淺析二分法及其Matlab和C程序實現(xiàn)

1、淺析二分法及其Matlab和C程序實現(xiàn)第一部分：二分法淺析用二分法求方程的近似解是緊跟在“函數(shù)的零點”之后的教學內容。從聯(lián)系的角度看，前面一節(jié)，學生已經(jīng)學習了方程的根與函數(shù)的零點之間存在著對立統(tǒng)一的關系，這一節(jié)則是介紹一種具體的方法來運用這一關系解決問題。從整個教材來分析，這一部分的內容是在“函數(shù)的應用”這一大章節(jié)之下。新課程標準中強調函數(shù)的應用性，這里包括兩個方面：一方面是函數(shù)在生活實踐中的應用，函數(shù)建模等內容屬于這個范疇；另一方面則是函數(shù)在數(shù)學自身范圍內的應用，“二分法”即是其中的代表?；谝陨系姆治?，筆者給出了以下的一些教學建議，與讀者朋友們分享。一、 為什么要用二分法就通過試驗縮小搜索

2、區(qū)間來講，試驗點不一定取中點，取其他的點也可以，那么為什么取中點呢?下面以搜索區(qū)間為0，1的情況作討論。 一種對所有搜索區(qū)間為0，1的方程f(x) = 0都適用的方法，即對集合G=f（x）=0，f（x）連續(xù)，且f(0)·f(1) < 0中的所有方程都適用的方法. 一個合理的假設是：G中所有方程f(x)= 0的根在0，1上均勻分布. 設試驗點是c，那么c將0，1分成0，c和c，1兩部分，它們的長度分別是c和1-c. 由假設，通過試驗保留的搜索區(qū)間是0，c（即方程f(x)=0的根在0，c中）的概率是c，通過試驗保留的搜索區(qū)間是c，1的概率是1-c. 因此，通過一次試驗保留的搜索區(qū)間

3、的期望長度為c2+ (1 -c)2= 2c2- 2c+ 1=2(c-)2+，容易看出，當c=的時候，通過一次試驗保留的搜索區(qū)間的期望長度最小。這就是取中點作為試驗點的原因。二、引入方法 方法1：已知商店里一件商品的利潤y與它的價格x之間滿足函數(shù)關系y=x2-4x+3，請畫出這個函數(shù)的圖像，并思考當價格為多少元的時候商店不盈也不虧. 方法2：創(chuàng)設問題情景：蹦極運動. 設下落的時間t秒. 人離開參照點“礁石尖端”的位移為S(S=0表示人在礁石點處，向下取負，向上取正)，開始下落時，時間t=0，在t4，6時的變化如下表：t4. 04. 34. 64. 95. 25. 56. 0S-5101-1018

4、-3問：這段時間內人有幾次通過礁石尖端處?方法3：使用“幸運52”猜測商品價格的游戲作情景方法4：(1)請同學們思考下面的問題：能否解下列的方程 x2-2x-1=0 lgx=3-x x4-3x-1=0(2)特殊入手：不解方程求方程x2-2x-1=0的近似解(精確到0. 01).方法1、2、3都是以“實際問題”為情境引入. 方法4以學生已有的認知水平：會求一元二次方程的實數(shù)解，對應二次函數(shù)的圖像與二軸的交點坐標. 讓學生探究具體的一元二次方程的根與其對應的一元二次函數(shù)的圖像與二軸的交點的橫坐標的關系，再探究一般的一元二次方程的根與其對應的一元二次函數(shù)的圖像與x軸的交點的橫坐標的關系. 三、函數(shù)零

5、點的處理 用二分法求方程近似解的理論基礎是零點存在定理. 下面我們來看看教材上描述的零點存在定理. 如果函數(shù)y =f (x)在區(qū)間a ，b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f (a ) f (b)<0，那么函數(shù)y =f (x)在區(qū)間a ，b內有零點即存在c(a ，b)，使f (c)=0.由此可見，定理的題設部分有兩個條件：(1) y =f (x)在區(qū)間a ，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線;(2) f (a ) f (b)<0.學生在運用這個定理時往往會存在以下疑問：我怎樣去判斷某一函數(shù)的圖像在某一區(qū)間是連續(xù)不斷的呢?y =f (x)滿足條件(1)(2)就一定存在零點，那么是否只存

6、在一個零點呢?若把條件(2)改為f (a ) f (b)>0，則y =f (x)在(a ，b)是否就不存在零點呢?對于問題，我們可以告訴學生我們前面所學的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)在它們各自的定義域內圖像都是連續(xù)的. 這些函數(shù)經(jīng)過加減乘除或經(jīng)過復合而成的新的函數(shù)在各自的定義域內圖像仍然是連續(xù)的.對于問題，主要通過觀察函數(shù)圖像來總結（1） 對全部零點為單重零點既對應方程無重根的情況 y=f (x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線且f (a ) f (b)<0，則y =f (x)在（a，b）上有奇數(shù)個零點若y =f (x)在區(qū)間a，b上單調則y =f (x)

7、在(a，b)上有唯一零點 y =f (x)在區(qū)間a ，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線且f (a) f (b)>0，則 y =f (x)在(a ，b)上有偶數(shù)個零點若y =f (x)在區(qū)間a ，b上單調則y =f (x)在(a ，b)上有無零點可以看出連續(xù)函數(shù)的零點具有一個很重要的性質：函數(shù)的圖象如果是連續(xù)的，當它通過零點時，函數(shù)的值變號，也就是圖象要經(jīng)過該點要穿越x軸.（2） 對多重零點的情況 從圖7、圖8可以看出偶數(shù)重零點不穿過x軸；奇數(shù)重零點穿過x軸函數(shù)若有一零點為多重零點，當該零點為偶重零點時，圖象通過該零點時，函數(shù)值不變號，也就是圖象經(jīng)過該零點而不穿越x軸. 當該零點為奇重零點時

8、，圖象經(jīng)過該點時函數(shù)值要變號，也就是圖象經(jīng)過該零點且穿越x軸. 處理好這個問題是本節(jié)課的關鍵 四、精度 精確度的說明是一個無法避免的問題，而且需要和初中學習的“精確到”有所區(qū)分. 教學中不可能讓學生掌握嚴格的、形式化的定義，而且教科書對此也作了簡化處理：對于達到精確度的界定是只要精確值所在區(qū)間的長度小于，那么這個區(qū)間的所有的值就都是滿足精確度的近似值. 那么，如何讓學生明白這個含義呢?一個可行的方法就是通過簡單例子來說明問題最后，在學生思考、討論及進一步分析的基礎上給出精確度的含義： “一般地，對于數(shù)值x，如果要獲得它的滿足精確度0. 01的近似值，就是找到一個包含x的區(qū)間a，b，只要| a-

9、b|<0. 01即可. ” 五、二分法的定義與步驟 利用二分法求方程的近似解時，學生用二分法求方程的近似解最大的困難就是第一步. 第一步確定初始區(qū)間不好把握. 要引導學生先研究函數(shù)的性質，畫出函數(shù)大致圖象，再確定初始區(qū)間. 如果我們對函數(shù)的性質不了解，不能畫出大致圖象，問題比較麻煩，只能采用嘗試的辦法去搜索它的初始區(qū)間. 六、信息技術的使用 有意識借助計算器和幾何畫板幫助學生探究得到零點個數(shù)，下面以Excel為例引導學生求y=ln(2x+6)+3-3x的零點先用畫函數(shù)圖象工具畫出函數(shù)圖象 確定初始區(qū)間為1，2，然后確定第一次迭代時每個單元格的公式，最后填充即可：x1(x1+x2)/2x2

10、f(x1)f(x1+x2)/2)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1+x2)/2)f(x1)f(x1+x2)/2)f(x2)精度迭代次數(shù)11. 522. 0794420. 001072-3. 69741-7. 6885581540. 002229483-0. 00396111. 51. 7520. 001072-1. 58723-3. 69741-0. 003964201-0. 0017017555. 8686460. 521. 51. 6251. 750. 001072-0. 73642-1. 58723-0. 001701755-0. 0007895521. 1688620. 2531.

11、 51. 56251. 6250. 001072-0. 35445-0. 73642-0. 000789552-0. 0003800290. 2610250. 12541. 51. 531251. 56250. 001072-0. 1735-0. 35445-0. 000380029-0. 0001860160. 0614970. 062551. 51. 5156251. 531250. 001072-0. 08543-0. 1735-0. 000186016-9. 15918E-050. 0148220. 0312561. 51. 5078131. 5156250. 001072-0. 04

12、198-0. 08543-9. 15918E-05-4. 50126E-050. 0035870. 01562571. 51. 5039061. 5078130. 001072-0. 02041-0. 04198-4. 50126E-05-2. 18796E-050. 0008570. 007812581. 51. 5019531. 5039060. 001072-0. 00966-0. 02041-2. 18796E-05-1. 03521E-050. 0001970. 0039062591. 51. 5009771. 5019530. 001072-0. 00429-0. 00966-1.

13、 03521E-05-4. 59805E-064. 14E-050. 001953125101. 51. 5004881. 5009770. 001072-0. 00161-0. 00429-4. 59805E-06-1. 72346E-066. 89E-060. 000976563111. 51. 5002441. 5004880. 001072-0. 00027-0. 00161-1. 72346E-06-2. 8677E-074. 3E-070. 000488281121. 51. 5001221. 5002440. 0010720. 000402-0. 00027-2. 8677E-0

14、74. 31423E-07-1. 1E-070. 000244141131. 5001221. 5001831. 5002440. 0004026. 75E-05-0. 00027-1. 07627E-072. 71495E-08-1. 8E-080. 00012207141. 5001831. 5002141. 5002446. 75E-05-1E-04-0. 00027-1. 80465E-08-6. 74688E-092. 67E-086. 10352E-05151. 5001831. 5001981. 5002146. 75E-05-1. 6E-05-1E-04-6. 74688E-0

15、9-1. 09724E-091. 63E-093. 05176E-05161. 5001831. 5001911. 5001986. 75E-052. 56E-05-1. 6E-05-1. 09724E-091. 72755E-09-4. 2E-101. 52588E-05171. 5001911. 5001951. 5001982. 56E-054. 67E-06-1. 6E-05-4. 16389E-101. 19598E-10-7. 6E-117. 62939E-06181. 5001951. 5001961. 5001984. 67E-06-5. 8E-06-1. 6E-05-7. 5

16、9619E-11-2. 70718E-119. 43E-113. 8147E-06191. 5001951. 5001961. 5001964. 67E-06-5. 6E-07-5. 8E-06-2. 70718E-11-2. 62675E-123. 26E-121. 90735E-06201. 5001951. 5001951. 5001964. 67E-062. 05E-06-5. 6E-07-2. 62675E-129. 59574E-12-1. 2E-129. 53674E-07211. 5001951. 5001951. 5001962. 05E-067. 46E-07-5. 6E-

17、07-1. 15526E-121. 53249E-12-4. 2E-134. 76837E-0722 七、二分法思想的應用 注意用二分法的思想解決其他問題（2006浙江16題）設f(x)=3ax，f(0)0，f(1)0，求證：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）內有兩個實根.證明：（I）（略）（II）解法1：拋物線的頂點坐標為，利用二分法思想在的兩邊乘以，得.又因為而所以方程在區(qū)間與內分別有一實根。故方程在內有兩個實根解法2 采用“二分法”，只需證：區(qū)間(0，1)兩個端點處f(0)，f(1)的符號都為正;在區(qū)間(0，1)內尋找一個二分點，使這個二分點所對應的函數(shù)值小于0，它保證

18、拋物線與x軸有兩個不同的交點(因a> 0拋物線開口方向向上). 綜合、，由函數(shù)的圖象可知：方程f(x) = 0在(0，1)內必有兩個不同實根.在區(qū)間(0，1)內選取二等分點，因f()=a+b+c=a+ (-a) =-a< 0，所以結論得證. (若f() < 0不成立，可看f()是否為負，若還不成立，再看f()是否為負，總之，在區(qū)間(0，1)內存在一個分點，使它對應的函數(shù)值為負即可. )例2( 2006全國II12題)函數(shù)f(x)|x-1| + |x-19|的最小值為( )（A）190 （B）171 （C）90 （D）45分析 因 |x-n| 表示數(shù)軸上的動點x到點n之間的距離

19、. 當 |x-1| + |x-19| 最小時，x為區(qū)間1，19內的任意一個分點;以此類推，當 |x- 9| + |x- 11| 最小時，x為區(qū)間9，11內的任意一個分點;當 x-10 最小時，x=10. 利用“二分法”的思想方法，當x是區(qū)間1，19，2，18，3，17，9，11共同二等分點，即x=10時，f(x)取得最小值，所以f(x)min= 10 - 1 + 10- 2 + 10-3 + 10-9 + 10-10 + 10 - 11 + 10 - 19 = 90.第一部分：二分法的Matlab和C程序實現(xiàn) 第二部分主要通過一個實例來研究單變量非線性方程f（x）=0的二分法求解及此方法的收斂

20、性，根據(jù)誤差估計確定二分次數(shù)并進行求解。同時實現(xiàn)Matlab和C語言程序編寫。從而掌握過程的基本形式和二分法的基本思想，在以后的學習過程中得以應用。 一、 引 言 在科學研究與工程技術中常會遇到求解非線性方程f(x)=0的問題。而方程f(x)是多項式或超越函數(shù)又分為代數(shù)方程或超越方程。對于不高于四次的代數(shù)方程已有求根公式，而高于四次的代數(shù)方程則無精確的求根公式，至于超越方程就更無法求其精確解了。因此，如何求得滿足一定精度要求的方程的近似根也就成為了我們迫切需要解決的問題。近年來，隨著數(shù)學科學研究的不斷進展，又更新了許多方程求解的方法。我們知道，對于單變量非線性方程f（x）=0，一般都可采用迭代

21、法求根，由此產(chǎn)生了二分法。二、Matlab實現(xiàn)function c,err,yc=bisect(f,a,b,delta)%f是要求解的函數(shù)%a和b分別是有根區(qū)間的左右限%delta是允許的誤差界%c為所求近似解%yc為函數(shù)f在c的誤差估計if nargin<4 delta=1e-5;endya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if yb=0,c=b,return,endif ya*yb>0disp(a,b)不是有根區(qū)間)；return,endmax1=1+round(log(b-a)-log(delta)/log(2);for k=1:max1c=(a+b)/2;ye=feval(f,c);if yc=0 a=c;b=c;break,elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=c;endif(b-a)endk,c=(a+b)/2,err=abs(b-a),yc=feval(f,c)例如，要求f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間1，2內的根先在命令窗口中輸入：>>fplot(x3-x-1,0,1 2);grid回車后輸出曲線圖現(xiàn)在再編寫所求的非線性函數(shù)，輸入：f=i