江蘇省南菁高級中學2013屆高三第二學期開學質(zhì)量檢測數(shù)學試卷

1、江蘇省南菁高級中學2013屆高三第二學期開學質(zhì)量檢測數(shù)學試卷一、填空題:(本大題共14小題,每小題5分,計70分,請將答案填入答題區(qū))1.若集合=_.2.命題“xR,有x2+1x”的否定是_.3.若i是虛數(shù)單位,則=_.4.“<1”是“成立”的_.條件(填充分不必要、必要不充分,既不充分也不必要,充要).5.已知流程圖如圖所示,為使輸出的值為16,則判斷框內(nèi)處應填_. 第5題圖6.已知直線與曲線在處的切線互相垂直,則_.7.已知cos=,cos()=,且0<<<,則=_.8.若4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和

2、為奇數(shù)的概率為_.9.若A、B與 F1、F2分別為橢圓C:的兩長軸端點與兩焦點,橢圓C上的點P使得F1PF2=,則tanAPB=_.10.已知數(shù)列an(nN*)滿足a1=1且,則其前2013項的和為_.11.定義在R上的函數(shù)是增函數(shù),且函數(shù)的圖像關于(2,0)成中心對稱,若s,t滿足不等式,若時,則的最大值為_. 12.已知圓M:,過軸上的點存在一直線與圓M相交,交點為A、B,且滿足PA=BA,則點P的橫坐標的取值范圍為_.13.已知非零向量與滿足,則的最小值為_.14.已知,點的坐標滿足,則的取值范圍為_.15.在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列.(1)若

3、·=-,b=,求a+c的值; (2)求2sinA-sinC的取值范圍.16.在三棱柱中,已知底面是邊長為的正三角形,側(cè)棱,點分別為邊的中點,底面.()求證:線段DE平面;()求證:FO平面.17.某生產(chǎn)旅游紀念品的工廠,擬在2010年度將進行系列促銷活動.經(jīng)市場調(diào)查和測算,該紀念品的年銷售量萬件與年促銷費用萬元之間滿足與成反比例.若不搞促銷活動,紀念品的年銷售量只有1萬件.已知工廠2010年生產(chǎn)紀念品的固定投資為3萬元,每生產(chǎn)1萬件紀念品另外需要投資32萬元.當工廠把每件紀念品的售價定為:“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷費一半”之和時,則當年的產(chǎn)量和銷量相等.(

4、利潤=收入-生產(chǎn)成本-促銷費用)(1)求出與所滿足的關系式;(2)請把該工廠2010年的年利潤萬元表示成促銷費萬元的函數(shù);(3)試問:當2010年的促銷費投入多少萬元時,該工廠的年利潤最大?18.如圖,橢圓C: 過點,梯形ABCD(ABCD軸,且)內(nèi)接于橢圓,E是對角線AC與BD的交點.()求橢圓C的方程;()設試求的最大值.19.已知函數(shù),且,.(1)求的值;(2)已知定點,設點是函數(shù)圖象上的任意一點,求 的最小值,并求此時點的坐標;(3)當時,不等式恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.20.設數(shù)列,對任意都有,(其中是常數(shù))(1)當,時,求;(2)當,時,若,求數(shù)列的通項公式;(3)若數(shù)列中任意(

5、不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是 “封閉數(shù)列”.當,時,設是數(shù)列的前項和,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列” ,使得對任意,都有,且.若存在,求數(shù)列的首項的所有取值;若不存在,說明理由.21. 學校餐廳每天供應1000名學生用餐,每星期一有AB兩樣菜可供選擇,調(diào)查資料表明,凡是在本周星期一選A菜的,下周星期一會有20%改選B,而選B菜的,下周星期一則有30%改選A,若用AnBn分別表示在第n個星期一選AB菜的人數(shù).(1)若,請你寫出二階矩陣M;(2)求二階矩陣M的逆矩陣.22.若極坐標系的極軸與直角坐標系的x軸非負半軸重合,單位長度相等,已知曲線C的參數(shù)方程為,曲線D的極坐標方程為

6、.(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程;(2)曲線C與曲線D有無公共點?試說明理由.23.如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,MN分別是CC1BC的中點,點P在直線A1B1上,且滿足.(1)證明:PNAM;(2)若平面PMN與平面ABC所成的角為45°,試確定點P的位置.24.設數(shù)列滿足,.(1)當時,求證:M;(2)當時,求證:;(3)當時,判斷元素與集合的關系,并證明你的結(jié)論.參考答案一填空題:1. 2. xR,使x2+1<x; 3. 1006+1007i 4.必要不充分條件 5.3 6. 7. 8. 9. - 10.16 1

7、1.0 12. 13.1 14.15.解:1)因為A,B,C成等差數(shù)列,所以B=.·=-,accos(-B)=-,ac=,即ac=3.b=,b2=a2+c2-2accosB,a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3.(a+c)2=12,所以a+c=2 (2)2sinA-sinC=2sin(-C)-sinC=2(cosC+sinC)-sinC=cosC.0<C<,cosC(-,).2sinA-sinC的取值范圍是(-,) 16.()因為平面為平行四邊行, 所以共線, , 又 ()因為是邊長這的正三角形,所以. 又底面,所以, 又,所以. 又F為的中點,所以 又平面,

8、 所以平面 17.解:(1)設比例系數(shù)為.由題知,有.又時,所以 ,. 所以與的關系是 (2)依據(jù)題意,可知工廠生產(chǎn)萬件紀念品的生產(chǎn)成本為萬元,促銷費用為萬元,則每件紀念品的定價為:元/件.于是,進一步化簡,得.因此,工廠2010年的年利潤萬元 (3)由(2)知, ,當且僅當,即時,取等號,所以,當2010年的促銷費用投入7萬元時,工廠的年利潤最大,最大利潤為42萬元 18.()由題意得 3 分 解得 ()根據(jù)對稱性可知點E在軸上,則E點的坐標為, 設BD的方程為,由得 設,則, , 從而, 等號當且僅當取得 19.(1)由,得, 解得: (2)由(1),所以, 令,則 因為,所以,所以,當,

9、所以,即的最小值是,此時,點的坐標是 (3)問題即為對恒成立,也就是對恒成立, 要使問題有意義,或.法一:在或下,問題化為對恒成立, 即對恒成立,即對恒成立,當時,或,當時,且對恒成立,對于對恒成立,等價于,令,則,遞增,結(jié)合或,對于對恒成立,等價于令,則,遞減,綜上: 法二: 故問題轉(zhuǎn)化為對恒成立,令若時,由于,故,在時單調(diào)遞增,依題意,舍去;若,由于,故,考慮到,再分兩種情形:(),即,的最大值是,依題意,即,;(),即,在時單調(diào)遞增,故,舍去綜上可得, 20.解:(1)當,時, 用去代得, -得, 在中令得,則0,數(shù)列是以首項為1,公比為3的等比數(shù)列,= (2)當,時, 用去代得, -得

10、, , 用去代得, -得,即, 數(shù)列是等差數(shù)列,公差, (3)由(2)知數(shù)列是等差數(shù)列,又是“封閉數(shù)列”,得:對任意,必存在使,得,故是偶數(shù), 又由已知,故一方面,當時,對任意,都有另一方面,當時,則,取,則,不合題意 當時,則,當時,又,或或或 附加題:21. 解:(1); (2)設矩陣M的逆矩陣為,則由=得:,解之得:, 22. 解:(1)由得 分(2)由得曲線的普通方程為分 得 分 解得,故曲線與曲線無公共點 分23. 解:(1)證明:如圖,以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系A-xyz.則P(,0,1),N(,0),M(0,1,), 從而=(-,-1),=(0,1,),=(-)×0+×1-1×=0,所以PNAM (2)平面ABC的一個法向量為n=(0, 0, 1).設平面PMN的一個法向量為m=(x,y,z),由(1)得=(,-1,).由 解得 平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°,|cos&