正弦函數(shù)知識講解

1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)【基礎(chǔ)知識精講】1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的畫法(1)描點法：按照列表、描點、連線的順序可作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的方法.(2)幾何法：利用單位圓中的正弦線、余弦線來作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的方法.(3)五點法：觀察正弦函數(shù)圖像可以看出，(0，0)，(，1)，(，0)，(，-1)，(2，0)這五個點在確定正弦函數(shù)圖像形狀時起著關(guān)鍵的作用.這五個點描出后，正弦函數(shù)y=sinx,x0，2的圖像的形狀就基本上確定了.(0，1)，(，0)，(，-1)，(，0)，(2，1)這五個點描出后，余弦函數(shù)y=cosx,x0，2的圖像的形狀就基本上確定了.在精確度要求不太高時，我

2、們常常先描出這五個點，然后用光滑的曲線將它們連結(jié)起來，就得到在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖，這種方法叫做五點法.2.正、余弦函數(shù)的性質(zhì)y=sinxy=cosx定義域RR值域-1,1-1,1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在每個區(qū)間2k-，2k+上遞增，在每個區(qū)間2k+,2k+上遞減(kZ)在每個區(qū)間(2k-1),2k上遞增，在每個區(qū)間2k,(2k+1)上遞減(kZ)周期性22有界性當x=2k-(kZ),y最小=-1，當x=2k+(kZ)時，y最大=1當x=(2k+1)(kZ)時,y最小=-1，當x=2k(kZ)時，y最大=1(注：在單調(diào)性中，把函數(shù)說成在某象限是增函數(shù)或是減函數(shù)是不正確的).3.

3、周期函數(shù)三角函數(shù)的周期性，是角的終邊位置周期性的變化的反映，這種周期性清晰地表現(xiàn)在三角函數(shù)的圖像中，對于周期函數(shù)，只要掌握它在一個周期的性質(zhì)(提供研究問題的方案：先解答一個周期上的問題，再按周期性推廣)周期函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，若存在常數(shù)T0，使得對一切xD,且x+TD時，都有f(x+T)=f(x)成立，則稱y=f(x)為D上的周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期。今后的三角函數(shù)的周期，如未特別指明，一般都是指它的最小正周期，并不是所有的周期都存在最小正周期.【重點難點解析】(1)利用三角函數(shù)線可以

4、畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像，此外，三角函數(shù)線還可用來三角函數(shù)值的大小比較，有關(guān)三角函數(shù)不等關(guān)系的證明.(2)一般地，我們常用“五點法”，畫出正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像.三角函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等等，在其圖像上都被充分地反映出來.因此，熟練掌握畫三角函數(shù)圖像的方法，用數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)三角函數(shù)問題是很重要的.(3)對于比較三角函數(shù)值，一般利用誘導(dǎo)公式將三角函數(shù)化成同名函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間去比較.例1(1)用“五點法”作出函數(shù)y=2+sinx在一個周期內(nèi)的簡圖；(2)求函數(shù)的最大、最小值及取得最小、最小值時的x的集合；(3)求函數(shù)的周期.解：(1)x0234y232

5、12所作圖像如圖所示.(2)當sin=1時，ymax=3.即=2k+,x=4k+(kZ)時，ymax=3.當sin=-1,=2k-,x=4k-(kZ)時，ymin=1(3)T=4.評析：(1)用“五點法”作圖，關(guān)鍵是找出函數(shù)在一個周期的五個關(guān)鍵點，用列表描點法畫簡圖；(2)求函數(shù)的最值，需用正、余弦函數(shù)的值域-1,1.例2求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)=logsinx(1+2cosx)(2)f(x)=lg(sinx-cosx)分析：先轉(zhuǎn)化為三角不等式，再利用單位圓或三角函數(shù)圖像進行求解.解：(1)1+2cosx00sinx12kx2k+且x2k+(kZ).故f(x)定義域為(2k,2k+)

6、(2k+,2k+)(kZ).(2)sinx-cosx0,sinxcosx，作出y=sinx和y=cosx的圖像，由圖可知f(x)的定義域為(2k+,2k+).(kZ)例3求下列函數(shù)的值域(1)y=sin2x-3cosx;(2)y=(3)y=分析：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或利用sinx的有界性.解：(1)y=-cos2x-3cosx+1=-(cosx+)2+-1cosx1,-3y3.故函數(shù)值域為-3,3(2)ysinx+3y=2sinx-1,sinx=.sinx1,1,1+3y2-y.(1+3y)2(2-y)2,-y.故函數(shù)值域為-,.(3)2y+ycosx=sinx,sinx-ycosx=2ysin(x

7、-)=2y(tg=-)sin(x-)=,sin(x-)1,14y23+y2,-1y1.故函數(shù)值域為-1,1.例4下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為()A.y=;B.y=;C.y=2cosx;D.y=lg(sinx+)解：lgsin(-x)+=lg(-sinx)=lg=lg(sinx+)-1=-lg(sinx+),又當xR時，均有sinx+0(為什么?)D為奇函數(shù)，應(yīng)選D.說明：A、C為偶函數(shù)，而B無奇偶性.例5已知函數(shù)f(x)=logsinx-cosx,(1)求出它的定義域和值域；(2)判斷它的奇偶性；(3)求出它的單調(diào)區(qū)間；(4)判斷它的周期性.分析：本題是一道綜合性的問題，需根據(jù)所給的函數(shù)的定義，全面

8、考察所給函數(shù)的性質(zhì).解：(1)函數(shù)f(x)的定義域由sinx-cosx0決定.即sin(x-)0,xk+(kZ).所以f(x)的定義域為xxR且，xk+,kZ.由于f(x)=logsinx-cosx=logsin(x-).f(x)的值域為-,+.(2)由于函數(shù)的定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點不對稱，故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).(3)函數(shù)f(x)=logu是單調(diào)遞減函數(shù)，其中u=sinx-cosx=sin（x-）.由于函數(shù)u的單調(diào)遞增區(qū)間是k+，k+(kZ),單調(diào)遞減區(qū)間為k+,k+(kZ).因此函數(shù)f(x)=logsinx+cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是k+，k+(kZ),單調(diào)遞減區(qū)間是k+,

9、k+(kZ).(4)f(x+)=logsin(x+)-cos(x+)=log-sinx-(-cosx)=logcosx-sinx=f(x)f(x)是周期函數(shù)，且是其一個周期.【難題巧解點拔】例1求函數(shù)y=+lg(2cosx+)的定義域.分析：求函數(shù)的定義域時，這里有兩個限制條件、一是被開方式需非負；二是對數(shù)的真數(shù)要為正，因此要列出混合不等式組進行求解.解：要使函數(shù)有定義，就必須有：x=2k或2k+x2k+,kZ.故函數(shù)的定義域是xx=2k或2k+x2k+,kZ.說明：在得到了不等式組：之后，也可借助于圖形(如圖所示)來找角的公共范圍，即不等式組的解，這樣往往會使解法變得簡便、直捷.例2(1)若

10、0，比較sin,sin(sin),sin(tan)的大小.(2)若0，比較cos,sin(cos),cos(sin)的大小.分析：(1)三個同名函數(shù)比較大小，可根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，只須比較出三個角，sin,tan的大小，而由單位圓中的三角函數(shù)線可知，當0時，sintan.(2)三個對象其中的兩個同名，其中兩個同角，故可以兩兩比較，再作出最后的結(jié)果.解：(1)0，sintan(已證明過)且由單位圓中的正切線知，當0時，0tan10sintan1，而y=sinx,在x(0,1)單調(diào)遞增sin(sin)sinsin(tan).(2)0時，0cos1sin(cos)cos,又當0時，sin,而sin

11、,均在(0，)里，且y=cosx在x(0,)單調(diào)遞減，cos(sin)cossin(cos)coscos(sin)例3證明y=sinx的周期是2.證明：設(shè)y=sinx的最小正周期為l，則有sin(x+l)=sinx對一切x均成立，特別地，當x=0時，sinl=0,可見l=k(kZ),這說明，l=k是l為y=sinx最小正周期的必要條件.又因為最小正周期是周期中的最小正值，于是取k=1,2,3,，逐次將l=k代入sin(x+l)=sinx中檢驗.當l=時，因為sin(x+)=-sinxsinx(對一切x)，所以不是最小正周期；當l=2時，因為sin(x+2)sinx(對一切x)，故2是y=sin

12、x的最小正周期.例4設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(-，+)上以2為周期的函數(shù)，對于kZ,用Ik表示區(qū)間2k-1,2k+1,已知當xI0時，f(x)=x2.(1)求f(x)在Ik上的解析表達式.(2)對于自然數(shù)k,求集Mk=a使方程f(x)=ax在Ik上有兩個不相等的實根.解：用圖像法解甚簡便.(1)作f(x)的圖像(如圖)，可知，f(x)=(x-2k)2,xIk.(2)作圖，由圖像可知0.例5若y=cos2x+2psinx+q有最大值9和最小值6；求p、q的值.解：y=1-sin2x+2psinx+p2-p2+q=-(sinx-p)2+p2+q+1,y的最小值取決于(sinx-p)2的最大值，即取決

13、于sinx-p的最大值，并且1+psinx+psinx-p,等號成立，ymin=-(1+p)2+p2+q2+1=-1-2p-p2+p2+q+1=q-2p=6.對y的最大值討論如下：(1)當p1時，當sinx=p時，(sinx-p)2=0,ymax=p2+q+1=9.(2)當p1時，sinxp,(i)當p1時，ymax=-(1-p)2+p2+q+1=2p+q=9,(ii)當p-1時，ymax=-(-1-p)2+p2+q+1=-2p+q=9.【課本難題解答】課本第59頁第7題：(1)單調(diào)增區(qū)間-+2k,+2k(kZ),單調(diào)減區(qū)間：+2k,+2k(kZ)(2)單調(diào)增區(qū)間2k,(2k+1)(kZ),單

14、調(diào)減區(qū)間：(2k-1),2k(kZ)第8題：(1)x+2kx+2k,kZ,(2)x-+2kx+2k,kZ.第9題：(1)xx+2k,kZ(2)xx2k,kZ(3)x-+2 kx+2k,kZ(4)x(2k-1)x2k,kZ.【命題趨勢分析】本節(jié)內(nèi)容是高考試題的“熱點”，題型以選擇題、填空題為主，難度為容易題或中等題，一般地，與本章其他知識綜合在一起考查，重點考查正、余弦函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性，如求單調(diào)區(qū)間、最小正周期、三角函數(shù)的最大值或最小值及值域等.【典型熱點考題】例1滿足sin(x-)的x的集合是()A.x2k+x2k+,kZB.x2k-x2k+,kZC.x2k+x2k+

15、,kZD.x2kx2k+,kZx2k+x(2k+1),kZ分析：本題可用單位圓中三角函數(shù)線或者三角函數(shù)圖像求解.解：設(shè)=x-,畫圖即可知：2k+2k+2k+x2k+(kZ)應(yīng)選A.說明：本題可以從選擇支中取值驗證.例2函數(shù)y=sin(x+2)的最小正周期是.分析：利用公式y(tǒng)=Asin(x+)(A0,0)的最小正周期為.解：=,T=2應(yīng)填2.例3函數(shù)y=sin(2x+)的圖像的一條對稱軸方程是()A.x=-B.x=-C.x=D.x=解：已知函數(shù)可化為y=sin(2x+)=cos2x.作出函數(shù)y=cos2x的圖像便可以清楚地看到x=-為它的一條對稱軸.應(yīng)選A.說明：事實上，對稱軸過圖像的最高點，或最低點，用代入法，便可知x=-時，y取最小值-1.例4用減函數(shù)的定義證明y=cosx在0,上是單調(diào)遞減的.證明：任取0x1x2,有y1-y2=cosx1-cosx2=-2sinsin0x1x2,0,-0,sin