旋轉全章復習與鞏固知識講解基礎

1、3.31旋轉全章復習與鞏固-知識講解（基礎）【學習目標】1、 通過具體實例認識旋轉，探索它的基本性質，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質；2、通過具體實例認識中心對稱，探索它的基本性質，理解對應點所連線段被對稱中心平分的性質，了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形；3、 能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形，欣賞旋轉在現(xiàn)實生活中的應用；4、探索圖形之間的變化關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合），靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計【知識網絡】【要點梳理】要點一、旋轉1. 旋轉的概念：把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉.點O叫做旋轉中心

2、，轉動的角叫做旋轉角(如AO A),如果圖形上的點A經過旋轉變?yōu)辄cA，那么，這兩個點叫做這個旋轉的對應點. 要點詮釋：旋轉的三個要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度.2.旋轉的性質: (1)對應點到旋轉中心的距離相等（OA= OA）；(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角； (3)旋轉前、后的圖形全等(ABC).要點詮釋：圖形繞某一點旋轉，既可以按順時針旋轉也可以按逆時針旋轉.3. 旋轉的作圖: 在畫旋轉圖形時，首先確定旋轉中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵沿指定的方向旋轉指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形要點詮釋：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；

3、(2)把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉中心旋轉一定的角度（旋轉角）；(3)在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；(4)連接所得到的各對應點.要點二、特殊的旋轉中心對稱1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點要點詮釋：（1）有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同； （2）位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉180°能夠與另一個圖形重合 (全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等

4、的) .2.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心要點詮釋：(1)中心對稱圖形指的是一個圖形；（2）線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.要點三、平移、軸對稱、旋轉平移、軸對稱、旋轉之間的對比平移軸對稱旋轉相同點都是全等變換（合同變換），即變換前后的圖形全等不同點定義把一個圖形沿某一方向移動一定距離的圖形變換把一個圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換把一個圖形繞著某一定點轉動一個角度的圖形變換圖形要素平移方向平移距離對稱軸旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度性質連接各組對應點的線段平行（或共

5、線）且相等任意一對對應點所連線段被對稱軸垂直平分對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角都等于旋轉角對應線段平行（或共線）且相等任意一對對應點所連線段被對稱軸垂直平分*對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角， 即：對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等【典型例題】類型一、旋轉1.數(shù)學課上，老師讓同學們觀察如圖所示的圖形，問：它繞著圓心O旋轉多少度后和它自身重合？甲同學說：45°；乙同學說：60°；丙同學說：90°；丁同學說：135°. 以上四位同學的回答中，錯誤的是（ ）.A甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【

6、答案】B.【解析】因為圓被平分為8部分,所以旋轉45°,90°,135°均能與原圖形重合.【總結升華】同一圖形的旋轉角可以是多個.舉一反三：【變式】以圖1的邊緣所在直線為軸將該圖案向右翻折180°后，再按順時針方向旋轉180°，所得到圖形是（ ）.【答案】A.類型二、中心對稱2. 如圖，ABC是ABC旋轉后得到的圖形，請確定旋轉中心、旋轉角.【答案與解析】對應點到旋轉中心的距離相等，即OA=OA O點在AA的垂直平分線上 同理O點也在BB的垂直平分線上 兩條垂直平分線的交點O就是旋轉中心，AOA的度數(shù)就是旋轉角【總結升華】中心對稱的對應點到對稱

7、中心的距離相等，所以對稱中心在對應點的垂直平分線上. 舉一反三：【變式】下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）. A B C D【答案】A.類型三、平移、軸對稱、旋轉3. 如圖，設P是等邊三角形ABC內一點，PB=3，PA=4，PC=5，求APB的度數(shù).【思路點撥】因為是等邊三角形ABC，所以有等線段，又因為已知的三邊的長度是3,4,5，是一組勾股數(shù)，所以應該想到運用旋轉構造直角三角形.【答案與解析】ABC為等邊三角形，AB=AC，BAC=60°.將PAB繞點A逆時針旋轉60°，得到DAC，PABDAC PA=AD=4，PB=CD=3，APB=ADC在RtPCD

8、中，PC=5， . PDC=90° PA=AD，PAD=60°， PAD為等邊三角形 PDA=60° ADC=PDA+PDC=150°， APB=150°【總結升華】要將題目條件中的三條線段盡可能集中在一個三角形中，而且出現(xiàn)等腰（或等邊）三角形就可以利用旋轉思想來構造全等三角形.舉一反三：【變式】 已知D是等邊ABC外一點,BDC=120º.求證：AD=BD+DC.【答案】ABC為等邊三角形，AB=AC，BAC=60°.將ABD繞點A逆時針旋轉60°，得到EAC，DABEAC,即ABD=ACE,四邊形ABCD中,B

9、DC=120º, BAC=60°,DBA+DCA=180°,即ACE+DCA=180°,點D,C,E三點共線.BD+DC=CE+DC=DE.又DBE=60°. ADE是等邊三角形, 即DE=AD. BD+DC=AD.4如圖，在四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，AD=CD. 求證：BD2=AB2+BC2. 【思路點撥】利用AD=CD可以將BCD繞點D逆時針 旋轉60°，從而把條件集中到一個三角形中. 【答案與解析】證明：AD=CD，ADC=60°，BCD繞點D逆時針旋轉60°，得到EA

10、D，BDE=CDA=60°，BCDEADBC=AE， BD=DE，DAE=DCB,BDE為等邊三角形BE=BD在四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，DCB+DAB=270°，即DAE+DAB=270°BAE=90°在RtBAE中，【總結升華】由求證可知應該建立一個直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等線段，可以構想通過旋轉構建直角三角形.5 、正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點A，點G、E分別在線段AD、AB上（1）如圖連結DF、BF，試問：當正方形AEFG繞點A旋轉時，DF、BF的長

11、度是否始終相等？若相等請證明；若不相等請舉出反例.（2）若將正方形AEFG繞點A順時針方向旋轉，連結DG，在旋轉過程中，能否找到一條線段的長度與線段DG的長度相等，并畫圖加以說明. 【答案與解析】(1)如圖， DF、BF的長度不是始終相等，當點F旋轉到AB邊上時，DF>AD>BF.（2）線段BE=DG 如圖: 正方形ABCD和正方形AEFGAD=AB,AG=AE,1+2=2+3DAG=BAE ADGABE DG=BE【總結升華】利用旋轉圖形的不變性確定全等三角形.舉一反三：【變式】.如圖，把邊長為1的正方形ABCD繞頂點A逆時針旋轉30°到正方形ABCD，則它們的公共部分

12、的面積等于_【答案】不妨設CD與BC交點為P，則兩個正方形關于AP所在的直線對稱，因此只需算出三角形ADP的面積即可. 又BAD=60°，所以DAP=30°，因此三角形ADP的面積可算， ，所以公共部分面積為6. 如圖，已知ABC為等腰直角三角形，BAC=900，E、F是BC邊上點且EAF=45°.求證：【思路點撥】通過求證可以猜測要證得直角三角形，所以可以考慮旋轉.【答案與解析】 ABC為等腰直角三角形且BAC=90° AB=AC， 將CAF繞點A順時針旋轉90°，如圖，得到 ，, , 連結，則在中， , , 又 , . 又 , 在與中, .

13、 , 由得：.【總結升華】旋轉性質：旋轉前，后的圖形全等.一、選擇題1將葉片圖案旋轉180°后，得到的圖形是( ).2.如圖，在等腰直角ABC中，B=90°，將ABC繞頂點A逆時針方向旋轉60°后得到ABC,則等于（ ）.A.60° B.105° C.120°D.135°3. 如圖，如果一個四邊形ABCD旋轉后能與另一個正方形重合，那以該圖形所在的平面可以作旋轉中心的點有（ ）個A、1 B、2 C、3 D、4 第2題 第3題 第4題4如圖，矩形OABC的頂點O為坐標原點，點A在x軸上，點B的坐標為（2，1）如果將矩形0ABC

14、繞點O旋轉180°旋轉后的圖形為矩形OA1B1C1，那么點B1的坐標為（）.A（2，1） B（2，1） C（2，1） D（2，l）5. 如圖，邊長為1的正方形繞點逆時針旋轉到正方形，圖中陰影部分的面積為( ).A. B. C. D.6右圖可以看作是一個等腰直角三角形旋轉若干次而生成的則每次旋轉的度數(shù)可以是（）.A90° B60°C45°D30°第5題 第6題7軸對稱與平移、旋轉的關系不正確的是( ).A經過兩次翻折(對稱軸平行)后的圖形可以看作是原圖形經過次平移得到的B經過兩次翻折(對稱軸不平行)后的圖形可以看作是原圖形經過次平移得到的C經過兩

15、次翻折(對稱軸不平行)后的圖形可以看作是原圖形經過旋轉得到的D經過幾次翻折(對稱軸有偶數(shù)條且平行)后的圖形可以看作是經過次平移得到的8在平面直角坐標系中，A點坐標為(3，4)，將OA繞原點O逆時針旋轉90°得到OA，則點A的坐標是( ).A.(-4，3) B.(-3，4) C.(3，-4) D.(4，-3)二. 填空題9. 正三角形繞中心旋轉度的整倍數(shù)之后能和自己重合.10. 在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x繞點O順時針旋轉90°得到直線，直線與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為A(a，3)，則反比例函數(shù)的解析式是_.11在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形五種圖形中

16、，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是_.12如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊CD上一點，點F是CB延長線上一點，且DEBF，連結FE,此時AEF是如果FB1，EC2，則正方形ABCD的面積是13如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，將腰CD以D為中心逆時針旋轉90°至ED，連接AE、DE，ADE的面積為3，則BC的長為_ 第12題 第13題 第14題14. 如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點，DE=1以點A為中心，把ADE順時針旋轉90°，得ABE'，連接EE'，則EE'的長等于_15. 如圖，在平面直

17、角坐標系中，點B的坐標是（1，0），若點A的坐標為（a，b），將線段BA繞點B順時針旋轉90°得到線段BA，則點A的坐標是_ 第15題 第16題16如圖所示，將ABC沿AB翻折后形成ABE，再將ABE繞點A順時針旋轉一定角度后，使點E與點C重合，若1:2:328:5:3則此次旋轉過程中的旋轉角是_三 綜合題 17如圖，在RtABC中ACB=90°，AC=BC，點 D、E是斜邊AB上的兩點，且DCE=45°求證：AD2+BE2=DE2 18. 如圖，在ABC中，AB=AC，點P是ABC內一點，且APB=APC求證：BP=CP19.已知：如圖在ABC中，AB=AC，若

18、將ABC繞點C順時針旋轉180°得到FEC(1)試猜想AE與BF有何關系？說明理由(2)若ABC的面積為3cm2，求四邊形ABFE的面積；(3)當ACB為多少度時，四邊形ABFE為矩形？說明理由20. 已知，點P是正方形ABCD內的一點，連PA、PB、PC.（1）將PAB繞點B順時針旋轉90°到PCB的位置（如圖1）. 設AB的長為a，PB的長為b（b<a），求PAB旋轉到PCB的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖 1中陰影部分）的面積； 若PA=2，PB=4，APB=135°，求PC的長.（2）如圖2，若PA2+PC2=2PB2，請說明點P必在對角線AC上. 【答

19、案與解析】一、選擇題1【答案】 D.2【答案】 B.【解析】BAC=BAB+BAC=60°+45°=105°. 2題圖 5題圖3【答案】C.【解析】旋轉中心的點分別是點D,點C,和線段DC的中點.4【答案】C.5【答案】C.【解析】，= .6【答案】 C.【解析】旋轉的角度應該是45°的倍數(shù).7【答案】 B.8.【答案】 A.【解析】逆時針旋轉90°，點A在第二象限，利用三角形全等可得.二、填空題9.【答案】12O.10.【答案】. 【解析】直線y=-x繞點O順時針旋轉90°得到直線,即，因為交點為A（a，3），所以a=3， 即.11

20、【答案】矩形，菱形，正方形.【解析】所有的平行四邊形都是中心對稱圖形，但不一定是軸對稱圖形;等腰梯形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形.12【答案】等腰直角三角形；9.【解析】由ABFADE，得到AF=AE,BAF=DAE,即AEF是等腰直角三角形. 12題圖 13題圖13【答案】5.【解析】做DFBC,EGAD,交AD的延長線于點G ,則AD=BF, 可證得DEGDCF,即EG=FC,又因為，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14【答案】.【解析】AE=AE，EE=.15【答案】(b+1,1-a).【解析】因為AC=b，BC=a-1,所以BD=b，AD=a-1,又因為點B(1,0),所以OD=b+1,AD=a-1,因為點A在第四象限，所以點A（b+1，a-1）.16【答案】80°.三.解答題17.【解析】證明：將ACD沿順時針方向繞點C旋轉 90°至BCF的位置則有ACDBCFCD=CF，A