最小二乘法在誤差分析中的應(yīng)用

1、誤差理論綜述與最小二乘法討論摘要：本文對(duì)誤差理論和有關(guān)數(shù)據(jù)處理的方法進(jìn)行綜述。并且針對(duì)最小二乘法（LS）的創(chuàng)立、發(fā)展、思想方法等相關(guān)方面進(jìn)行了研究和總結(jié)。同時(shí)，將近年發(fā)展起來(lái)的全面最小二乘法(TLS)同傳統(tǒng)最小二乘法進(jìn)行了對(duì)比。1. 誤差的有關(guān)概念對(duì)科學(xué)而言，各種物理量都需要經(jīng)過(guò)測(cè)量才能得出結(jié)果。許多物理量的發(fā)現(xiàn)，物理常數(shù)的確定，都是通過(guò)精密測(cè)量得到的。任何測(cè)試結(jié)果，都含有誤差，因此，必須研究，估計(jì)和判斷測(cè)量結(jié)果是否可靠，給出正確評(píng)定。對(duì)測(cè)量結(jié)果的分析、研究、判斷，必須采用誤差理論，它是我們客觀分析的有力工具1.1測(cè)量基本概念一個(gè)物理量的測(cè)量值應(yīng)由數(shù)值和單位兩部分組成。按實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的方式，測(cè)

2、量可分為直接測(cè)量、間接測(cè)量和組合測(cè)量。直接測(cè)量:可以用測(cè)量?jī)x表直接讀出測(cè)量值的測(cè)量。間接測(cè)量:有些物理量無(wú)法直接測(cè)得，需要依據(jù)待測(cè)物理量與若干直接測(cè)量量的函數(shù)關(guān)系求出。組合測(cè)量:如有若干個(gè)待求量，把這些待求量用不同方法組合起來(lái)進(jìn)行測(cè)量，并把測(cè)量結(jié)果與待求量之間的函數(shù)關(guān)系列成方程組，用最小二乘法求出這個(gè)待求量的數(shù)值，即為組合測(cè)量。1.2誤差基本概念誤差是評(píng)定測(cè)量精度的尺度，誤差越小表示精度越高。若某物理量的測(cè)量值為y，真值為Y，則測(cè)量誤差dy=y-Y。雖然真值是客觀存在的，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)它一般無(wú)從得知。按照誤差的性質(zhì)，可分為隨機(jī)誤差，系統(tǒng)誤差和粗大誤差三類(lèi)。隨機(jī)誤差: 是同一測(cè)量條件下，重復(fù)測(cè)量中

3、以不可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差分量。系統(tǒng)誤差: 是同一測(cè)量條件下，重復(fù)測(cè)量中保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差分量。粗大誤差: 指超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。1.3等精度測(cè)量的隨機(jī)誤差當(dāng)對(duì)同一量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測(cè)量，得到一系列的測(cè)量值，每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒(méi)有特定的規(guī)律，但就誤差的總體而言，卻有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 1.3.1正態(tài)分布通過(guò)對(duì)大量的測(cè)量數(shù)據(jù)的觀察，人們發(fā)現(xiàn)測(cè)量列的隨機(jī)誤差有以下幾個(gè)特征：（1） 絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，即誤差的對(duì)稱(chēng)性；（2） 絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，即誤差的單峰性；（3） 在一定的測(cè)量條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超

4、過(guò)一定界限，即誤差的有界性；（4） 隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零，即誤差的抵償性。正態(tài)分布曲線如下圖1-1所示。正態(tài)分布時(shí)區(qū)間(-，+)的面積占總面積的68.27%; (-1.96，+1.96)的面積占總面積的95%;區(qū)間(-2.58，+2.58)的面積占總面積的99%。圖1-1.正態(tài)分布曲線1.3.2 t分布t分布是小樣本分布，小樣本分布一般是指n<30。t分布適用于當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差s代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，由樣本平均數(shù)推斷總體平均數(shù)以及2個(gè)小樣本之間差異的顯著性檢驗(yàn)等。關(guān)于t分布的早期理論工作，是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家威廉·西利·戈塞特 (wilia

5、msealy Gosset)在 1900年進(jìn)行的。1.4系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按某種規(guī)律變化的因素造成的，這些誤差因素可能是由于：（1）測(cè)量裝置的原因：儀器設(shè)計(jì)上的缺欠，儀器零件制造和安裝的不正確，儀器附件的制造偏差。（2）測(cè)量環(huán)境的原因：測(cè)量過(guò)程中溫度、濕度等按一定的規(guī)律變化。（3）測(cè)量方法的原因：采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式引起的誤差。（4）測(cè)量人員的原因：由于測(cè)量人的個(gè)人特點(diǎn)導(dǎo)致的測(cè)量誤差。系統(tǒng)誤差具有確定的規(guī)律性，這與隨機(jī)誤差有根本區(qū)別。對(duì)于測(cè)量中存在的較為顯著的系統(tǒng)誤差，可以通過(guò)一些檢驗(yàn)方法和手段發(fā)現(xiàn)。如：1. 通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比檢驗(yàn)系統(tǒng)誤差；2.通過(guò)理論分析判斷系統(tǒng)誤差；

6、3. 對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行直接判斷；4. 用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行檢驗(yàn)。1.5粗大誤差測(cè)量數(shù)據(jù)中包含隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差是正常的，只要測(cè)量誤差在一定的范圍內(nèi)，測(cè)量結(jié)果就是正確的。但當(dāng)測(cè)量者在測(cè)量時(shí)由于疏忽造成錯(cuò)誤讀取示值，錯(cuò)誤紀(jì)錄測(cè)量值，錯(cuò)誤操作以及使用有缺欠的計(jì)量器具時(shí)，會(huì)出現(xiàn)粗大誤差，此數(shù)據(jù)的誤差分量明顯偏大，即明顯歪曲測(cè)量結(jié)果。對(duì)于粗大誤差，有以下幾種判別方法：（1）萊依特準(zhǔn)則(3準(zhǔn)則)：若對(duì)某一物理量等精度重復(fù)測(cè)量n次，得測(cè)量值，如果某測(cè)得值的殘差大于3倍的標(biāo)準(zhǔn)差，即|v|>3，該數(shù)據(jù)為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)剔除。萊依特準(zhǔn)則的合理性是顯然的，對(duì)服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，其殘差落在（-3，3）以外的概率僅為0.

7、27%，當(dāng)在有限次測(cè)量中發(fā)生的可能性很小，認(rèn)為是不可能發(fā)生的。（2）肖維勒準(zhǔn)則：若對(duì)某一物理量等精度重復(fù)測(cè)量n次，得測(cè)量值，若認(rèn)為為可疑數(shù)據(jù)，若此數(shù)據(jù)的殘差|v|>Z，則此數(shù)據(jù)為異常數(shù)，應(yīng)剔除。實(shí)用中Z<3，這在一定程度上彌補(bǔ)了3準(zhǔn)則的不足。Z是與測(cè)量次數(shù)n有關(guān)的系數(shù)。其關(guān)系見(jiàn)表1-2。n34567891011Z1.381.531.641.731.801.861.921.962.00n121314151617181920Z2.032.072.102.132.152.172.202.222.24表1-2（3）t檢驗(yàn)準(zhǔn)則(羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則)：羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則又稱(chēng)t檢驗(yàn)準(zhǔn)則，其特點(diǎn)是首先

8、剔除一個(gè)可疑的測(cè)得值，然后按t分布檢驗(yàn)被剔除的測(cè)量值是否為異常值。（4）格羅布斯準(zhǔn)則。（5）狄克遜準(zhǔn)則。2.測(cè)量的不確定度測(cè)量數(shù)據(jù)或經(jīng)數(shù)據(jù)處理給出的最終結(jié)果都不可能是客觀真值，只是被測(cè)量的近似值(或估計(jì)量)。因此，只給出被測(cè)量的估計(jì)值是不夠的，還必須對(duì)估計(jì)值做出精度估計(jì)。測(cè)量或結(jié)果的精度估計(jì)用“不確定度”這一參數(shù)表征。它表征被測(cè)量的真值所處的量值散布范圍的評(píng)定，反映了由于誤差存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度。測(cè)量不確定度涉及到測(cè)量誤差的性質(zhì)、分布及測(cè)量方法等。不確定度的表述是數(shù)據(jù)處理的基本要求。2.1不確定度的定義與分類(lèi)測(cè)量不確定度是指測(cè)量結(jié)果的不肯定，是表征被測(cè)量的真值在某個(gè)量值范圍的一個(gè)估計(jì)

9、，是測(cè)量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，用以表示被測(cè)量值的分散性。這種測(cè)量不確定度的定義表明，一個(gè)完整的測(cè)量結(jié)果應(yīng)包含被測(cè)量值的估計(jì)與分散性參數(shù)兩個(gè)部分。如被測(cè)量Y的測(cè)量結(jié)果為y士U，其中y是被測(cè)量的估計(jì)，它具有的測(cè)量不確定度為U。不確定度從評(píng)定方法上可分為兩類(lèi):A類(lèi)分量和B類(lèi)分量。用統(tǒng)計(jì)分析法來(lái)評(píng)定的不確定度稱(chēng)為A類(lèi)不確定度評(píng)定，當(dāng)測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，以標(biāo)準(zhǔn)差表示稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用符號(hào)u表示，u=s。不能由統(tǒng)計(jì)分析法評(píng)定的不確定度稱(chēng)為B類(lèi)不確定度評(píng)定，A類(lèi)以外的不確定度均屬于B類(lèi)不確定度。測(cè)量誤差和測(cè)量不確定度是誤差理論中兩個(gè)重要的概念，它們具有相同點(diǎn)，都是評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果質(zhì)量好壞的重要指標(biāo)，但它們又

10、有明顯的區(qū)別。2.2提高測(cè)量精度的途徑在擬定或設(shè)計(jì)測(cè)量方法時(shí)，需要確定測(cè)量的不確定度。測(cè)量的總不確定度應(yīng)根據(jù)被測(cè)量的精度要求恰當(dāng)?shù)慕o以規(guī)定。反過(guò)來(lái)，要想提高測(cè)量的精度，就應(yīng)盡可能的減小最后結(jié)果的總不確定度。根據(jù)不確定度的合成關(guān)系，可從下面幾方面著手。（1） 控制測(cè)量的誤差因素；（2） 選擇有利的測(cè)量方案；（3） 控制誤差的最大分盤(pán)。3.測(cè)量數(shù)據(jù)的處理無(wú)論哪個(gè)學(xué)科，在做實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，測(cè)得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之后，都必須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列的加工和運(yùn)算，這就是數(shù)據(jù)處理過(guò)程。因此，針對(duì)數(shù)據(jù)處理，這里介紹作圖法、逐差法、最小二乘法和回歸分析方法。3.1用作圖法處理數(shù)據(jù)作圖法處理數(shù)據(jù)是指在實(shí)驗(yàn)中，進(jìn)行測(cè)量以后，把相關(guān)數(shù)

11、據(jù)做成曲線圖，然后通過(guò)曲線來(lái)求未知量的方法。作圖法能直觀形象的表達(dá)兩個(gè)或兩個(gè)以上變量間的變化關(guān)系。利用圖線特別是直線，可以方便地求出斜率，截距以及包含在斜率和截距中的未知量。通過(guò)作圖法處理數(shù)據(jù)可以減小隨機(jī)誤差影響，發(fā)現(xiàn)粗大誤差，并能消除某些系統(tǒng)誤差。作圖法簡(jiǎn)單易行，被廣泛采用。3.2逐差法處理數(shù)據(jù)為了在數(shù)據(jù)測(cè)量中，盡量減少誤差，通常采用多次測(cè)量。但是在等間隔線性變化測(cè)量中，若仍采用一般的求平均值的方法，可以發(fā)現(xiàn)只有最后一次測(cè)量和第一次測(cè)量起作用，所有的中間測(cè)量值全部抵消。因此，這樣的數(shù)據(jù)處理方法無(wú)法反映多次測(cè)量的特點(diǎn)，損失掉很多信息。逐差法可彌補(bǔ)這種不足，逐差法的數(shù)據(jù)處理原則是:所有數(shù)據(jù)都要用

12、上，但每個(gè)數(shù)據(jù)不能重復(fù)使用。一般情況下，用逐差法處理數(shù)據(jù)需具備兩個(gè)條件:1.函數(shù)具有線性關(guān)系；2.自變量是等間距的，且測(cè)量次數(shù)為偶數(shù)次。逐差法處理數(shù)據(jù)就是把所測(cè)得的偶數(shù)組數(shù)據(jù)按自變量由大到小或由小到大的順序依次排列，然后等分為前后兩大組，再將每大組的對(duì)應(yīng)項(xiàng)依次相減。3.3最小二乘法處理數(shù)據(jù)最小二乘法原理可以表述：在=最小的前提下求得的未知量值，是未知量的最佳值(最可信賴(lài)值)。下面給出一般情況的證明:為了求得t個(gè)不可直接測(cè)量的未知量，可利用直接測(cè)量量與未知測(cè)量量的函數(shù)關(guān)系，.通過(guò)對(duì)直接測(cè)量量進(jìn)行測(cè)量,得到測(cè)量數(shù)據(jù)，若n=l，則可由上式直接解方程組得未知量。由于測(cè)量數(shù)據(jù)不可避免地包含測(cè)量誤差，所以

13、所得結(jié)果也包含測(cè)量誤差。為了提高測(cè)量結(jié)果的精度，應(yīng)增加測(cè)量次數(shù)，以便利用隨機(jī)誤差的抵償性減小誤差對(duì)測(cè)里結(jié)果的影響。故可能有n>l，當(dāng)?shù)染葴y(cè)量時(shí)，測(cè)量數(shù)據(jù)與直接測(cè)量量的最佳估值的殘差應(yīng)滿足最小，即：3.4回歸分析回歸分析（Regression Analysis）是英國(guó)生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓（Galton）在1889年出版的自然遺傳一書(shū)中首先提出，是處理變量之間相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。由于相關(guān)變量之間不存在確定性關(guān)系，因此，在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)所記錄的這些變量的數(shù)據(jù)中，存在不同程度的差異?；貧w分析就是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，對(duì)大量觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而得到比較符合事物內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。4.

14、最小二乘法的創(chuàng)立、發(fā)展及其思想最小二乘法是提供“觀測(cè)組合”的主要工具之一,它依據(jù)對(duì)某事件的大量觀測(cè)而獲得“最佳”結(jié)果或“最可能”表現(xiàn)形式。如已知兩變量為線性關(guān)系y=a+bx,對(duì)其進(jìn)行n(n>2)次觀測(cè)而獲得n對(duì)數(shù)據(jù)。若將這n對(duì)數(shù)據(jù)代入方程求解a,b之值則無(wú)確定解。最小二乘法提供了一個(gè)求解方法,其基本思想就是尋找“最接近”這n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的直線。最小二乘法不僅是19世紀(jì)最重要的統(tǒng)計(jì)方法,而且還可以稱(chēng)為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)之靈魂。相關(guān)回歸分析、方差分析和線性模型理論等數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的幾大分支都以最小二乘法為理論基礎(chǔ)。作為其進(jìn)一步發(fā)展或糾正其不足而采取的對(duì)策,不少近現(xiàn)代的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)分支也是在最小二乘法基礎(chǔ)上衍生

15、出來(lái)的。正如美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家斯蒂格勒(S.M. Stigler)所說(shuō),“最小二乘法之于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)猶如微積分之于數(shù)學(xué)”。天文學(xué)和測(cè)地學(xué)的發(fā)展促進(jìn)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)及其他相關(guān)科學(xué)的發(fā)展。丹麥統(tǒng)計(jì)史家哈爾德曾指出天文學(xué)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展中所起的作用?！疤煳膶W(xué)自古代至18世紀(jì)是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最發(fā)達(dá)的領(lǐng)域。觀測(cè)和數(shù)學(xué)天文學(xué)給出了建立數(shù)學(xué)模型及數(shù)據(jù)擬合的最初例子,在此種意義下,天文學(xué)家就是最初的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家。天文學(xué)的問(wèn)題逐漸引導(dǎo)到算術(shù)平均,以及參數(shù)模型中的種種估計(jì)方法,以最小二乘法為頂峰?！边@也說(shuō)明了最小二乘法的顯著地位。4.1勒讓德創(chuàng)立最小二乘法現(xiàn)行的最小二乘法是勒讓德()于1805年在其著作計(jì)算彗星軌道的新方法中提出

16、的，該書(shū)有80頁(yè),包含8頁(yè)附錄,最小二乘法就包含在這個(gè)附錄中。勒讓德之所以能做出這個(gè)發(fā)現(xiàn),是因?yàn)樗麤](méi)有因襲前人的想法要設(shè)法構(gòu)造出k個(gè)方程去求解.他認(rèn)識(shí)到關(guān)鍵不在于使某一方程嚴(yán)格符合,而在于要使誤差以一種更平衡的方式分配到各個(gè)方程。4.2高斯的正態(tài)誤差理論早在17世紀(jì),伽利略在其名著關(guān)于兩個(gè)世界的對(duì)話托雷密與哥白尼(1632)中,就討論了隨機(jī)誤差及其分布的問(wèn)題。雖然他并未提出這個(gè)名詞,但他提出了隨機(jī)誤差的分布曲線應(yīng)有圖4-1的形狀：1.f關(guān)于0對(duì)稱(chēng)(即f(-)=f(),這表示正負(fù)誤差有同等出現(xiàn)的機(jī)會(huì))；2. f在兩邊單調(diào)地衰減至0,即大誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較小,很大誤差的機(jī)會(huì)幾乎為0。圖4-1. a是

17、誤差大小，f(a)是a這樣的誤差發(fā)生的概率1809年,高斯發(fā)表論著關(guān)于繞日行星運(yùn)動(dòng)的理論。在該書(shū)末尾,他寫(xiě)了一節(jié)有關(guān)“數(shù)據(jù)結(jié)合”的問(wèn)題,以極其簡(jiǎn)單的手法導(dǎo)出誤差分布正態(tài)分布,并用最小二乘法加以驗(yàn)證。關(guān)于最小二乘法,高斯宣稱(chēng)自1795年以來(lái)他一直使用這個(gè)原理。這立刻引起了勒讓德的強(qiáng)烈反擊,他提醒說(shuō)科學(xué)發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)只能以出版物確定?，F(xiàn)在一般認(rèn)為,二人各自獨(dú)立地發(fā)明了最小二乘法,盡管早在10年前,高斯就使用這個(gè)原理,但第一個(gè)用文字形式發(fā)表的是勒讓德。高斯較之于勒讓德把最小二乘法推進(jìn)得更遠(yuǎn),他由誤差函數(shù)推導(dǎo)出這個(gè)方法并詳盡闡述了最小二乘法的理論依據(jù)。其推導(dǎo)過(guò)程如下:設(shè)誤差密度函數(shù)為f(x),真值為x，

18、n個(gè)獨(dú)立測(cè)定值為x1,x2,xn。由于觀測(cè)是相互獨(dú)立的,因而這些誤差出現(xiàn)的概率為：（1）要找出最有希望的誤差函數(shù)應(yīng)使L(x)達(dá)極大,高斯認(rèn)為就是x的估計(jì)值,并使L(x)取得極大值。對(duì) (1) 式兩端取對(duì)數(shù)得： （2）再對(duì)(2)式求導(dǎo)：，記，則有上式求對(duì)偏導(dǎo)數(shù)，而有，對(duì)于任意i有（c為常數(shù)），可得，因可以推出b=0，則有，積分可得，由，應(yīng)有c<0,取，可得，則有，此即為正態(tài)分布。這樣可知，的誤差密度函數(shù)為：要此式達(dá)到極大值，必選取之值而使表達(dá)式達(dá)極小值，于是可得的最小二乘估計(jì)法。綜上可知,勒讓德和高斯發(fā)現(xiàn)最小二乘法是從不同的角度入手的:一個(gè)是為解線性方程組,一個(gè)是尋找誤差函數(shù);一個(gè)用的是整

19、體思維,考慮方程組的均衡性,一個(gè)用的是逆向思維,首先接受經(jīng)驗(yàn)事實(shí);一個(gè)是純代數(shù)方法,一個(gè)致力于應(yīng)用。相比而言,高斯不愧為數(shù)學(xué)王子,他把最小二乘法推進(jìn)得更遠(yuǎn)、更深刻,這極大地推進(jìn)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展。5.全面最小二乘法（TLS）與最小二乘法對(duì)比研究傳統(tǒng)的平差問(wèn)題都是采用最小二乘法來(lái)解決的。對(duì)非線性函數(shù)模型線性化的習(xí)慣作法是,將非線性函數(shù)模型按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),保留一次項(xiàng),略去二次及二次以上的高次項(xiàng)。它是建立在觀測(cè)值和未知數(shù)近似值與觀測(cè)值的真值和未知數(shù)的真值都充分接近的基礎(chǔ)上的。如果該條件不滿足,線性化必然會(huì)影響到線性函數(shù)模型的真實(shí)性,從而影響平差質(zhì)量。全面最小二乘法(TLS)是上世紀(jì)70年代發(fā)展起來(lái)的

20、一種新的數(shù)據(jù)處理方法,已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于聲學(xué)、自動(dòng)控制、系統(tǒng)識(shí)別、信號(hào)處理等各個(gè)學(xué)科。該方法從一個(gè)新的角度來(lái)研究線性矛盾方程組,全面考慮了觀測(cè)向量與系數(shù)矩陣中的誤差,更符合實(shí)際情況。5.1全面最小二乘法原理無(wú)論是直接使用廣義逆陣A+還是使用A的奇異值分解（SVD）求解最小二乘問(wèn)題,它們都是求x使之滿足：（1）及。其中為范數(shù)，定義為：，且矩陣A的值域定義為。因此,最小二乘問(wèn)題等同于用一個(gè)最小的e去擾動(dòng)b以便b+e可以用A的各列來(lái)預(yù)測(cè)?；蛘哒f(shuō),一般最小二乘問(wèn)題只考慮了觀測(cè)向量b的擾動(dòng),而沒(méi)有考慮系數(shù)矩陣A的擾動(dòng)。顯然,更合理的方法是同時(shí)考慮b和A二者的擾動(dòng)。這就是全面最小二乘(TLS)的基本思想。換

21、句話說(shuō),在TLS問(wèn)題中,我們考慮矩陣方程：（2）的求解。（2）式可以變換為（3a）或（3b）其中這樣一來(lái),對(duì)齊次方程(3)的全面最小二乘解可以簡(jiǎn)單表示為:求一個(gè)解向量z使得：（4）式中，F(xiàn)robenius范數(shù)（5）。5.2 TLS與LS在數(shù)據(jù)處理方法對(duì)比研究設(shè)計(jì)平差網(wǎng)形,給出已知條件設(shè)計(jì)一平差網(wǎng)形如圖5-1,已知A, B, C, D, P1, P2,P3,P4, 4點(diǎn)的坐標(biāo),坐標(biāo)如下表5-2。圖5-1.平差網(wǎng)形表5-2.已知點(diǎn)的真實(shí)坐標(biāo)根據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)求出各個(gè)邊長(zhǎng)的真實(shí)長(zhǎng)度,分別為:L1=5760.7132m， L2=5187.3387m， L3=7838.8726m， L4=5483.1580

22、m， L5=5731. 8220m， L6=8720.1288m， L7=5598.6018m， L8=7494.8989m， L9=7493.2662m， L10=5438.4036m， L11=5487.0595m， L12=8884.5594m， L13=7228.3699m。設(shè)計(jì)兩種方案把P1，P2，P3，P4點(diǎn)作為待定點(diǎn),對(duì)以上網(wǎng)形進(jìn)行同精度觀測(cè),為了便于比較設(shè)計(jì)2組觀測(cè)值,方案1為觀測(cè)值與真實(shí)值相差不大的情況,即待定點(diǎn)坐標(biāo)與真實(shí)坐標(biāo)相差不大的情況,此時(shí)系數(shù)矩陣誤差不大;方案2為觀測(cè)值與真實(shí)值相差較大的情況,即待定點(diǎn)坐標(biāo)與真實(shí)坐標(biāo)相差較大,此時(shí)系數(shù)矩陣誤差較大的情況,2種方案觀測(cè)值如

23、下:方案1:同精度測(cè)得如圖1中的13個(gè)邊長(zhǎng),其結(jié)果為L(zhǎng)1=5760.706m， L2=5187. 342m，L3=7838.880m，L4=5483.158m，L5=5731.788m，L6=8720.162m，L7=5598.570m，L8=7494.881m，L9=7493.323m，L10=5438.382m，L11=5487.073m，L12=8884.587m，L13=7228.367m。方案2：同精度測(cè)得如圖1中的13個(gè)邊長(zhǎng)，其結(jié)果為L(zhǎng)1=5761.706m，L2=5186.342m，L3=7837. 880m，L4=5484.158m，L5=5730.788m，L6=8721.162 m，L7=5597.570m，L8=7493.881m，L9=7492.323m，L10=5437.382m，L11=5488.073m，L12