第08章05節(jié)空間直線(1)

1、第5節(jié) 空間直線（考點(diǎn)）5.1 空間直線的方程（題目（考點(diǎn)）：求滿足給定條件的直線的方程。）1 空間直線的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程若一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量就稱之該直線的方向向量，將其記為.顯然，直線上的隨便非零向量均可作為此直線的方向向量下面我們寫(xiě)直線的方程。已知直線上隨便一點(diǎn)和它的隨便一個(gè)方向向量，空間直線就完全確定下來(lái)了，就可以寫(xiě)它的方程了設(shè)是空間中任一點(diǎn)。因此，過(guò)點(diǎn)且以為方向向量的直線的方程為圖5.1 (5.1)稱方程組(5.1)為直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程 (5.1)是三個(gè)相等的比，允許某些分母為0。當(dāng)某分母為0時(shí)，應(yīng)理解為其分子也是0。如，則(5.1)理解為：

2、若方向數(shù)中有兩個(gè)數(shù)為零，如，則(5.1)理解為：(5.1)是三個(gè)比相等，但比可以是任意實(shí)數(shù)。設(shè) ，則可得過(guò)點(diǎn)且以為方向向量的直線的參數(shù)方程:， (5.2) 寫(xiě)直線的方程的方法：先根據(jù)已知條件求出上隨便一點(diǎn)和它的隨便一個(gè)方向向量，再代入(5.1)或(5.2)即得的方程?！纠?.1】 求過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線方程.解由于所求直線與平面垂直，故可取此平面的法向量為直線的方向向量，即取，由公式(5.1)及公式(5.2)得直線的對(duì)稱式方程及直線的參數(shù)方程思考題:1在利用公式(5.1)或公式(5.2)求直線的方程時(shí)，關(guān)鍵是要求得哪個(gè)量？2若直線過(guò)兩已知點(diǎn)，求直線的方程.解 取。的對(duì)稱式方程參數(shù)方程2 空間

3、直線的一般方程空間直線可看成兩平面和的交線事實(shí)上，若兩個(gè)相交的平面和分別為和，則它們的交線上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)必然同時(shí)滿足和的方程.反之，如果點(diǎn)不在直線上，那么它不可能同時(shí)在平面和上，所以它的坐標(biāo)不能同時(shí)滿足和的方程，由此得直線的方程(空間直線的一般方程): (其中不成立) (5.3)一般地說(shuō)，過(guò)空間一直線的平面有無(wú)限多個(gè)，所以只要在這無(wú)限多個(gè)平面中隨便選其中的兩個(gè)，將它們的方程聯(lián)立起來(lái)，就可得到此空間直線的方程思考題:3直線的對(duì)稱式方程(5.1)能否視為直線的一般方程(5.3)？特別地，對(duì)稱式方程(5.1)中若中有一個(gè)或兩個(gè)為零時(shí)，能否也視為直線的一般方程，這時(shí)直線具有怎樣的特點(diǎn)？21 對(duì)稱式方

4、程和一般方程互化事實(shí)上是兩個(gè)等式。因此，化為一般方程?；话惴匠虨閷?duì)稱式方程的方法：（1）求的隨便一個(gè)解。（比如說(shuō)令再解出和）（2）。取。（3）把和代入（5.1）即得對(duì)稱式方程?！纠?.2】 用對(duì)稱式方程及其參數(shù)方程表示直線.解先找出這直線上的一定點(diǎn)，如：取代入方程組解得，從而得到直線上的一點(diǎn)再求該直線的一個(gè)方向向量.作為兩平面的交線，它與兩平面的法向量都垂直，可取的方向向量.因此，所給直線的對(duì)稱式方程為，直線的參數(shù)方程為.思考題:4證明:若直線由方程(5.3)給出，則的方向向量【例5.3】 求過(guò)點(diǎn)且與平面及平行的直線方程.解1由于直線與平面及平行，故直線與平面及的法向量都垂直，因，取直線的方

5、向向量因此，所求直線方程為解2由于直線與平面及平行，故必平行于及的交線在這條直線上取兩點(diǎn)，如令，得，解得，即，類似地，求得，于是可取直線的方向向量，從而也可得直線方程(如解法1所求).解3過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面方程為 即 過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面方程為，即 由于所求直線既在平面又在平面上，故其方程為【例5.4】 求直線：在平面:上的投影直線的方程解過(guò)直線作平面垂直于平面，與的交線即所求投影直線，如圖5.2所示，由條件，平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，則.設(shè)直線的的方向向量為，由于直線在平面上，. 圖5.2由故，又，可在直線上求得一點(diǎn)，從而得，即故所求直線的方程為.（測(cè)）【例5.5】 求過(guò)點(diǎn)且與

6、直線垂直相交的直線的方程.解1首先過(guò)點(diǎn)作一平面垂直于已知直線，為此取的方向向量作為的法向量，得的點(diǎn)法式方程，即的參數(shù)方程為，設(shè)垂足。將代入的方程，可解得（，也得），從而與的交點(diǎn)為，故直線的方向向量，或，故直線的方程為.（上面求與的交點(diǎn)時(shí)，本來(lái)要求三個(gè)未知數(shù)，用了的參數(shù)方程后，只有一個(gè)未知數(shù)要求。這是參數(shù)方程的妙用。）解2設(shè)所求直線的方程為，其方向向量.由條件，的方向向量，且，可得因點(diǎn)在上，由于直線與相交，故三向量共面，從而有，即，由，解得取，故所求直線的方程為.解3過(guò)點(diǎn)可作一平面垂直于已知直線由解法1已求得，.又因已知直線與點(diǎn)可確定平面，故所求直線就是與的交線.設(shè)的法向量為由條件，的方向向量.

7、則，但由于在上，則，故取，即，因此，的方程為即，故所求直線的方程為5.2 直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系1 直線與直線的位置關(guān)系空間兩直線的相關(guān)位置可以分為幾種情形：共面（其中又可分為相交、平行、重合等幾種情形）和不共面（異面）我們可利用向量來(lái)研究?jī)芍本€的位置關(guān)系.設(shè)兩直線的方程為， ，其中過(guò)點(diǎn)方向向量；過(guò)點(diǎn)，方向向量.（1）和共面的充要條件是三向量，共面，即，或。兩直線，異面是共面的否定。（2）。（平行包括了重合。）與重合的充要條件是且（或）。 （3）。（4）與相交的充要條件是：和共面且和不平行。兩直線之間的夾角用它們的方向向量的夾角（通常不取鈍角）表示故兩直線，的夾角由公式 (5.4)給

8、出.【例5.6】 已知兩直線，(1) 證明，相交并求，的交點(diǎn)；(2) 求，的夾角：(3) 求，所確定的平面的方程解(1) 由條件，的方向向量分別為，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作向量。由于，和 共面；且，和 不平行。故和相交其參數(shù)方程分別為：，（不能兩條直線用同一個(gè)參數(shù)！）由于，相交，所以其交點(diǎn)坐標(biāo)必然同時(shí)滿足以上兩個(gè)方程組，即有解得，從而求得,的交點(diǎn)為(2) 設(shè)，的夾角為，則有，(3) 取。，所確定的平面的方程：，化簡(jiǎn)得 2 直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有幾種情形：直線在平面上、直線與平面平行、直線與平面相交. 我們?nèi)钥衫孟蛄縼?lái)研究這些關(guān)系.設(shè)直線:，平面:，則的方向向量，平面的法向量.(1)

9、 .(2) 。（直線與平面平行包括）.的充要條件是且（即）。(3) 直線與平面相交于一點(diǎn)的充要條件是 .圖5.3如圖5.3所示，當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線與它在平面上的投影直線的夾角()，稱為直線與平面的夾角.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，規(guī)定直線與平面的夾角為.，于是有，. (5.5)【例5.7】 已知直線與平面，(1) 試問(wèn)與是否相交?(2) 若與相交，試求與的交點(diǎn)與交角.解(1) 由條件，直線的方向向量，平面的法向量，由于，即。故與相交于一點(diǎn).(2) 聯(lián)立直線的兩方程和平面的一方程，得三元一次方程組，解得，故與的交點(diǎn)為.也可將直線寫(xiě)成參數(shù)方程形式代入平面方程，解得參數(shù)的值，從而得交點(diǎn)坐標(biāo).由公式(

10、5.5)，有，故與的交角為.5.3 過(guò)直線的平面束設(shè)直線由方程組 所確定，其中系數(shù)與不成比例作含有參數(shù)的三元一次方程(5.8)對(duì)于任何一個(gè)值，方程(5.8)表示一個(gè)平面，記為若一點(diǎn)在直線上，則該點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿足方程(5.6)和(5.7)，因此，必滿足(5.8)，是過(guò)的一個(gè)平面。下面無(wú)窮多個(gè)平面的集合稱為過(guò)的平面束（缺少平面）稱(5.8)式為過(guò)定直線的平面束方程平面束的應(yīng)用：在平面束中確定一個(gè)滿足已給條件的平面。方法：把已給條件代入（5.8）求出，再把得到的代回（5.8）即得要求的平面方程。對(duì)于某些平面或直線問(wèn)題，用平面束方法比較簡(jiǎn)便.【例5.8】 用平面束方法求解例5.4.（【例5.4】 求

11、直線：在平面:上的投影直線的方程）解欲求直線：在平面:上的投影直線的方程.圖5.5直線在平面上的投影直線，也應(yīng)在過(guò)且垂直于平面的平面上（圖5.5），即在中確定一個(gè)垂直于的平面。過(guò)直線的平面束方程為，即，其中為任意常數(shù)使它與平面相垂直條件為，從而有，故過(guò)直線且垂直于平面的平面為，即，從而投影直線的方程為習(xí)題85A類1寫(xiě)出下列直線的對(duì)稱式方程及參數(shù)方程：(1) *(2) 解 （1）令解得，取。取。稱式方程：；參數(shù)方程：。2求滿足下列條件的直線方程:(1) 過(guò)兩點(diǎn)，;(2) 過(guò)點(diǎn)且平行于直線;(3) 過(guò)點(diǎn)且同時(shí)平行于平面;*(4) 過(guò)點(diǎn)且垂直平面;(5) 過(guò)點(diǎn)且與直線垂直相交;解 （5）的，參數(shù)方程

12、。設(shè)交點(diǎn)為。由得，解得。從而交點(diǎn)。取。所求直線方程：，即。3求下列投影點(diǎn)的坐標(biāo)：(1) 點(diǎn)在平面上的投影點(diǎn)；(2) 在直線上的投影點(diǎn)解 （2）的參數(shù)方程，。設(shè)投影點(diǎn)為。由有。解得。投影點(diǎn)。4求下列投影直線的方程：*(1) 直線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影直線；(2) 直線在平面上的投影直線5問(wèn)兩直線與是否相交?如相交，試求它們的交點(diǎn).6求直線與之間的夾角解 的方向向量；的方向向量。設(shè)所求夾角為，則，。7求直線與平面之間的夾角*8設(shè)是直線外的一點(diǎn)，是直線上的任意一點(diǎn)，且直線的方向向量為，證明：點(diǎn)到直線的距離為，由此計(jì)算：(1) 點(diǎn)到直線的距離；(2) 點(diǎn)到直線的距離.解 把的始點(diǎn)放在，以和為邊作。則的面積等于，是的底，