7已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值例10 計算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算，但逆用完全平方公式，則運算更為簡便四、怎樣熟練運用公式：熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點常見的幾種變化是：1、位置變化 如（3x+5y）（5y3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計算了2、符號變化 如（2m7n）（2m7n）變?yōu)椋?/p>

6、2m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化 如98×102，992，912等分別變?yōu)椋?002）（100+2），（1001）2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化 如（4m+）（2m）變?yōu)?（2m+）（2m）后即可用平方差公式進行計算了（四）、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當?shù)墓揭允褂嬎愀啽闳缬嬎悖╝2+1）2·（a21）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便即原式=（a2+1）（a21）2=（a41）2=a82a4+1對數(shù)

7、學公式只會順向（從左到右）運用是遠遠不夠的，還要注意逆向（從右到左）運用如計算（1）（1）（1）（1）（1），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題即原式=（1）（1+）（1）（1+）××（1）（1+）=×××××× =×=有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2+2ab等用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效如已知m+n=7，m

8、n=18，求m2+n2，m2mn+ n2的值面對這樣的問題就可用上述變式來解，即m2+n2=（m+n）22mn=722×（18）=49+36=85，m2mn+ n2= （m+n）23mn=723×（18）=103下列各題，難不倒你吧？！1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a）2的值2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位數(shù)字（答案：1.（1）23；（2）212. 6 ）五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式：(ab)(ab)=a2b2，(a±b)=a2±2abb2，(a±b)(a2

9、±abb2)=a3±b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用例1計算 (2xy)(2xy)第二層次逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用例2計算 第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例3化簡：(21)(221)(241)(281)1分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增添一個因式“21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解解原式=(21)(21)(221)(241)(281)1=(221)(221)(241)(281)1=216第四層次變用 ：解某些問題時，若能熟

10、練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，則求解十分簡單、明快例5已知ab=9，ab=14，求2a22b2的值解： ab=9，ab=14，2a22b2=2(ab)22ab=2(922·14)=106，第五層次綜合后用 ：將(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2綜合，可得 (ab)2(ab)2=2(a2b2)；(ab)2(ab)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷 例6計算：(2xyz5)(2xyz5)解：原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-(2x+y-z+5)-(2x-

11、y+z+5)2=(2x5)2(yz)2=4x220x25y22yzz2乘法公式的使用技巧：提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免負號多帶來的麻煩。例1、 運用乘法公式計算：（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2改變順序：運用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、 運用乘法公式計算：（1）()(); （2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時常會收到事半功

12、倍的效果。例3、 計算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 先提公因式，再用公式 例2. 計算： 簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個多項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)?，則可利用乘法公式。 三. 先分項，再用公式 例3. 計算： 簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進而分析如何將常數(shù)進行變化。若將2分解