泰勒公式的應用87935

1、泰勒公式及其應用 摘要文章簡要介紹了泰勒公式的證明及其推導過程，詳細討論了泰勒公式在最優(yōu)化理論領(lǐng)域的應用，分別討論了泰勒公式在理論證明和算法設計上面的應用，并用簡單的算例加以說明。關(guān)鍵詞：泰勒公式，最優(yōu)化理論，應用一、泰勒公式1.1 一元泰勒公式 若函數(shù)在含有的開區(qū)間內(nèi)有直到階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可展開為一個關(guān)于的多項式和一個余項的和：其中 在和之間的一個數(shù)，該余項為拉格朗日余項。1.1.1 泰勒公式的推導過程我們知道，其在近似計算中往往不夠精確，于是我們需要一個能夠精確計算的而且能估計出誤差的多項式：來近似表達函數(shù)； 設多項式滿足 因此可以得出.顯然，所以；，所以；，所以，所以有

2、所以，1.1.2 泰勒公式余項的證明我們利用柯西中值定理來推出泰勒公式的余項（拉格朗日余項）：設于是有所以有根據(jù)柯西中值定理可得： 是在和之間的一個數(shù)；對上式再次使用柯西中值定理，可得： 是在和之間的一個數(shù)；連續(xù)使用柯西中值定理次后得到： 這里是介于和之間的一個數(shù)。由于，是一個常數(shù)，故，于是得到：，綜上可得，余項： 介于和之間此余項又稱為拉格朗日余項。到此為止，我們知道了泰勒公式的一般形式可以表示為：其中為泰勒公式的余項，它可以有一下幾種形式：(1)佩亞諾（Peano）余項 (2)施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項 ,介于和之間(3)拉格朗日(Lagrange)余項 介于

3、和之間(4)柯西(Cauchy)余項 介于和之間(5)積分余項 泰勒公式的特殊形式，當取的時候，此時泰勒公式為： 為相應的余項，該式叫做泰勒公式的麥克勞林展開，也叫做麥克勞林公式； 麥克勞林公式主要應用在一些比較特殊的函數(shù)，如三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等。如：對或的麥克勞林展開進行求值計算；歐拉公式 的證明與應用等等。運用麥克勞林展開可以得到一些常用的泰勒展開式：.1.2 多元泰勒公式 除了上面的一元泰勒公式外，多元泰勒公式的應用也非常的廣泛，特別是在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上面，有著很大的作用。1.2.1 二元泰勒展開 引人記號：，則二元函數(shù)在處的泰勒展開為：是二元泰勒公式的余項。 由于二元泰勒展開比

4、較復雜，所以在一般的應用之中，只作二階泰勒展開。1.2.2 二元泰勒展開的余項 與一元泰勒公式類似，二元泰勒公式的余項分別有：(1)佩亞諾（Peano）余項 (2)拉格朗日(Lagrange)余項 ()是和線段上的一點1.2.3 多元函數(shù)泰勒展開 (1)多元函數(shù)一階泰勒展開 多元函數(shù)，則在的一階泰勒展開為：或?qū)τ谌我獾募叭我獾?，有?(2)在的二階泰勒展開式或?qū)τ谌我獾募叭我獾?，?多元泰勒公式主要應用在微分方程數(shù)值解和最優(yōu)化上面。2、 泰勒公式在最優(yōu)理論中的應用目標函數(shù)泰勒表達式的展開，往往將原目標函數(shù)在所討論的點附近展開成泰勒多項式，用來解答原函數(shù)。目標函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度，考察函數(shù)與自變

5、量的關(guān)系，即函數(shù)相對于自變量的變化率，包括沿某一指定方向的變化率和最大變化率，所以就要用到方向?qū)?shù)和梯度。無約束目標函數(shù)的極值條件，無約束優(yōu)化問題一般歸結(jié)為求目標函數(shù)的極大值極小值問題，一般先求出若干極值點，再通過比較來確定全局最優(yōu)點。目標函數(shù)凸集與凸函數(shù)、凹函數(shù)，由函數(shù)極值條件所確定極小點，是指函數(shù)f(x)在點附近的一切x均滿足不等式f(x) f()，由函數(shù)極值條件所確定的極小值只是反映函數(shù)在附近的局部性質(zhì)。優(yōu)化設計問題中目標函數(shù)的局部極小點并不一定就是全局極小點，只有在函數(shù)具備某種性質(zhì)時，二者才能等同。目標函數(shù)的約束極值優(yōu)化問題，約束最優(yōu)點不僅與目標函數(shù)本身的性質(zhì)有關(guān)，而且還與約束函數(shù)的性

6、質(zhì)有關(guān)。在存在約束的條件下，為了要滿足約束條件的限制，其最優(yōu)點不一定是目標函數(shù)的自然極值點。最優(yōu)化設計的數(shù)值計算方法迭代法及其收斂性，在機械優(yōu)化設計的實際問題中，采用解析法求解很困難，在實際應用中，則廣泛采用數(shù)值方法來直接求解。數(shù)值方法中常用的是迭代法，這種方法具有簡單的迭代格式，適用于計算機反復運算，通常得到的最優(yōu)解是一個可滿足精度要求的近似解。2.1 泰勒公式在數(shù)值最優(yōu)化理論證明中的應用 定理2.1(無約束問題解的一階必要條件) 設連續(xù)可微，是無約束問題的一個局部最優(yōu)解，則滿足 證明：任給，由局部最優(yōu)解的定義和多元泰勒展開，對任意充分小的數(shù)，有 不等式的兩端同時減去后除以，并令可得.特別令

7、得 從而， 定理2.2(無約束問題解的二階必要條件) 設二次連續(xù)可微，是無約束問題的一個局部最優(yōu)解，則滿足且半正定. 證明：由定理4.1，只需證明半正定.任給，由最優(yōu)解的定義和二階泰勒展開，對任意充分小的數(shù)，有 由和的任意性得 即半正定. 定理2.3(無約束問題解的二階充分條件) 二次連續(xù)可微.若滿足且正定，則是無約束問題的一個嚴格局部最優(yōu)解.證明：由于正定，故存在常數(shù)，使得對所有的，正定.由此，對任意，.由泰勒展開知，存在使得 即是問題的一個嚴格局部最優(yōu)解.2.2 泰勒公式在數(shù)值最優(yōu)化算法設計中的應用我們知道最優(yōu)化算法中我們需要知道兩個重要的條件，一個的算法迭代步長，而另外一個就是算法的下降方向，利用泰勒公式展開，能幫助我