泄洪設(shè)施修建計(jì)劃

1、泄洪設(shè)施修建計(jì)劃摘要針對(duì)本題提出的如何修建泄洪河道使總費(fèi)用最省以及維護(hù)人員在各村留宿的概率的問題，分別建立了非線性規(guī)劃模型、馬氏鏈模型，并運(yùn)用matlab和lingo數(shù)學(xué)軟件，對(duì)模型進(jìn)行求解，得出修建河道的最省方案和維護(hù)人員在各村留宿的概率。最后還對(duì)原來建立的模型進(jìn)行了評(píng)價(jià)，并加以推廣。在考慮修建的泄洪道路徑和泄洪量的情況下，得到修建泄洪道的最省花費(fèi)的0-1規(guī)劃模型。并通過lingo求解得到最優(yōu)泄洪道網(wǎng)絡(luò)連接圖（見圖 1）和修建新泄洪河道最省總花費(fèi)資金：547.0804萬元。維護(hù)人員是在問題一中解得的新泄洪河道上移動(dòng)的，從一個(gè)村移動(dòng)到與之相連的一個(gè)村，符合馬氏鏈，所以建立了馬氏鏈模型。通過分析

2、得出，該馬氏鏈?zhǔn)钦齽t鏈。根據(jù)正則鏈的性質(zhì)可知，正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率，所以維護(hù)人員在各村留宿的概率分布是穩(wěn)定的。并運(yùn)用matlab軟件編程求解出維護(hù)人員在各村留宿的穩(wěn)態(tài)概率（見表3）。由于前面的模型僅是從修建泄洪道花費(fèi)最省來建立的。而沒有考慮建設(shè)后的維護(hù)成本。且由于上游地勢(shì)高的村莊的水流要匯入下游地勢(shì)低的村莊，從而會(huì)使得下游泄洪道的泄洪壓力增大。有可能洪澇來臨時(shí)對(duì)下游村莊帶來危險(xiǎn)。所以從安全和維護(hù)等因素來看，綜合該鄉(xiāng)地勢(shì)由西向東逐漸降低的地勢(shì)特點(diǎn)?？梢钥紤]在該鄉(xiāng)中間人口相對(duì)較少地區(qū)修建一由西向東的逐漸加寬的主渠道。再由各村莊各自修建泄洪渠道與主渠道相連，最終將洪水排出。關(guān)鍵詞： 0-1變

3、量 線性規(guī)劃模型 馬氏鏈模型 matlab lingo 一、問題重述位于我國(guó)南方的某個(gè)偏遠(yuǎn)貧困鄉(xiāng)，地處山區(qū)，一旦遇到暴雨，經(jīng)常發(fā)生洪澇災(zāi)害，以往下雨時(shí)，完全是依靠天然河流進(jìn)行泄洪。2010年入夏以來，由于史無前例的連日大雨侵襲，加上這些天然河流泄洪不暢，造成大面積水災(zāi)，不僅夏糧無收，而且嚴(yán)重危重到當(dāng)?shù)厝罕姷纳?cái)產(chǎn)安全。為此，鄉(xiāng)政府打算立即著手解決防汛水利設(shè)施建設(shè)問題。從長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮，可以通過修建新泄洪河道的辦法把洪水引出到主干河流。經(jīng)測(cè)算，修建新泄洪河道的費(fèi)用為（萬元）其中Q表示新泄洪河道的可泄洪量（萬立方米/小時(shí)），L表示新泄洪河道的長(zhǎng)度（公里）。該鄉(xiāng)共有10個(gè)村，分別標(biāo)記為-，下圖給出了它們

4、大致的相對(duì)地理位置，海拔高度總體上呈自西向東逐漸降低的態(tài)勢(shì)。 其中村距離主干河流最近，且海拔高度最低。鄉(xiāng)政府打算擬定一個(gè)修建在各村之間互通的新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃，將洪水先通過新泄洪河道引入村后，再經(jīng)村引出到主干河流。要求完成之后，每個(gè)村通過新泄洪渠道能夠達(dá)到可泄洪量100萬立方米/小時(shí)以上的泄洪能力。表1 各村之間修建新泄洪河道的距離（單位：公里） 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789 7 4 8 11 13 12 16 17 22 9 14 16 8 11 18 14 23 7 9 11 7 12 12 17 4 17 10 7 15 18 8 10 6 15 15 9 16

5、 8 15 8 6 11 13 11 12請(qǐng)通過數(shù)學(xué)建模的方法，解決以下問題：?jiǎn)栴}1：根據(jù)表1數(shù)據(jù)，為該鄉(xiāng)提供一個(gè)各村之間修建新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)的合理方案，使得總費(fèi)用盡量最省。（提示：從村Aà村B的新泄洪河道，一般要求能夠承載村A及上游新泄洪河道的泄洪量）。問題2：新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)鋪設(shè)完成后，打算安排一位維護(hù)人員，每天可以從一個(gè)村到與之直接有新泄洪河道連接的相鄰村進(jìn)行設(shè)施維護(hù)工作，并在到達(dá)的村留宿，次日再隨機(jī)地選擇一個(gè)與該村直接有新泄洪河道連接的相鄰村進(jìn)行維護(hù)工作。試分析長(zhǎng)此以往，他在各村留宿的概率分布是否穩(wěn)定？問題3：是否能夠?yàn)樵撪l(xiāng)提出一個(gè)更加合理的修建新泄洪河道的辦法？二、問題分析針對(duì)

6、問題一，要求使得總費(fèi)用盡量最省，而修建新泄洪河道的費(fèi)用（萬元），由此可知費(fèi)用與新泄洪河道的可泄洪量Q和泄洪河道的長(zhǎng)度L有關(guān)，要使費(fèi)用P最小，即泄洪量盡量的小，且泄洪河道的長(zhǎng)度盡量的短。對(duì)于此，可以運(yùn)用0-1變量建立規(guī)劃模型，進(jìn)而運(yùn)用lingo軟件編程求出最優(yōu)方案。針對(duì)問題二，維護(hù)人員是在問題一中解得的新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)上移動(dòng)的，從一個(gè)村移動(dòng)到與之相連的一個(gè)村，符合馬氏鏈，所以建立了馬氏鏈模型。通過分析得出，該馬氏鏈?zhǔn)钦齽t鏈。根據(jù)正則鏈的性質(zhì)可知，正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率，所以維護(hù)人員在各村留宿的概率分布是穩(wěn)定的。再用matlab軟件編程求解出維護(hù)人員在各村留宿的穩(wěn)態(tài)概率。針對(duì)問題三，由于上游地

7、勢(shì)高的村莊的洪水要匯入下游地勢(shì)低的村莊，從而會(huì)使得下游泄洪道的泄洪壓力增大。有可能洪澇來臨時(shí)對(duì)下游村莊帶來危險(xiǎn)。且由于渠道較多后期維護(hù)較難。所以從安全和維護(hù)等因素來看，綜合該鄉(xiāng)地勢(shì)由西向東逐漸降低的地勢(shì)特點(diǎn)?？梢钥紤]修建一由西向東的逐漸加寬的主渠道。最終將洪水排出。三、問題假設(shè)1、村子1-10的海拔高度自西向東遞減。2、A-B的泄洪河道，其中B村的泄洪河道能夠承載村A泄洪量及上游所有流入A的泄洪量。3、若泄洪河道相交，假設(shè)互不影響各自泄洪量。4、假設(shè)維修人員選擇第一個(gè)村莊是隨機(jī)的，且概率是相同的。四、符號(hào)說明：第i村莊到第j村莊泄洪河道的流量。：i村到j(luò)村的距離：修建河道總費(fèi)用：維護(hù)員從村子到

8、相鄰村子的概率（）；：在i村留宿的概率（）：表示維護(hù)人員所處的狀態(tài)（可以取10個(gè)離散值）：狀態(tài)概率，維護(hù)人員處在村的概率（）：轉(zhuǎn)移概率，維護(hù)人員從村轉(zhuǎn)移到村的概率（）：轉(zhuǎn)移概率矩陣：各段主泄洪道的泄洪量（100-900）。：各段主泄洪道的長(zhǎng)度。：各村的泄洪量。 ：各村到主泄洪道的泄洪道長(zhǎng)度。五、模型的建立與求解5.1：根據(jù)表1數(shù)據(jù)，為該鄉(xiāng)提供一個(gè)各村之間修建新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)的合理方案，使得總費(fèi)用盡量最省。根據(jù)表1數(shù)據(jù)，為該鄉(xiāng)提供一個(gè)各村之間修建新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)的合理方案，使得總費(fèi)用盡量最省。其中為了表述的方便將村莊做如下編號(hào)即： 3 2 5 7 1 6 10 4 9 8于是，表一數(shù)據(jù)整理為：表2

9、2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789 8 13 8 11 9 17 15 8 16 7 14 9 11 14 23 16 18 17 4 12 8 22 11 16 12 6 15 12 15 13 7 7 17 9 12 10 11 10 8 18 4 7 15 11 6 為使費(fèi)用最小，依據(jù)題意引入0-1變量，其中0表述不修河道，1表示要修建河道。故建立如下優(yōu)化模型：由lingo軟件可以得到（程序見附錄 1 ）：則：由此可繪出下圖： 3 2 5 7 1 6 10 4 9 8圖1. 各村之間互通的新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)可得出最小費(fèi)用為：維護(hù)人員的轉(zhuǎn)移路線就是問題一中建立的新泄洪河道網(wǎng)

10、絡(luò)。為求維護(hù)人員在各村留宿的概率分布以及是否穩(wěn)定，建立馬氏鏈模型。由問題一得出的新泄洪河道修建方案可知轉(zhuǎn)移概率矩陣為：由馬氏鏈的性質(zhì)可知：的取值只取決于的取值及轉(zhuǎn)移概率，而與 的取值無關(guān)。由狀態(tài)轉(zhuǎn)移的無后效性和全概率公式可以寫出馬氏鏈的基本方程為 并且則狀態(tài)概率向量（行向量）和轉(zhuǎn)移概率矩陣則基本方程（1）可以表示為由該遞推關(guān)系式還可以得到5.23判斷該馬氏鏈?zhǔn)欠袷钦齽t鏈正則鏈的定義為：一個(gè)有個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)，使從任意狀態(tài)經(jīng)次轉(zhuǎn)移，都以大于零的概率到達(dá)狀態(tài)，則這樣的馬氏鏈稱為正則鏈。因?yàn)樾藿ǖ男滦购楹拥谰W(wǎng)絡(luò)連接著這十個(gè)村，當(dāng)維護(hù)人員沿著新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移時(shí)，每個(gè)村都有可能到達(dá)。即假設(shè)

11、維護(hù)人員在村，一定可以經(jīng)過正整數(shù)次轉(zhuǎn)移到任意村即都以大于零的概率到達(dá)狀態(tài)。由正則鏈的定義可以知道，本問題中建立的馬氏鏈模型是正則鏈。5.2.4求解極限狀態(tài)概率 由定理可知，正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)頻率，使得當(dāng)時(shí)狀態(tài)概率，與初始狀態(tài)概率無關(guān)。滿足 所以，長(zhǎng)此以往，維護(hù)人員在各村留宿的概率就是極限狀態(tài)頻率，則由正則鏈的性質(zhì)可知，維護(hù)人員在各村留宿的概率是穩(wěn)定的。由式可得： 聯(lián)立可解得極限狀態(tài)概率為（matlab程序見附錄 2 ）：0.1111    0.0556    0.1111   &

12、#160;0.0556    0.1667    0.0556    0.1667    0.1667     0.0556    0.0556表3 即可得維護(hù)人員隨機(jī)在各村留宿的穩(wěn)態(tài)概率5.3：由于該鄉(xiāng)地勢(shì)由西向東逐漸降低。且各村莊由西向東分布。故可以在其中間人口分布密度較少區(qū)建一由西向東的主泄洪道。泄洪道泄洪量依次遞增。從100-900。最終經(jīng)村莊8注入

13、主干河流。各村再各自修建泄洪道與主泄洪道相連。 各村最大泄洪量用Q表示。L為主泄洪道的長(zhǎng)度。由幾段構(gòu)成。泄洪量100-900。 目標(biāo)函數(shù)： 六、模型的評(píng)價(jià)和優(yōu)化模型的優(yōu)點(diǎn)：1、 用0-1變量刻畫村莊之間的河道修理與否，結(jié)合線性規(guī)劃模型簡(jiǎn)單易懂用lingo軟件求解也較方便。2、 問題二建立的馬氏鏈模型，即符合題意也具有理論依據(jù)用matlab求解其程序也比較簡(jiǎn)便。3、 該模型可運(yùn)用性強(qiáng)，不僅僅運(yùn)用于河道的修理也可以用于電纜的鋪設(shè)、道路的修建等等類似的模型。模型的缺點(diǎn)：1、 該模型模型考慮的因素還不多，如有些地方可能因?yàn)榈孛膊荒芡谛购楹拥?、有的地方河道沒法加寬、以及修建排洪溝這樣會(huì)使建立的模型對(duì)實(shí)際

14、產(chǎn)生較大的誤差。七、參考文獻(xiàn)1 孫祥 徐流美 吳清，matlab7.0基礎(chǔ)教程，清華大學(xué)出版社，2005年.2 劉衛(wèi)國(guó)，MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用（第二版），北京：高等教育出版社，2006年。3 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2006年。4 戴明強(qiáng) 李衛(wèi)軍 楊鵬飛，數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用，北京：科學(xué)出版社，2007年.5 謝金星、薛毅編著，優(yōu)化建模與lingo/lindo軟件，北京：清華大學(xué)出版社，2005.7.附件：附錄1model: sets: cun/1.10/; link(cun,cun) |&2#gt#&1:q,x,d; endsets d

15、ata: d = 8 13 8 11 9 17 15 8 16 7 14 9 11 14 23 16 18 17 4 12 8 22 11 16 12 6 15 12 15 13 7 7 17 9 12 10 11 10 8 18 4 7 15 11 6; enddatamin=sum(link(k,i)|k#lt#i:x(k,i)*(2/3)*sqrt(q(k,i)*d(k,i); for(link(i,j)|i#lt#j:bin(x(i,j); for(link(i,j)|i#lt#j:q(i,j)>=100); for(cun(i)|i#ne#10 #and# i #ne# 1:sum(cun(j)|i #lt# j:q(i,j)*x(i,j)-sum(cun(j)|j #lt# i:q(j,i)*x(j,i)=100;); for(cun(i)|i #ne# 10:sum(cun(j)|i #lt# j:x(i,j)=1); !for(cun(i)|i #eq# 10:sum(cun(j)|j #lt# i:x(j,i)=1); End 附錄2function main()clcp=0 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1