易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型18485

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型查建飛 鄭嫻雅 金蘭貞(2006年獲全國二等獎(jiǎng))摘要:目前，易拉罐飲料在市場上的銷量很大，易拉罐的需求也是難以估計(jì)的。而資源是有限的，因此易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)是非常有必要的。本文著重從形狀和尺寸的角度分析碳酸飲料的鋁質(zhì)易拉罐，在容積確定的條件下以材料最省為目標(biāo)建立優(yōu)化模型。首先對雪碧、可口可樂、藍(lán)帶啤酒等易拉罐容器進(jìn)行測量，獲取實(shí)測值。針對易拉罐現(xiàn)有形狀和尺寸等數(shù)據(jù)，進(jìn)行綜合分析，建立了逐漸改進(jìn)的三個(gè)數(shù)學(xué)模型。模型:把易拉罐近似地看成一個(gè)正圓柱體，在易拉罐的容積一定時(shí)，以材料最省為目標(biāo)，用求極值的方法求得易拉罐高度與底面半徑之間的關(guān)系為，用實(shí)測值進(jìn)行驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)比較吻合，

2、但還是有一定誤差存在，因此進(jìn)一步建立模型進(jìn)行分析。模型:進(jìn)一步考慮易拉罐的形狀，即罐體上面部分是一個(gè)正圓臺，下面部分是一個(gè)正圓柱體時(shí)，利用線性規(guī)劃方法求得此時(shí)易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。通過對模型中的圓柱型易拉罐的對比，所得模型與實(shí)測值更加吻合。模型：以材料最省為主要目的，兼顧易拉罐的舒適度進(jìn)行設(shè)計(jì)，建立模型，并給出具體的設(shè)計(jì)方案。最后結(jié)合本模型的建立過程寫對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識與數(shù)學(xué)建模過程的難點(diǎn)。關(guān)鍵詞：最優(yōu)設(shè)計(jì) 形狀與尺寸 合適度一、問題重述生活中我們發(fā)現(xiàn)飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等銷量很大的飲料易拉罐的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對于單個(gè)的易拉罐來說，這種

3、最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。請通過數(shù)學(xué)建模來分析上述情況并回答如下問題：（1）取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，測量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，請注明出處。（2）設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。（3）設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺，下面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。圖一（4）利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象

4、力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。（5）用你們做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn)，寫一篇短文，闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點(diǎn)。二、問題分析要使易拉罐達(dá)到最優(yōu)設(shè)計(jì)，必須滿足以下條件：（1）保證容量是足夠的。（2）材料要最節(jié)省，使生產(chǎn)者在保證質(zhì)量的情況下，成本能降到最低。（3）能夠保證易拉罐對容器內(nèi)液體和氣體的壓力。（4）易拉罐是大批量生產(chǎn)、運(yùn)輸?shù)模苊膺\(yùn)輸過程中瓶罐之間因碰撞造成的損失，必須穩(wěn)定放置兩個(gè)易拉罐，才能保證安全運(yùn)輸。 三、模型假設(shè) (1)研究的對象是容量為355ml的碳酸飲料的易拉罐，如可口可樂、雪碧、藍(lán)代啤酒。(2)測量的是無變形、無損壞的易拉

5、罐。(3)測量的是鋁制易拉罐。四、符號定義：易拉罐側(cè)壁的厚度。 ：易拉罐柱體部分的內(nèi)半徑。 ：易拉罐上底厚度。 ：易拉罐的總面積。：易拉罐下底厚度。 ：易拉罐的內(nèi)高度。：所用材料的體積。 ：易拉罐的總體高度。：下底厚與側(cè)壁厚的比值。 ：上底內(nèi)高。：上底厚與側(cè)壁厚的比值。 ：下底內(nèi)高。：上底內(nèi)直徑。 ：上底內(nèi)高。：下底內(nèi)直徑。 ：下底拱高。：易拉罐的容量，為一固定值。 ：舒適度。圖一五、模型建立與求解問題一1.1測量方法 測厚度：把易拉罐切開壓平，n層的易拉罐壁進(jìn)行疊加，直至總厚度可達(dá)m mm,則單個(gè)易拉罐壁厚則為m/n mm，同樣方法對不同品種的易拉罐進(jìn)行測量,取平均值.測外徑：用一條無彈力的

6、繩子水平繞標(biāo)準(zhǔn)易拉罐的柱體部分一圈，再利用直尺測出繩子的長度。為減少誤差，用以上相同方法進(jìn)行多次測量，取得平均值。由，得出。其余的數(shù)據(jù)全由千分尺測得。近似取值為小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)。 對易拉罐所測得的數(shù)據(jù)見下表一：表一:自己測量得到的易拉罐所需數(shù)據(jù)表(單位:mm)雪碧藍(lán)代可樂平均數(shù)罐總高度H122.50122.50122.80122.60上內(nèi)高5.205.004.805.30下內(nèi)高5.005.005.105.00上蓋厚0.300.300.300.30下底厚0.280.270.300.27側(cè)壁厚0.120.130.130.13罐身直徑260.3060.6060.5060.47上內(nèi)直徑57.4057.1

7、057.2057.23下內(nèi)直徑50.4053.0050.2051.20上外高13.8013.6013.5013.63下底拱高9.909.8010.209.90問題二（模型）2.1 模型假設(shè):易拉罐的形狀為正圓柱體，如圖二圖二2.2 模型分析：把易拉罐近似看成一個(gè)正圓柱，要求易拉罐內(nèi)的體積一定時(shí)，求能使易拉罐制作所用的材料最省。2.3 模型的建立與求解:易拉罐側(cè)面所用材料的體積: , 可以忽略 所以側(cè)面材料的體積可以近似看作易拉罐上底面所用材料的體積: 易拉罐下底面所用材料的體積: 則 . 代入得: 令,解得臨界點(diǎn)為,代入得：又因?yàn)椋?所以 所以當(dāng)時(shí),Z取得最優(yōu)值.根據(jù)測量數(shù)據(jù)，則，代入公式得圓

8、柱型的易拉罐的尺寸雖然與實(shí)測數(shù)據(jù)相對比較吻合，但還是有一定的誤差。通過觀察發(fā)現(xiàn)實(shí)際中易拉罐的上部分有類似圓臺的地方，這是為了減少材料還是其他目的呢？因此建立模型。問題三（模型）3.1 補(bǔ)充假設(shè)（如圖三）（1）為圓臺部分的母線長。 （5）表示圓柱上底面積。（2）表示圓臺部分的高度。 （6）表示圓臺的體積。（3）表示圓柱上線高度。 （7）表示圓柱上線的體積。（4）表示圓臺上底的面積。 （8）355-=355-即=。 圖三3.2 模型分析：此問題考慮的是把易拉罐的上部分改成圓臺使得它跟原先的體積一樣,求出使得易拉罐的用材最省。3.3 模型的建立與求解:圓臺的表面積為： = + 圓柱高的表面積為： =

9、 + - 其中由模型一可知：化簡得：s.t.利用LINGO軟件求得d1= 30.36716 mm R= 30.36716mm h1=0mm h2=0mm 材料為752.8548mm3（見附錄一）從模型所求結(jié)果可以看出，圓臺的上底半徑只有6.11毫米, 這樣一來易拉罐罐口只有117.283平方毫米,這與我們所測易拉罐的實(shí)際尺寸相差比較大。因此我們對所假設(shè)的模型做如下改進(jìn)：在實(shí)際中圓臺上底半徑與易拉罐中間半徑相差很小約5；圓臺的高度也是很小約為5。因此模型修正為：d1=5.000000mm r=30.55185mm h2=3.462191mm h1=5.000000mm 材料為-450.1384(

10、mm)3 （見附錄二）由于實(shí)際中易拉罐的圓臺與罐底，方便運(yùn)輸，而問題三中討論的易拉罐上部是圓臺用料與圓柱的廢料問題，因此，浪費(fèi)點(diǎn)原料來提高人對易拉罐的舒適度。本文在對問題四的回答中進(jìn)一步的闡述這個(gè)改進(jìn)。問題四（模型三）改進(jìn)后易拉罐模型的母線為： 改進(jìn)后易拉罐模型的上底半徑： 因此，可求得改進(jìn)后易拉罐模型的表面積：上下底面積之和為：規(guī)定改進(jìn)后易拉罐模型的容積不變，還是，則圓柱形的表面積： 圓柱上下底的面積： 因此，可得原型易拉罐的面積為： =+b+450改進(jìn)后易拉罐模型與原型易拉罐的面積的差值：舒適程度的函數(shù)曲線：它的圖象為可以根據(jù)市場調(diào)查的散點(diǎn)圖形式來擬合曲線 ，如下圖：綜上所述，浪費(fèi)材料與舒

11、適程度的關(guān)系式為：；（k:舒適程度的增加錢的增值；p:表示每個(gè)單位的價(jià)格）問題五：淺談數(shù)學(xué)建模在未接觸建模時(shí)，就已經(jīng)聽說過它了，但不太了解，直到真正接觸，才發(fā)現(xiàn)原來數(shù)學(xué)建模就在我們的身邊。早在中學(xué)，甚至是小學(xué)時(shí)就已經(jīng)用建立數(shù)學(xué)模型的方法來解決過一些簡單或理想化的實(shí)際問題。例如航行問題、速度問題等。數(shù)學(xué)建模不只是對實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程，它還包括了對實(shí)際問題進(jìn)行的解釋、求解、驗(yàn)證并解決的全過程。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用如同MATLAB、LINGO等數(shù)學(xué)工具來得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用各種數(shù)學(xué)方程、表格、圖形等表現(xiàn)模型的思想。它是為解決現(xiàn)實(shí)中存在的特定的對象，特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)有規(guī)律進(jìn)行必要的簡化假設(shè)，

12、而設(shè)計(jì)的模型。另外，對于同一個(gè)客觀事物可以有多種數(shù)學(xué)描述，因此有必要在若干模型中選擇一個(gè)最簡單，最恰當(dāng)，最易于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的模型。對于模型，可以選擇一個(gè)最簡單，最恰當(dāng)，最易于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的模型。如下圖：在易拉罐模型中，我們在審題時(shí)，結(jié)合實(shí)際中普遍飲用的易拉罐，大概了解易拉罐的構(gòu)造，形狀，并在某些生產(chǎn)產(chǎn)品的公司網(wǎng)站上查閱了一些有關(guān)易拉罐具體尺寸、材料組成等，以及它的制作工藝、過程?？紤]到罐內(nèi)物質(zhì)對瓶罐的壓力，再查閱了有關(guān)于應(yīng)力等方面的知識。我們也通過各種方法，測量了易拉罐的直徑、高度、厚度等。其次，建立數(shù)學(xué)模型。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，飲料罐總體上可分為部分：圓臺、圓柱。當(dāng)然，這不是偶然，必定是某種意

13、義上的最優(yōu)設(shè)計(jì)。對模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)與簡化，這是建立模型的關(guān)鍵一步，必須對研究對象進(jìn)行統(tǒng)一，即認(rèn)定都為飲料量為355毫升的易拉罐。為減少誤差，對于測得的數(shù)據(jù)用多次測量取平均值。根據(jù)題目要求，明確易拉罐要達(dá)到最優(yōu)，必須滿足兩個(gè)條件：一、材料最省。二、能夠保證易拉罐的舒服度。在認(rèn)為易拉罐是一個(gè)長方體繞軸心旋轉(zhuǎn)360度的模型時(shí)，求極值問題則可利用求導(dǎo)方法取臨界值。當(dāng)易拉罐是由圓臺和圓柱構(gòu)成時(shí)，可與第一個(gè)模型進(jìn)行比較，從節(jié)省材料的角度來考慮，得出最優(yōu)模型。在模型中,考慮了舒適度，建立此函數(shù)關(guān)系時(shí)，需要通過顧客心理來描述圖形，但是由于沒有充裕的時(shí)間，整個(gè)模型過于簡略，不夠精確。六、模型改進(jìn)就問題四而言，

14、本文只是針對易拉罐的形狀和尺寸進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)，并沒有對易拉罐所用材料進(jìn)行改進(jìn)。但是鋁質(zhì)易拉罐的原材料需大量進(jìn)口，且價(jià)格昂貴，加上污染環(huán)境等因素，國家已不再批準(zhǔn)新建鋁質(zhì)易拉罐生產(chǎn)線。因此能否找到一種新型材料用來代替鋁質(zhì)易拉罐已成為我國關(guān)心的問題。對此，可以在易拉罐取材上進(jìn)行分析，將會(huì)得到一定的效果的 。 七、模型評價(jià)7.1模型優(yōu)點(diǎn)（1） 模型I運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值的數(shù)學(xué)方法，計(jì)算方便，簡單易懂。（2） 通過利用數(shù)學(xué)工具和Lingo編程的方法，嚴(yán)格地對模型求解，具有科學(xué)性。（3） 建立的模型能與實(shí)際緊密聯(lián)系，結(jié)合實(shí)際情況對所提出的問題進(jìn)行求解，使模型更貼近實(shí)際，通用性、推廣性較強(qiáng)。7.2模型的缺陷（1）

15、由于未能查得易拉罐的具體尺寸，只能運(yùn)用測量工具對易拉罐進(jìn)行測量，因此所測得的測量值與實(shí)際值之間有一定的誤差，（2） 模型只考慮了半徑與高之比，沒有考慮其他，可能有點(diǎn)不全面。八、參考文獻(xiàn)1 唐煥文 賀明峰，數(shù)學(xué)模型引論（第三版），高等教育出版社，2005.32 楊啟帆 方道元，數(shù)學(xué)建模，浙江大學(xué)出版社，1993.33 葉其孝，最優(yōu)化-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（極值問題）教學(xué)單元，:80604 上海聯(lián)合制罐有限公司，附件一model:max=3.14*(d1+r)*(r-d1)2+d12)(1/2)*0.13+0.26*(d12-r2)-0.26*r*h2);d1/r+1/2=(3*h2/h1-3/4)1/2;

16、1/3*3.14*(d12+r2+d1*r)*h1+3.14*(122.6-h2)*r2=355000;h2<=122.6;d1<=r;end Local optimal solution found at iteration: 406 Objective value: 752.8548 Variable Value Reduced Cost D1 30.36716 0.000000 R 30.36716 0.000000 H2 0.000000 18.65100 H1 0.000000 6.140743 Row Slack or Surplus Dual Price 1 752.

17、8548 1.000000 2 -0.5000000E+30 0.000000 3 0.000000 0.2120718E-02 4 122.6000 0.000000 5 0.000000 86.77114附件二model:max=3.14*(d1+r)*(r-d1)2+d12)(1/2)*0.13+0.26*(d12-r2)-0.26*r*h2);d1/r+1/2=(3*h2/h1-3/4)1/2;1/3*3.14*(d12+r2+d1*r)*h1+3.14*(122.6-h2)*r2=355000;h1=5;d1=5;end Local optimal solution found at iteration: 43636 Objective value: