求變力做功的六種方法

1、求變力做功的六種方法都勻市民族中學(xué)：王方喜在高中階段求變力做功問(wèn)題，既是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)的難點(diǎn)。本文舉例說(shuō)明了在高中階段求變力做功的常用方法，比如微元累積（求和）法、平均力等效法、功率的表達(dá)式、F-x圖像、用動(dòng)能定理、等效代換法等來(lái)求變力做功。一、運(yùn)用微元積累(求和)法求變力做功求変力做功還可以用微元累積法，把整個(gè)過(guò)程分成極短的很多段，在極短的每一段里，力可以看成是恒力，則可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代數(shù)和。由此可知，求摩擦力和阻力做功，我們可以用力乘以路程來(lái)計(jì)算。用微元累積法的關(guān)鍵是如何選擇恰當(dāng)?shù)奈⒃?，如何?duì)微元作恰當(dāng)?shù)奈锢砗蛿?shù)學(xué)處理，微元累積法對(duì)數(shù)學(xué)

2、知識(shí)的要求比較高。例1如圖1-1所示，某人用力轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為的轉(zhuǎn)盤(pán)，力的大小不變，但方向始終與過(guò)力的作用點(diǎn)的轉(zhuǎn)盤(pán)的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一周該力做多少功圖1-1【分析與解答】在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一周過(guò)程中，力的方向時(shí)刻變化，但每一瞬時(shí)力總是與該瞬時(shí)的速度同向（切線方向），即在每瞬時(shí)與轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的極小位移同向這樣，無(wú)數(shù)瞬時(shí)的極小位移，都與當(dāng)時(shí)的方向同向因而在轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中，力做的功應(yīng)等于在各極小位移段所做功的代數(shù)和即（）  2【總結(jié)】變力始終與速度在同一直線上或成某一固定角度時(shí)，可把曲線運(yùn)動(dòng)或往復(fù)運(yùn)動(dòng)的路線拉直考慮，在各小段位移上將變力轉(zhuǎn)化為恒力用Lcos計(jì)算功，而且變力所做功應(yīng)等于變力在各小段所做功之

3、和?！緳z測(cè)題1-1】如圖1-2所示，有一臺(tái)小型石磨，某人用大小恒為F、方向始終與磨桿垂直的力推磨，設(shè)施力點(diǎn)到固定轉(zhuǎn)軸的距離為L(zhǎng)，在使磨轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，推力做了多少功？ 圖1-2【檢測(cè)題1-2】小明將籃球以10 m/s的初速度，與水平方向成30°角斜向上拋出，被籃球場(chǎng)內(nèi)對(duì)面的小虎接到，小明的拋球點(diǎn)和小虎的接球點(diǎn)離地面的高度都為1.8 m由于空氣阻力的存在，籃球被小虎接到時(shí)的速度是6 m/s.已知籃球的質(zhì)量m0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全過(guò)程中籃球克服空氣阻力做的功；(2)如果空氣阻力恒為5 N，籃球在空中飛行的路程二、運(yùn)用平均力等效法求變力做功 當(dāng)力的方向不變，而大小

4、隨位移線性變化時(shí)(即x)，可先求出力的算術(shù)平均值，再把平均值當(dāng)成恒力，用功的計(jì)算式求解。用平均值求變力做功的關(guān)鍵是先判斷変力F與位移x是否成線性關(guān)系。例2.要把長(zhǎng)為的鐵釘釘入木板中，每打擊一次給予的能量為，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，比例系數(shù)為k。問(wèn)此釘子全部進(jìn)入木板需要打擊幾次？【分析和解答】在把釘子打入木板的過(guò)程中，釘子把得到的能量用來(lái)克服阻力做功，而阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。釘子在整個(gè)過(guò)程中受到的平均阻力為：釘子克服阻力做的功為：設(shè)全過(guò)程共打擊n次，則給予釘子的總能量：所以【檢測(cè)題2】某人用豎直向上的力勻速提起長(zhǎng)為、

5、質(zhì)量為的置于地面上的鐵鏈，求將鐵鏈從提起到剛提離地面時(shí)，提力所做的功如圖2所示圖2【分析與解答】鐵鏈被提升過(guò)程中所需提力方向不變，大小隨離地高度均勻地從0增大到平均提力02（12），提力通過(guò)的位移為，因此，提力所做的功為·LmgL/2【說(shuō)明】此題也可將鐵鏈質(zhì)量集中于其重心，從提起到剛離開(kāi)地面，鐵鏈重心上升L/2，運(yùn)用功能原理求解特點(diǎn)：變力與位移成線性關(guān)系時(shí)，才可用平均力等效變力用公式Lcos計(jì)算功三、運(yùn)用求變力做功涉及到機(jī)車(chē)的啟動(dòng)、吊車(chē)吊物體等問(wèn)題，如果在某個(gè)過(guò)程中保持功率P恒定，隨著機(jī)車(chē)或物體速度的改變，牽引力也改變，要求該過(guò)程中牽引力的功，可以通過(guò)求変力做功。例3質(zhì)量為5000k

6、g的汽車(chē)，在平直公路上以60kW的恒定功率從靜止開(kāi)始啟動(dòng)，速度達(dá)到24的最大速度后，立即關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，汽車(chē)從啟動(dòng)到最后停下通過(guò)的總位移為1200m.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中汽車(chē)所受的阻力不變.求汽車(chē)加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.【分析和解答】牽引力是変力，該過(guò)程中保持功率P恒定，牽引力的功可以通過(guò)來(lái)求。汽車(chē)加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，由動(dòng)能定理得： P t +( Ff · s ) = 0汽車(chē)達(dá)到最大速度時(shí)，牽引力和阻力大小相等，則 即可求得汽車(chē)加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為【檢測(cè)題3】【題目】質(zhì)量為4000kg的汽車(chē)，由靜止開(kāi)始以恒定的功率前進(jìn)，它經(jīng)100/3 s的時(shí)間前進(jìn)425m，這時(shí)候它達(dá)到最大速度15m/s。假設(shè)汽車(chē)在前進(jìn)中所受

7、阻力不變，求阻力為多大。    【分析和解答】汽車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中功率恒定，速度增加，所以牽引力不斷減小，當(dāng)減小到與阻力相等時(shí)速度達(dá)到最大值。汽車(chē)所受的阻力不變，牽引力是變力，牽引力所做的功不能用功的公式直接計(jì)算。由于汽車(chē)的功率恒定，汽車(chē)功率可用P=Fv求，速度最大時(shí)牽引力和阻力相等，故P=Fvm=fvm，所以汽車(chē)的牽引力做的功為W汽車(chē)=Pt=fvmt根據(jù)動(dòng)能定理有： W汽車(chē) + (-fs) = mvm2/2，即fvmt fs = mvm2/2     代入數(shù)值解得： f=6000N。 【

8、總結(jié)】變力做功的問(wèn)題是一教學(xué)難點(diǎn)，在上述實(shí)例中，從不同的角度、用不同的方法闡述了求解變力做功的問(wèn)題在教學(xué)中，通過(guò)對(duì)變力做功問(wèn)題的歸類(lèi)討論，有利于提高學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，開(kāi)闊學(xué)生解題的思路四、運(yùn)用F-x圖像中的面積求變力做功某些求変力做功的問(wèn)題，如果能夠畫(huà)出変力F與位移x的圖像，則F-x圖像中與x軸所圍的面積表示該過(guò)程中変力F做的功。運(yùn)用F-x圖像中的面積求變力做功的關(guān)鍵是先表示出変力F與位移x的函數(shù)關(guān)系，再在畫(huà)出F-x圖像。 例4：用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比， 每次擊釘時(shí)錘子對(duì)釘子做的功相同，已知第一次擊后釘子進(jìn)入木

9、板1cm，則第二次擊釘子進(jìn)入木板的深度為多少？【分析和解答】鐵錘每次做功都是用來(lái)克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比，F(xiàn)=kx，以F為縱坐標(biāo)，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標(biāo)，作出Fx圖象，如圖4-1，函數(shù)線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對(duì)鐵釘做的功.由于兩次做功相等，故有：S1=S2(面積) 即：圖4-1kx12=k(x2+x1)(x2x1)得 所以第二次擊釘子進(jìn)入木板的深度為：【檢測(cè)題4】放在地面上的木塊與一勁度系數(shù)的輕彈簧相連?，F(xiàn)用手水平拉彈簧，拉力的作用點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，木塊開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)拉彈簧，木塊緩慢移動(dòng)了的位移，求上述過(guò)程中拉力所做的功?！痉治龊徒獯稹坑深}意作出圖象如圖4

10、-2所示，在木塊運(yùn)動(dòng)之前，彈簧彈力隨彈簧伸長(zhǎng)量的變化是線性關(guān)系，木塊緩慢移動(dòng)時(shí)彈簧彈力不變，圖線與橫軸所圍梯形面積即為拉力所做的功。即圖4-2五、運(yùn)用動(dòng)能定理求變力做功動(dòng)能定理的表述：合外力對(duì)物體做功等于物體的動(dòng)能的改變，或外力對(duì)物體做功的代數(shù)和等于物體動(dòng)能的改變。對(duì)于一個(gè)物體在某個(gè)過(guò)程中的初動(dòng)能和末動(dòng)能可求，該過(guò)程其它力做功可求，那么該過(guò)程中変力做功可求。運(yùn)用動(dòng)能定理求變力做功關(guān)鍵是了解哪些外力做功以及確定物體運(yùn)動(dòng)的初動(dòng)能和末動(dòng)能。圖5-1例5如圖5-1所示，原來(lái)質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)L的細(xì)線懸掛而靜止在豎直位置.用水平拉力F將小球緩慢地拉到細(xì)線與豎直方向成角的位置的過(guò)程中，拉力F做功為（ ）A

11、. B. C. D. 【解析】很多同學(xué)會(huì)錯(cuò)選B，原因是沒(méi)有分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)FLcos來(lái)求功的適用范圍搞錯(cuò)，恒力做功可以直接用這種方法求，但變力做功不能直接用此法正確的分析，小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是緩慢的，因而任一時(shí)刻都可看作是平衡狀態(tài)，因此F的大小不斷變大，F(xiàn)做的功是變力功，小球上升過(guò)程中只有重力和拉力做功，而整個(gè)過(guò)程的動(dòng)能改變?yōu)榱?，可用?dòng)能定理求解：所以 ，故D正確?！緳z測(cè)題5】如圖5-2所示，質(zhì)量的物體從軌道上的A點(diǎn)由靜止下滑，軌道AB是彎曲的，且A點(diǎn)高出B點(diǎn)h=0.8m。物體到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為2m/s，求物體在該過(guò)程中克服摩擦力所做的功。 圖5-2【分析和解答】物體由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中共受到三個(gè)

12、力作用：重力G、支持力和摩擦力。由于軌道是彎曲的，支持力和摩擦力均為變力。但支持力時(shí)刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而該過(guò)程中只有重力和摩擦力做功。由動(dòng)能定理，其中所以代入數(shù)據(jù)解得所以，物體在該過(guò)程中克服摩擦力所做的功為5.84J。六、用等效代換法求變力做功求某個(gè)過(guò)程中的変力做功，可以通過(guò)等效法把求該変力做功，轉(zhuǎn)換成求與該変力做功相同的恒力的功，此時(shí)可用功定義式WFLcos求恒力的功，從而可知該変力的功。等效轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵是分析清楚該変力做功到底與哪個(gè)恒力的功是相同的。例6如圖6-1所示，一個(gè)可以看做質(zhì)點(diǎn)的物體靜止于水平地面上的點(diǎn)，用質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩系住物體，繩子的另一端通過(guò)距地面高為=3m的無(wú)摩擦定滑輪，用=4N的恒定拉力拉繩子，使物體向右運(yùn)動(dòng)。已知=370，=530，求物體從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)過(guò)程中，繩子的拉力對(duì)物體所做的功。(sin370=0.6，sin530=0.8) 圖6-1【分析與解答】如圖6-2，物體從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，繩上拉力的方向時(shí)刻變化，因而在物體位移方向上的分力大小是變化的從圖1可以看出，此變力使物體在水平方向上移動(dòng)時(shí)所做的，等效于恒力對(duì)繩做功力的作用點(diǎn)由a移動(dòng)到時(shí)，設(shè)力對(duì)繩所做的功為即 圖6-2繩的拉力對(duì)物體所做的功FLabFLAcFh（1/sin