有理數(shù)的乘除基礎(chǔ)知識講解

1、有理數(shù)的乘除（基礎(chǔ)）撰稿：孫景艷 責(zé)編：趙煒 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1會根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行乘法運(yùn)算，并運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算律進(jìn)行簡算；2. 理解乘法與除法的逆運(yùn)算關(guān)系，會進(jìn)行有理數(shù)除法運(yùn)算；3. 鞏固倒數(shù)的概念，能進(jìn)行簡單有理數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算；4. 培養(yǎng)觀察、分析、歸納及運(yùn)算能力. 【要點梳理】要點一、有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)的乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0要點詮釋： (1) 不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號，再把絕對值相乘 （2）當(dāng)因數(shù)中有負(fù)號時，必須用括號括起來，如-2與-3的乘積，應(yīng)列為(-2)×(-3)，不應(yīng)該寫成-2

2、15;-32. 有理數(shù)的乘法法則的推廣：（1）幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；（2）幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0 要點詮釋：（1）在有理數(shù)的乘法中，每一個乘數(shù)都叫做一個因數(shù) (2)幾個不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負(fù)因數(shù)的個數(shù)確定積的符號，然后把各因數(shù)的絕對值相乘 (3)幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)為03. 有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：（1）乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即：abba（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把

3、后兩個數(shù)相乘，積相等即：abc(ab)ca(bc)（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加即：a(b+c)ab+ac要點詮釋：（1）在交換因數(shù)的位置時，要連同符號一起交換（2）乘法運(yùn)算律可推廣為：三個以上的有理數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個因數(shù)相乘如abcdd(ac)b一個數(shù)同幾個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這幾個數(shù)相乘，再把積相加如a(b+c+d)ab+ac+ad（3）運(yùn)用運(yùn)算律的目的是“簡化運(yùn)算”，有時，根據(jù)需要可以把運(yùn)算律“順用”，也可以把運(yùn)算律“逆用”要點二、有理數(shù)的除法1.倒數(shù)的意義： 乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù) 要點詮釋

4、：(1)“互為倒數(shù)”的兩個數(shù)是互相依存的.如-2的倒數(shù)是，-2和是互相依存的； (2)0和任何數(shù)相乘都不等于1，因此0沒有倒數(shù)； (3)倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)； (4)互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù))2. 有理數(shù)除法法則：法則一：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即. 法則二：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0. 要點詮釋：（1）一般在不能整除的情況下應(yīng)用法則一，在能整除時應(yīng)用法則二方便些 （2）因為0沒有倒數(shù)，所以0不能當(dāng)除數(shù) （3）法則二與有理數(shù)乘法法則相似，兩數(shù)相除時先確定商的符號，再確定商的絕

5、對值要點三、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算由于乘除是同一級運(yùn)算，應(yīng)按從左往右的順序計算，一般先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后算出結(jié)果要點四、有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無括號，則按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如有括號，則先算括號里面的【典型例題】類型一、有理數(shù)的乘法運(yùn)算1計算：(1)(-5)×(-4) (2) (3)【思路點撥】(1)、(2)、(3)均為兩數(shù)相乘，直接運(yùn)用乘法法則即可【答案與解析】解：(1)(-5)×(-4) (兩負(fù)數(shù)相乘)+(5×4) (同號得正，并把絕對值相乘)20 (2) （異號兩數(shù)相乘） （異號得負(fù)，并把絕對值相乘

6、） （化帶分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)便可約分）(3) (任何數(shù)同0相乘，都得0)【總結(jié)升華】第一個負(fù)因數(shù)可以不用括號，但是后面的負(fù)因子必須加括號，如(-4)×(-025)可以寫成-4×(-0.25)，但不能寫成-4×-0.252 (1)； (2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0【答案與解析】幾個不等于零的數(shù)相乘，首先確定積的符號，然后把絕對值相乘因數(shù)是小數(shù)的要化為分?jǐn)?shù)，是帶分?jǐn)?shù)的通?；癁榧俜?jǐn)?shù)，以便能約分幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零 (1)； (2)(1-2)(2-3)(3-4)(1

7、9-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×00【總結(jié)升華】幾個不等于零的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)確定，與正因數(shù)的個數(shù)無關(guān)當(dāng)因數(shù)中有一個數(shù)為0時，積為03.運(yùn)用簡便方法計算：(1)(2)(-0.25)×0.5×(-100)×4(3)【思路點撥】 (1)根據(jù)題目特點，可以把折成，再運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計算(2)運(yùn)用乘法結(jié)合律，把第1、4個因式結(jié)合在一起(3)逆用乘法分配律：ab+aca(b+c)【答案與解析】解：(1) （分配律） (2)(-0.25)×0.5×(-100)×4 （-4

8、5;0.25）×0.5×(-100) （交換律） -1×(-50)50（結(jié)合律）(3) （逆用乘法的分配律） 【總結(jié)升華】首先要觀察幾個因數(shù)之間的關(guān)系和特點適當(dāng)運(yùn)用“湊整法”進(jìn)行交換和結(jié)合舉一反三：【變式1】計算：；【答案】原式=-；【高清課堂：有理數(shù)乘除 381226 多個有理數(shù)相乘例2】【變式2】； 【答案】（類型二、有理數(shù)的除法運(yùn)算4計算：(1)(-32)÷(-8) （2）【答案與解析】 (1)(-32)÷(-8)+(32÷8)= 4 用法則二進(jìn)行計算(2) 用法則一進(jìn)行計算 【總結(jié)升華】(1)乘法、除法的符號法則是一致的，兩數(shù)

9、相乘除，同號得正，異號得負(fù)；(2)除法的兩個法則是一致的，應(yīng)學(xué)會靈活選擇舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)乘除 381226 有理數(shù)除法（法則）】【變式】 計算：（1）【答案】原式類型三：有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算5.計算：【答案與解析】在有理數(shù)的乘除運(yùn)算中，應(yīng)按從左到右的運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算.【總結(jié)升華】在有理數(shù)的乘除運(yùn)算中，可將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算乘除運(yùn)算是同一級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行 舉一反三：【變式1】計算：(-9)÷(-4)÷(-2)【答案】 (-9)÷(-4)÷(-2)-9÷4÷2【變式2】計算：(1) (2)【答案】 (1)(2) 類型四、有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算6. 計算（1）； （2）【答案與解析】（1）=6-2+9-5=8（2）法1：原式=法2：由（1）知：，所以【總結(jié)升華】除法沒有分配律，在進(jìn)行有理數(shù)的除法運(yùn)算時，若除數(shù)是和的形式，一般先算括號內(nèi)的，然后再進(jìn)行除法運(yùn)算，也可以仿照方法2利用倒數(shù)關(guān)系巧妙解決 舉一反三：【變式】【答案】 原式類型五：利用有理數(shù)的加減乘除，解決實際問題7.氣象統(tǒng)計資料表明，高度每增加1000米，氣溫就降低6如果現(xiàn)在地面的氣溫是27，那么8000米的高空的氣溫大約是多少?【思路點撥】解決此題的關(guān)鍵是明確高度變