正弦定理教案

1、正弦定理教案一、教學(xué)內(nèi)容分析：（一）內(nèi)容與內(nèi)容解析本節(jié)課是人教版高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)A版必修（五）的第一章解三角形第一節(jié)正弦定理和余弦定理的第一課時(shí)，本節(jié)旨在基于高二已學(xué)的三角知識(shí)，通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間數(shù)量關(guān)系，引出正弦定理。本節(jié)課的主要內(nèi)容是引入證明正弦定理及正弦定理的基本應(yīng)用，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，掌握新的有用的知識(shí)，而其還能夠體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，開(kāi)闊自己的思路，鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維能力。學(xué)生通過(guò)對(duì)定理證明的探究和討論，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)理論發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的過(guò)程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等

2、研究性學(xué)習(xí)的能力。（二）地位與作用解析正弦定理既是初中解直角三角形在高中知識(shí)下的直接延拓，也是對(duì)高中坐標(biāo)和圓等相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用，是生產(chǎn)和生活中解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具。正弦定理給出了任意三角形邊角的一個(gè)等量關(guān)系，它與后面即將要講授的另一個(gè)邊角關(guān)系余弦定理都是解三角形的重要工具。二、學(xué)情分析：對(duì)于高中的學(xué)生，一方面已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何、解直角三角形等知識(shí)，另一方面也具備了一定的觀察分析和解決問(wèn)題的能力；但是學(xué)生往往會(huì)在對(duì)新知識(shí)的理解應(yīng)用以及與已學(xué)知識(shí)的聯(lián)系上出現(xiàn)思維障礙，思維靈活性、深刻性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，注意前后知識(shí)間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生直接參與分析問(wèn)題、解決

3、問(wèn)題。三、設(shè)計(jì)思想： 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢？這就要求在教學(xué)過(guò)程中以學(xué)生為主體，充分的發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，也就是使學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，自主進(jìn)行思考和探究活動(dòng)。建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的?！边@個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不僅是通過(guò)教師傳授得到的，更重要的是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。從學(xué)生

4、的角度出發(fā)設(shè)計(jì)課堂，從有利于學(xué)生主動(dòng)探索設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境。新課標(biāo)指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。從心理學(xué)的角度看，青少年有一種好奇的心態(tài)、探究的心理。因此，課堂設(shè)計(jì)要緊緊地抓住高二學(xué)生的這一特征，利用“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”這一富有挑戰(zhàn)性和探索性的材料，精心設(shè)計(jì)教學(xué)情境，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)中，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。四、教學(xué)目標(biāo)：1、在創(chuàng)設(shè)日常生活的問(wèn)題情境中，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)和處理幾何圖形的常用方法出發(fā)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，步步推進(jìn)，探索和證明正弦定理。2、能運(yùn)用正弦定理解決三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題，并初

5、步認(rèn)識(shí)用正弦定理解三角形時(shí)，會(huì)有一解、兩解、無(wú)解三種情況。3、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷探索和發(fā)展的過(guò)程，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。4、通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)既來(lái)源于生活，又服務(wù)與生活。5、在教學(xué)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生自主探究三角形的邊角關(guān)系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再對(duì)一般三角形進(jìn)行推導(dǎo)證明,并引導(dǎo)學(xué)生分析正弦定理可以解決兩類(lèi)關(guān)于解三角形的問(wèn)題：（1）已知兩角和一邊，解三角形：（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形。 五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、 教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索與證明；正弦定理的基本應(yīng)用。2、 教學(xué)難點(diǎn)：

6、正弦定理的探索與證明。3、 重難點(diǎn)突破方法：抓知識(shí)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識(shí)特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。六、教學(xué)方式：以學(xué)生為中心，以教師為主導(dǎo)，啟發(fā)式教學(xué)。運(yùn)用定理情景引入布置作業(yè)小結(jié)歸納解讀定理七、教學(xué)流程設(shè)計(jì)：探究證明探究一探究二八、教學(xué)過(guò)程：1、創(chuàng)立情景，導(dǎo)入新課（1）展示遼陽(yáng)白塔、千山、太子河圖片，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如何能夠?qū)崿F(xiàn)不登山而知山高，不過(guò)河而知河寬；（2）創(chuàng)設(shè)情境提出問(wèn)題：某人站在太子河岸邊點(diǎn)B位置，發(fā)現(xiàn)對(duì)岸A處有一個(gè)宣傳板，如何能夠求出A、B兩點(diǎn)間的距離？（啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題實(shí)質(zhì)是：已知ABC中B、C和BC長(zhǎng)度，求AB距離.即：已知三

7、角形中兩角及其夾邊，求其它邊）2、邏輯推理，探究證明1.正弦定理的推導(dǎo)（1）在直角三角形中：,， 即 ， =能否推廣到斜三角形？（2）斜三角形中 （等積法，利用三角形的面積轉(zhuǎn)換）在任意斜中，先作出三邊上的高、，則，所以，每項(xiàng)同除以即得：結(jié)論：對(duì)任意，總有，我們把這條性質(zhì)稱(chēng)為正弦定理。（這就是今天要講的內(nèi)容，把課題寫(xiě)在黑板上）3、解讀定理，加深理解（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)，使；（2）=等價(jià)于=，=，=，即可得正弦定理的變形形式：1）；2）；3）（3）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類(lèi)斜三角形問(wèn)題： 1）兩角和任意一邊，求

8、其它兩邊和一角；如；2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角如。一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形，有兩解或一解（見(jiàn)圖示） 一解 兩解 一解 一解 注意：（1）正弦定理的敘述：在一個(gè)三角形中。各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：=它適合于任何三角形。 （2）可以證明= （為外接圓半徑） （3）每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。4、求解例題，鞏固定理例1 已知在解： 由得 由得例2 在解：，為銳角， 例3 解： ，例4 試判斷下列三角形解的情況：（1）已知（2）已知（3）已知 5、鞏固深化，反饋矯正 （學(xué)生嘗

9、試）1.在中，三個(gè)內(nèi)角之比，那么等于_2.在中，,則此三角形的最大邊長(zhǎng)為_(kāi)3.在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_4.在中，已知，求的度數(shù)6、歸納小結(jié)，提高升華1、正弦定理，它是解三角形的工具之一。2、正弦定理可以解決以下兩種類(lèi)型的三角形： （1）已知兩角及任意一邊；（2）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角.九、板書(shū)設(shè)計(jì)：課題：正弦定理 正 弦 定 理 十、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明：本設(shè)計(jì)通過(guò)學(xué)生在學(xué)習(xí)生活過(guò)程中經(jīng)常遇到的一個(gè)問(wèn)題展開(kāi)，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單情景的不斷改進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形的邊角關(guān)系式，并由此猜想出正弦定理的表達(dá)形式，利用動(dòng)態(tài)幾何軟件進(jìn)行直觀的觀察，然后引導(dǎo)學(xué)生給出證明，思路自然，是學(xué)生們易于接受的一種講解方法。正弦定理的證明方法有很多，如利用三角形的面積公式、三角形的外接圓、坐標(biāo)法等。但是綜合各種方法，用三角形外接圓的證明方法不僅可以簡(jiǎn)單的得出基本的正弦定理的表達(dá)形式，而且還可以得出比值等于外接圓的直徑的這個(gè)性質(zhì)。這種證明方法也充分的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)